专题02 几何图形的初步认识（期中知识清单）（6知识&10题型&6易错）七年级数学上学期新教材冀教版

专题02 几何图形的初步认识（6知识&10题型&6易错） 【清单01 丰富的图形世界】 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 【清单02 线段、射线、直线】 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 【清单03 角】 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【清单04 尺规作角】 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单05 余角、补角、方位角】 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 【清单06 旋转的概念与性质】 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2. 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【题型一 几何图形的认识】 【例1】将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角梯形绕高旋转是圆台，可得答案． 【详解】解：A、上面小下面大，圆台，故A符合题意； B、上面大下面小，侧面是曲面，故B不符合题意； C、上面小下面大，侧面是凹面，故C不符合题意； D、上面和下面同样大，侧面是曲面，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1】谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点．”则它是 ．（打一几何体） 【答案】圆锥 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从三个方向看常见几何体所看到的形状是解题的关键．结合圆锥的特点，根据“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点．”即可得． 【详解】解：由“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点．”可知，这个几何体是圆锥， 故答案为：圆锥． 【变式2】一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【分析】本题考查了求几何体的侧面积，有理数的乘法，由底面边长都是可知每个侧面的面积都相等，用一个侧面的面积乘以侧面的个数即可． 【详解】解：． 答：该直五棱柱所有侧面的面积之和为 【变式3】综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 【题型二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例2】下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义．根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：①射线是直线的一部分，正确； ②画一条射线，使它的长度为，射线是不可度量的，错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④射线和射线是同一条射线，端点不同，错误； ⑤直线和直线是同一条直线，正确． 所以错误的有②④，共个． 故选：B． 【变式1】如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 【变式2】 数轴的原点为 O，点A 表示，点B 表示 2． (1)数轴是什么图形? (2)射线 OA上的点表示什么数? (3)数轴上不小于，且不大于2的部分是什么图形? 【答案】(1)数轴可以看作规定了原点、正方向、单位长度的直线 (2)射线上的点表示非正数 (3)数轴上不小于，且不大于2的部分是线段 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，直线，射线和线段的相关定义，解题的关键是熟练掌握数轴的几何意义． （1）利用数轴的几何意义和直线的定义进行求解即可； （2）利用数形结合的数学思想，射线的定义及数轴的几何意义进行求解即可； （3）利用数轴的几何意义和线段的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：数轴可以看作规定了原点、正方向、单位长度的直线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：数轴上不小于，且不大于2的部分是线段． 【变式3】学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【题型三 线段的和差问题】 【例3】已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别计算线段的长度． 【详解】解：当点在线段上时， ∵ ，， ∴ ； 当点在线段的延长线上时， ∵ ，， ∴ ． 综上，线段的长为或． 故选：． 【变式1】已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．2或8 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 分类讨论：在线段上，在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当在线段上时，； 当在线段的延长线上时，． 综上所述：的长度为或． 故选：C． 【变式2】已知点A、B、C三点在一条直线上，线段，线段，则线段的长度为 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差运算，正确的画图是解答的基础．根据题意画正确图形：分两种情况①点A在线段上；②点A在线段的延长线上，再进一步解答即可． 【详解】解：①如图，点A在线段上， ∵线段，线段， ∴线段； ②如图，点A在线段的延长线上， ∵线段，线段， ∴线段； 故答案为：或． 【变式3】如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）先求解，再结合线段的和差可得答案； （2）由中点的含义可得，，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：∵线段，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【题型四 线段中点的计算】 【例4】已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键． 分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度． 【详解】解：情况一：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 情况二：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 故答案为：9或18． 【变式1】如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查线段中点的有关计算．根据中点的定义可得，进而可得，，再根据点D为线段的中点，即可求解． 【详解】解：，点C为线段的中点， ， ， ， ， 点D为线段的中点， ， 故答案为：6． 【变式2】如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求出，，，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求解即可； （3）根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 【题型五 角的四则运算】 【例5】计算（结果用度、分、秒表示）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式：． （2）解：原式． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键.. （1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法． （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： （2） 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （）根据度分秒的加法法则计算即可求解； （）先算乘法，再算加法； （）先算乘除法，再算加法； 本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型六 角的度数大小比较】 【例6】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 【变式1】比较大小： ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】比较大小： （用＞，＜或＝连结）． 【答案】＜ 【分析】本题考查的是角度的大小比较，角的单位换算，先把化为从而可得答案． 【详解】解：∵， 而， 故答案为：＜． 【变式3】若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，关键是能正确进行度分秒之间的换算． 先换算，再和的度数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【题型七 三角板中角度计算】 【例7】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 【变式1】如图，在一副直角三角板中，，，在同一平面内，将和的顶点重合、边和边重合，可以得到，则的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，分两种情况画出图形，根据三角板中角度的大小进行计算即可． 【详解】解：点B在下方时，如图所示： ； 点B在上方时，如图所示： ； 故答案为：或． 【变式2】如图，点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，平分． (1)若，求的度数； (2)根据（）的结论，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了补角的定义，余角的定义，角平分线的定义，直角三角形的性质，角的和差关系，掌握补角的定义及角平分线的定义是解题的关键． （）根据直角三角形的性质及补角的定义可知，再利用角平分线的定义及余角的定义即可解答； （）根据直角三角形的性质及补角的定义可知，再利用角平分线的定义及余角的定义即可解答； 【详解】（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：，理由如下： ∵是直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数， ∴与之间的数量关系为． 【变式3】如图，以直线上一点O为端点作射线，使 ，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注： (1)如果将三角板的一边放在射线上， 那么的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分求 的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点 O 任意转动，如果始终在 的内部，请直接用等式表示 和 之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）由角平分线可得，再利用角的和差进行计算即可求解； （3）分别用及的式子表达，然后进行列式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八 几何图形中角度计算】 【例8】如图，，，点B，O， D在同一条直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，先求出，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点B，O， D在同一条直线上， ∴, 故选：D． 【变式1】如图，点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线，若，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角的运算、平角的定义、角平分线及其性质，属于基础题，解题的关键是充分利用角平分线和平角的定义． 依题意，根据角平分线的性质求出的度数，由平角的性质可求出的度数，再由角平分线的性质可求出的度数． 【详解】解：∵，射线是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．先求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【变式3】如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的角度计算，根据是的平分线，可得，求得，由是的平分线，可得，即可求得． 【详解】解：是的平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ． 【题型九 余角与补角】 【例9】如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 【变式1】如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，理解图示，掌握角度和差的计算方法，互余、互补的概念及计算是解题的关键． （1）根据题意可得，由角平分线的定义得到，由即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，列式计算得，根据互补的关系有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， ∴， ∴． 【题型十 平面图形的旋转】 【例十】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式1】如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 【变式2】如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 【答案】30 【分析】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据直角三角尺得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形完全相等及找到旋转角是解本题关键． 【详解】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：30． 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转）后得到．    (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查了旋转的性质，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：由旋转可知， ∴． （2）解：∵ ∴． 由旋转可知 ∴ ∴ 即旋转角为． 【题型一 直线、射线、线段的相交问题】 【例1】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键．平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行且和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 【变式1】若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 【变式2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 【变式3】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 【题型二 线段的和差计算问题】 【例2】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．根据线段中点的定义可得，，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：点是线段的中点， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】  (1)根据，可求得，据此即可求得答案； (2)先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键． 【变式2】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 【变式3】 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 【题型三 角的旋转问题】 【例3】如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 【变式1】如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况讨论：顺时针旋转与逆时针旋转，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 【变式2】如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 【变式3】一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 【题型四 角平分线相关问题】 【例4】如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 【变式1】已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差、几何图形中的角度计算等知识点，能根据图形求出各个角的度数是解题的关键． （1）根据图形得出，然后代入数据即可解答； （2）根据角平分线定义求出，再代入求解即可； （3）根据图形得出，，两式作差即可解答． 【详解】（1）解：如图①，． 故答案为：20． （2）解：如图②，∵恰好平分，， ∴， ∵∠BOC=70°， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③，∵， ∴ ， ∴． 【变式3】已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，理由见解析 (3)射线不能平分，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，以及角平分线定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差，以及角平分线定义，结合图形计算求解即可； （2）利用角平分线定义得到，再结合角的和差与等角的代换推出，即可解题； （3）根据题意得到，再结合角平分线定义推出大于平角，此时就不在的上方，即可说明射线不能平分． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∵是直角，， ∴， ∵平分． ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：射线不能平分，理由如下： 如图，∵， ∴， ∴，即为钝角， 若平分，则大于平角，此时就不在的上方， 所以在图2中，射线不能平分． 【题型五 几何图形中角度计算的分类讨论问题】 【例5】O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分． (1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）用互补算出，通过平分求得，然后用减法计算即可； （2）分情况讨论，在的内部和外部两种情况，根据（1）的方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为补角， ∴． ∵平分 ∴， ． 故答案为：，； （2）解：设，则． 因为OE平分， 所以． 分以下两种情况讨论： ①当射线OE在的外部时（如图①）， ． 因为， 所以， 解得，即； ②当射线OE在的内部时（如图②）， ． 因为， 所以，解得，即． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查的是余角、补角和角平分线，解题的关键是掌握余角、补角和角平分线之间两角的数量关系． 【变式1】如图所示：点在直线上．    (1)如图（1），过点作射线，若．求的度数； (2)如图（2），在内部过点作，平分，若，直接写出的度数（用表示）； (3)如图（3），在（2）问的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平角，角平分线的定义等知识，运用数形结合思想是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据平角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系求解即可； （3）根据角的和差关系和角平分线的定义求出，进而求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差倍分运算，结合已知条件，熟练应用角平分线定义得到关于角的关系是本题解题的关键． （1）利用角平分线定义及角的和差进行计算即可； （2）设，则，然后利用角的和差及已知条件求得，继而得出答案； （3）利用已知条件及角的和差易得，再根据角平分线的性质及（）中所求可得，继而可得，再利用角的和差并结合已知条件列得关于的方程，解得的值，从而可得，的度数，最后利用角的和差计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ． （2），理由如下： 设，则， ， ， ，， ， ， ； （3），， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ． 【变式3】如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 【题型六 几何图形中角度之间的关系问题】 【例6】如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】探究一： 平分，理由见解析；探究二：（1），理由见解析；（2）或 【分析】考查角平分线的，与三角板有关的角度计算． 探究一：由平分，，可求出，再根据，可得，进而得出结论； 探究二：（1）由，，可求出，再根据角的和差之间的关系得出； （2）分两种情况进行探究，即：当在的内部，且在直线的上方时；当在的内部，且在直线的下方时；得或． 【详解】解：探究一、平分，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， 平分； 探究二、（1）， ， ， ， ， ， 即：， （2）分以下两种情况： 当在的内部，且在直线的上方时，如图④所示： ， ； 当在的内部，且在直线的下方时，如图⑤所示： ， 即 ， ． 综上所述，或． 【变式1】【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． 【变式2】【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）①；②不变，理由见解析；（2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； ②根据①的方法计算即可求解； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，，①由，可得，即可求解； ②根据角平分线的定义可得由，可得，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变 理由如下：因为点C和点D分别是的中点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②． 理由如下： ∵和分别平分和． ∴， ∴ ∴ 【变式3】【问题提出】 （1）如图1，点，，在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则__________； 【问题探究】 （2）如图2，点，，不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及角度和差关系． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合； （2）有题意得，结合角平分线得，结合即可； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可． 【详解】解：（1）∵点、、在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）．理由： ∵是内的一条射线， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由： ∵平分，平分， ∴． ∵是内的一条射线， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形的初步认识（6知识&10题型&6易错） 【清单01 丰富的图形世界】 1、组成几何图形最基本的元素是 ． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 图形的运动 (轴对称)， ， 是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的 和 ． 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，正方体的表面展开图有 种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫 ，从左面看到的图叫 ，从上面看到的图叫 ，即物体的 ． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 【清单02 线段、射线、直线】 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 射线 射线OM 1个 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1） ：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用 ：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 . 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做 ．如下图，有： 【清单03 角】 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做 ，这个公共端点是 ，这两条射线是角的 ；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 角的度量单位： 是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【清单04 尺规作角】 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单05 余角、补角、方位角】 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为 ． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为 ． 方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做 . 【清单06 旋转的概念与性质】 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做 ．点O叫做 ，转动的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 ． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中， ，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2. 旋转三要素： ① ； ② ； ③ ．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【题型一 几何图形的认识】 【例1】将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，中间是一点．”则它是 ．（打一几何体） 【变式2】一个直五棱柱的模型如图所示，它的底面边长都为，侧棱长都为．求该直五棱柱所有侧面的面积之和． 【变式3】综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【题型二 直线、射线、线段的联系与区别】 【例2】下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【变式2】 数轴的原点为 O，点A 表示，点B 表示 2． (1)数轴是什么图形? (2)射线 OA上的点表示什么数? (3)数轴上不小于，且不大于2的部分是什么图形? 【变式3】学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【题型三 线段的和差问题】 【例3】已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【变式1】已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．2或8 【变式2】已知点A、B、C三点在一条直线上，线段，线段，则线段的长度为 【变式3】如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【题型四 线段中点的计算】 【例4】已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【变式1】如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 【变式2】如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【变式3】如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【题型五 角的四则运算】 【例5】计算（结果用度、分、秒表示）： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六 角的度数大小比较】 【例6】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】比较大小： ．(填“”“”或“”) 【变式2】比较大小： （用＞，＜或＝连结）． 【变式3】若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【题型七 三角板中角度计算】 【例7】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【变式1】如图，在一副直角三角板中，，，在同一平面内，将和的顶点重合、边和边重合，可以得到，则的度数为 °． 【变式2】如图，点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，平分． (1)若，求的度数； (2)根据（）的结论，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】如图，以直线上一点O为端点作射线，使 ，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注： (1)如果将三角板的一边放在射线上， 那么的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分求 的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点 O 任意转动，如果始终在 的内部，请直接用等式表示 和 之间的数量关系． 【题型八 几何图形中角度计算】 【例8】如图，，，点B，O， D在同一条直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线，若，则 ． 【变式2】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【变式3】如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 【题型九 余角与补角】 【例9】如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【变式1】如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【变式2】如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式3】如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 【题型十 平面图形的旋转】 【例十】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    【变式2】如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 【变式3】如图，将绕点顺时针旋转）后得到．    (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【题型一 直线、射线、线段的相交问题】 【例1】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【变式1】若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【变式2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【变式3】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【题型二 线段的和差计算问题】 【例2】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【变式1】如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若，是的中点，求的长． 【变式2】在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【变式3】 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【题型三 角的旋转问题】 【例3】如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【变式1】如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式2】如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【变式3】一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【题型四 角平分线相关问题】 【例4】如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【变式1】已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【变式2】如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则________； (2)如图②，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系：________． 【变式3】已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则__________；若，则__________；与的数量关系是__________． (2)当绕点顺时针旋转到如图2的位置时（在上方），（1）中与的数量关系是否还存在？请说明理由； (3)在图2中，反向延长得射线，试探索射线能否平分，若能，求的度数；若不能，请说明理由． 【题型五 几何图形中角度计算的分类讨论问题】 【例5】O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分． (1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________． (2)若，求的度数． 【变式1】如图所示：点在直线上．    (1)如图（1），过点作射线，若．求的度数； (2)如图（2），在内部过点作，平分，若，直接写出的度数（用表示）； (3)如图（3），在（2）问的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 【变式2】已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 【变式3】如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【题型六 几何图形中角度之间的关系问题】 【例6】如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 【变式1】【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【变式2】【问题情境】 如图（1），已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则 cm． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请计算说明；如果变化，请说明理由． 【问题解决】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图（2），已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【变式3】【问题提出】 （1）如图1，点，，在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则__________； 【问题探究】 （2）如图2，点，，不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $