第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材冀教版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 正数和负数 1.1 正数和负数的定义 在已学过的数（0 除外）的前面加上“-”得到的数叫作负数；在已学过的数（0 除外）的前面加上“+”得到的数叫作正数。 正数中的“+”可以省略不写，如 可以写成 ， 可以写成 。 示例： 、、 都是负数；、、 都是正数。 1.2 0 的意义 0 既不是正数，也不是负数。0 是正数和负数的分界。 示例： 既不能写成带“+”的正数形式，也不能写成带“-”的负数形式。 1.3 有理数的定义 正整数、0 和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。 示例： 、、 是整数；、、 是分数；它们都是有理数。 1.4 有理数的分类 有理数 整数 正整数、0、负整数 分数 正分数、负分数 示例： 、、 属于整数；、 属于分数。 注意： 有理数还可以按符号分为正有理数、0、负有理数三类；给有理数分类时应遵循不重不漏的原则。 1.5 分数与小数的关系 事实上，任何分数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都能表示成分数。 示例： ，即有限小数 可以化成分数。 2. 数轴 2.1 数轴的定义 画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，规定这条直线上的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，相反的方向为负方向，选取某一长度作为单位长度，这样的直线叫作数轴。 示例： 一条标有原点、箭头方向（正方向）和均匀刻度的直线就是数轴。 2.2 有理数与数轴上的点的关系 每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一个点。表示正有理数的点都在原点右侧，表示负有理数的点都在原点左侧，表示 0 的点就是原点。 示例： 在数轴上，表示 的点在原点左侧，表示 的点在原点右侧。 3. 绝对值和相反数 3.1 绝对值的定义 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。有理数 的绝对值表示为 ，读作“ 的绝对值”。 示例： 到原点的距离是 ，所以 ； 到原点的距离是 ，所以 ； 到原点的距离是 ，所以 。 3.2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 示例： ；。 3.3 相反数的定义 像 和 ， 和 ， 和 等这样符号不同、绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 规定 0 的相反数为 0。 示例： 与 互为相反数； 的相反数是 。 3.4 相反数的表示 有理数 的相反数可以表示为 。 示例： 的相反数是 ，可以表示为 。 4. 有理数的大小 4.1 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 示例： 在数轴上 在 的左边，所以 。 4.2 比较两个负数的大小 两个负数，绝对值大的反而小。 示例： 因为 ，，且 ，所以 。 5. 有理数的加法 5.1 有理数的加法法则 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时，和为 0；绝对值不相等时，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 示例： ；；。 5.2 有理数加法的运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变。。 示例： ；。 6. 有理数的减法 6.1 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 示例： ；。 7. 有理数的加减混合运算 7.1 有理数加减混合运算的方法 在进行有理数的加减混合运算时，可以先将减法转化为加法，再按照有理数加法法则来进行运算。 统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“+”省略不写。 示例： 可写成 ，读作“负 11，正 21，负 3 与负 6 的和”。 8. 有理数的乘法 8.1 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把这两数的绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，仍得 0。 示例： ；。 8.2 倒数 如果两个有理数的乘积是 1，那么我们称其中一个数为另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。0 没有倒数。 一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数是负数。 示例： 是 的倒数， 和 互为倒数； 是 的倒数。 8.3 有理数乘法的运算律 乘法交换律：。 乘法结合律：。 乘法对加法的分配律：。 示例： 。 8.4 多个数相乘的符号规律 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0。 示例： （三个负因数，积为负）；（四个负因数，积为正）。 9. 有理数的除法 9.1 有理数的除法法则 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把这两数的绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 示例： ；。 10. 有理数的乘方 10.1 乘方的定义 求 个相同因数的积的运算叫作乘方。乘方的结果 叫作幂。在 中， 叫作底数， 叫作指数， 读作“ 的 次幂（或 的 次方）”。 一个数可以看作这个数本身的一次方，如 就是 ，通常指数为 1 时可以省略不写。 示例： 在 中，底数是 ，指数是 ，读作“ 的 次幂”。 10.2 幂的符号规律 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 示例： ；；。 11. 有理数的混合运算 11.1 有理数混合运算的顺序 有理数的混合运算应按下面的顺序进行：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 示例： 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 互为相反数的两个数之和为 0 若 、 互为相反数，则 ；反过来，若 ，则 、 互为相反数。 【使用提醒】 的相反数是 ，此时 ，结论仍成立。 1.2 绝对值的非负性 任何有理数的绝对值都是非负数，即 ；一个数的绝对值是它到原点的距离，因此不可能是负数。 1.3 绝对值与它本身的关系 若 ，则 （即 是正数或 ）；若 ，则 （即 是负数或 ）。 示例： 由 可知 为非负数，如 ，。 1.4 倒数等于本身的数 倒数等于它本身的数是 和 。 示例： ，。 1.5 一个有理数的平方是非负数 任何有理数的平方都是非负数，即 ；因此平方等于 的数有两个： 和 。 示例： ，，所以平方是 的数是 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加减运算“先定符号，再算绝对值” 先确定运算结果的符号，再计算绝对值。如 同号相加取负号，，故结果为 。 2.2 加减混合运算三步法 先把减法转化为加法，再把各个加数的括号及其前的“+”省略，最后利用加法交换律、结合律（连同符号一起交换）简化计算。如 。 2.3 有理数乘除法运算步骤 先确定符号（同号得正、异号得负；除法先化为乘法），再算绝对值的积或商。如 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 多重符号化简 一个数前面有偶数个“-”号结果为正，有奇数个“-”号结果为负 ， 比较两个负数 先比较绝对值，绝对值大的那个负数反而小 ，故 加法凑整 互为相反数先抵消、同号先相加、凑成整数再算 乘法凑整 先凑成 或整数，再用交换律、结合律、分配律 与 是 的相反数，底数是 ； 的底数是 ， 用数轴比较大小 数轴上右边的点表示的数总比左边的大 在 右边，故 4. 常见考试模型 4.1 用正负数表示具有相反意义的量（基准量模型） 公式： 实际值 基准值 带符号的偏差值（超过基准记正、低于基准记负）。 限定： 先确定“基准”（海平面、标准质量、警戒水位、盈亏零点等），偏差的符号由实际量与基准的大小关系决定。 示例： 把向东走 米记作 米，则向西走 米记作 米。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：有理数分类时把 0 错当正数或分数 典例： 下列各数：，，，，，，哪些是整数但不是正数？ 错解： 认为 是正数，或把 归为分数，从而漏掉 或错选。 正解： 整数包括正整数、 和负整数，其中 和负整数不是正数，所以答案是 和 。 原因： 概念记忆不牢。学生常把“非负整数”和“正整数”混为一谈，或把 习惯性地归入正数。 既不是正数也不是负数，它是整数、也是有理数，但绝不是分数。 易错点 2：两个负数比较大小，误认为绝对值大的就大 典例： 用“”“”填空： ____ 。 错解： 因为 ，所以 。 正解： ，，因为 ，而两个负数绝对值大的反而小，所以 。 原因： 把正数大小比较的规则（绝对值大就大）直接套用到负数上，忘了“两个负数，绝对值大的反而小”这一关键结论。凡比较两个负数，都要先比绝对值，再反过来写符号。 易错点 3：绝对值等于它本身的数，漏掉 0 典例： 如果 ，那么 一定是正数吗？ 错解： 认为 说明 是正数，漏掉了 。 正解： 一个正数的绝对值是它本身， 的绝对值也是 ，所以 时 ，即 是正数或 ，不能说“一定是正数”。 原因： 忽略 这个特殊情况。， 也满足“绝对值等于它本身”，学生往往只想到正数而忘了 。凡讨论“绝对值等于本身或相反数”，都要把 单列出来检验。 易错点 4：减法转化为加法时，减数的符号没有改变 典例： 计算：。 错解： 。 正解： 减去一个数等于加上这个数的相反数，。 原因： 只记得“减变加”，却忘了“减数要变号”。“减去 ”应变为“加上 ”（即 ），而不是照抄 。做减法时先写“被减数 （减数的相反数）”，再合并。 易错点 5： 与 的底数、符号分不清 典例： 计算 与 ，并比较它们的大小。 错解： 认为 。 正解： 表示 的相反数，； 表示 的 次幂，。所以 。 原因： 没搞清底数是谁。 的底数是 （负号不在底数内），而 的底数是 。负号是否被括号包住，决定了它是否参与乘方运算，结果符号截然不同。 易错点 6：混合运算顺序错误，未先算乘方和乘除 典例： 计算：。 错解： 按从左到右依次计算，或先算 ，结果出错。 正解： 先算乘方 ，再算乘除 、，最后算加减 。 原因： 没有掌握“先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号里”的运算顺序，习惯性地从左往右算。含乘方、乘除、加减混合的式子，务必先分级、再逐级计算。 学科网（北京）股份有限公司 $