第十三章全等三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

第十三章 全等三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 命题与证明 1.1 命题与真命题、假命题 对某一件事情作出判断的语句，叫作命题。命题是由条件和结论两部分组成的。 命题，有真命题，也有假命题。要判断一个命题是假命题，只要举出反例即可；要判断一个命题是真命题，则需要推理论证，即证明。 示例：命题”两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是真命题；“如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除”是假命题，反例是” 能被 整除，但不能被 整除”。 1.2 互逆命题与逆命题 像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题。 在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题。 示例：命题”两直线平行，内错角相等”与命题”内错角相等，两直线平行”互为逆命题。 注意：原命题的真假和它的逆命题的真假没有必然的联系。 1.3 证明 要判断一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义和定理等，进行有理有据的推理。这个推理的过程叫作证明。 用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行： · 第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（或图形）语言； · 第二步，根据图形写出已知、求证； · 第三步，根据已学过的基本事实、定义和定理等进行证明。 示例：证明”平行于同一条直线的两条直线平行”：已知直线 ，，，，，作直线 分别与 ，， 相交，由 得 ，由 得 ，所以 ，故 。 1.4 逆定理与互逆定理 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理。一个定理和它的逆定理是互逆定理。 示例：”两直线平行，内错角相等”与”内错角相等，两直线平行”是互逆定理。 2. 全等三角形的概念与性质 2.1 全等图形与对应点 我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形。在这两个全等图形中，互相重合的点叫作对应点。 图1：全等图形 示例：两个形状和大小都相同的五角星能够完全重合，是全等图形。 2.2 全等三角形、对应边与对应角 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。在两个全等的三角形中，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 2.3 全等三角形的表示 我们用符号”≌“来表示两个图形全等。如 与 是两个全等三角形，记作”“，读作”三角形 全等于三角形 “。 图2：全等三角形的对应边、对应角 示例：在 中，点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应点；边 与边 、边 与边 、边 与边 分别是对应边； 与 、 与 、 与 分别是对应角。 注意：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.4 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 示例：如图 2，已知 ，，，，则 ，。 3. 三角形全等的判定 3.1 基本事实一（边边边，） 三边分别相等的两个三角形全等。基本事实一可简记为”边边边“或”“。 示例：若 与 中 ，，，则 。 3.2 三角形的稳定性 只要三角形的三边确定，它的形状和大小就完全确定了。三角形所具有的这一性质叫作三角形的稳定性。 图3：三角形的稳定性 示例：用三根木条钉成一个三角形框架，不论怎样拉动，它的形状和大小都不改变；工人师傅安装木制门框时，常在门框上钉斜拉的木条以防变形。 3.3 基本事实二（边角边，） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。基本事实二可简记为”边角边“或”“。 示例：若在 和 中，，，，则 。 3.4 基本事实三（角边角，） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。基本事实三可简记为”角边角“或”“。 示例：若在 和 中，，，，则 。 3.5 判定定理（角角边，） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。这个定理可简记为”角角边“或”“。 示例：若在 和 中，，，，则 。 3.6 全等三角形与平移、旋转 在我们遇到的两个全等的三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转（有时是两种变化）得到的。发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，快捷地解决问题。 4. 三角形的尺规作图 4.1 尺规作三角形的依据 由三角形全等的判定可以得知，利用每一种判定两个三角形全等的条件（，，，），都只能作出唯一的三角形。 4.2 已知三边作三角形（） 已知线段 ，，，求作 ，使 ，，。先作出边 （即 ， 两点确定），再分别以点 为圆心、 为半径画弧，以点 为圆心、 为半径画弧，两弧的交点就是点 。 4.3 已知两边及其夹角作三角形（） 已知线段 ， 和 ，求作 ，使 ，，。 4.4 已知两角及其夹边作三角形（） 已知 ， 和线段 ，求作 ，使 ，，。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 全等三角形的对应元素都相等 全等三角形对应边上的高、对应中线、对应角平分线分别相等，周长、面积也分别相等。如 ，则 ，，，且 ，。 1.2 判定两个三角形全等至少需三个条件 判定两个三角形全等至少要有三个元素分别相等，且其中至少有一个元素是边。 1.3 两边及其中一边的对角不能判定全等（） 两条边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。如两条边长分别是 ，，长为 的这条边所对的角是 ，可以画出两个形状不同的三角形。 1.4 三个角分别相等不能判定全等（） 三个角分别相等的两个三角形不一定全等，形状相同但大小可能不同。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明三角形全等的基本流程 找出两个三角形中相等（或可证相等）的边和角 → 对照判定条件确定所用方法 → 按”在……和……中”规范写出三个条件 → 得出结论。如证 ：已知 ，，又有公共边 ，用”边边边”判定。 2.2 判定方法的选择策略 已知条件 优先考虑的判定方法 三边分别相等 边边边（） 两边分别相等 找夹角→边角边（）；找第三边→边边边（） 一边一角分别相等 找夹角的另一边→边角边（）；找边的另一角→角边角（）或角角边（） 两角分别相等 找夹边→角边角（）；找任一角的对边→角角边（） 2.3 寻找隐含条件 证明中除题目明确给出的相等条件外，要主动寻找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、线段中点、角平分线、由平行线得到的等角、由等式性质得到的等量等。如 是两个三角形的公共边，可直接作一条对应边 使用。 3. 找对应元素 / 证明小技巧 技巧 要点 示例 识别全等三角形的位置关系 两个全等三角形常呈平移型、旋转型、翻折型三类位置，先识别位置关系可快速找到对应边、对应角 平移型中沿平移方向的一组边即一组对应边 找对应角的技巧 对应角所对的边是对应边，两组对应边的夹角是对应角；最大的角与最大的角对应，最大的边与最大的边对应 中 与 对应，它们所对的边 与 对应 公共边、公共角的运用 两个三角形有公共边（角）时，公共边（角）相等，常是证全等的一条关键条件 与 中 为公共边， 4. 常见考试模型 4.1 利用全等三角形测距离 公式：构造一对全等三角形，把不可直接测量的距离转化为可直接测量的对应边；由全等三角形的对应边相等得出所求距离。 限定：所作辅助线必须保证能构成满足判定条件的全等三角形，所求距离须是其中一条对应边。 示例：如测池塘岸边 ， 两点间的距离：在 的垂线 上取 ， 使 ，再作 的垂线 ，使 ，， 在一条直线上，则由”角边角”得 ，。 4.2 三垂直（一线三等角）模型 公式：直线 上依次有 ，， 三点，，， 且 ，则 ，从而 ，，。 限定： 与 （推广为 ）两个条件缺一不可。 示例：如 ，，直线 经过点 ，，，垂足分别为 ，，则 。 【使用提醒】结论 只在本模型中 ，， 三点共线且 在 ， 之间时成立， 不在两点之间时数量关系要另作讨论。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”两边及其中一边的对角（）“当作判定三角形全等的条件 典例：判断命题”有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是否正确。 错解：正确。因为有两边和一个角分别相等，满足判定三角形全等的条件。 正解：不正确。两边和其中一边的对角（即”边边角”）分别相等时，两个三角形不一定全等。如两边长分别为 、，长为 的边所对的角是 ，可以画出两个形状不同的三角形。能判定全等的是”两边及其夹角”（），其中的角必须是两边的夹角。 原因：概念混淆。学生把”两边和一个角”笼统地等同于”“，忽略了 中”角”必须是”两边的夹角”这一限定。两边和其中一边的对角（）不能唯一确定三角形，用这样的条件画图会得到两种不同的结果。 易错点 2：全等符号写法不规范，对应顶点没写对应位置，导致找错对应边、角 典例：已知 ，，，。求 的度数和 的长。 错解：由全等得 ，。 正解：由 ，对应顶点为 与 、 与 、 与 分别对应，所以 ；又 与 是一组对应边，。 原因：没有按”全等符号 ≌ 中字母顺序表示对应顶点”的规则找对应关系。 的顶点 与顶点 对应，故 对应 而不是 ；把第二个三角形中的字母位置张冠李戴，就会找错对应角。找对应元素务必先由符号顺序确定对应顶点。 易错点 3：证全等时”两边一角”中的角不是夹角，误用 典例：在 和 中，，，。判断两个三角形是否全等，并说明理由。 错解：全等。由 ，，，根据 可得 。 正解：不能判定全等。已知的两边是 、，而 是 的对角，不是 、 的夹角，不满足 “两边及其夹角”的条件，所以不能判定两个三角形全等。 原因：条件与判定方法不匹配。 要求”两边及其夹角”，学生一看到”两边一角”就套 ，没有检查这个角是不是两边的夹角。 是边 所对的角，属于”边边角”，不能判定全等。 易错点 4：误认为”原命题是真命题，则其逆命题也是真命题” 典例：已知命题”对顶角相等”是真命题，判断它的逆命题的真假。 错解：原命题是真命题，所以它的逆命题”相等的两个角是对顶角”也是真命题。 正解：逆命题”相等的两个角是对顶角”是假命题。反例：等腰三角形的两个底角相等，但这两个底角不是对顶角。原命题的真假和它的逆命题的真假没有必然的联系。 原因：错误迁移了”命题真假”的规律。学生误以为逆命题与原命题”同真同假”，而实际上把一个命题的条件和结论互换后，真假要重新判断。判断逆命题真假时，应重新举反例或证明，不能由原命题的真假直接推断。 易错点 5：证明过程跳步、缺依据，由”两边一角”直接跳到结论 典例：如图，， 相交于点 ，，。求证 。 错解：在 和 中，，，，所以 。 正解：在 和 中，，，（对顶角相等），所以 （）。所以 （全等三角形的对应边相等）。 原因：证明过程跳步、缺依据。学生由”两边一角相等”直接跳到”结论边相等”，省略了”判定两个三角形全等”这一关键推理，也未标注每一步的依据（对顶角相等、、全等三角形的性质）。证明必须步步有据：先由条件判定全等，再由全等性质得对应边相等。 学科网（北京）股份有限公司 $