第三章反比例函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第三章 反比例函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识反比例函数 1.1 反比例关系 变量 与变量 在变化过程中，它们的乘积不变，我们就说变量 与 具有反比例关系。类似地，变量 与 也具有反比例关系。 示例：当行驶路程 一定时， 与 满足 ，乘积 保持不变，所以 与 具有反比例关系。 1.2 反比例函数的定义 一般地，如果两个变量 ， 之间的对应关系可以表示成 （ 为常数，）的形式，那么称 是 的反比例函数。反比例函数的自变量 不能为 。 示例：、、（即 ）都是反比例函数；、 不是反比例函数。 注意：反比例函数中必须满足 ；若 ，则 ，不再是反比例函数。 2. 反比例函数的图象与性质 2.1 反比例函数的图象 反比例函数 的图象是由两支曲线组成的。当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。这两支曲线通常称为双曲线。 示例： 中 ，两支曲线分别位于第一、三象限。 图1：反比例函数 的图象 2.2 反比例函数的性质 反比例函数 的图象，当 时，在每一象限内， 的值随着 值的增大而减小；当 时，在每一象限内， 的值随着 值的增大而增大。 示例： 中 ，在第一象限内 随 增大而减小； 中 ，在第二象限内 随 增大而增大。 注意：增减性必须限定”在每一象限内”，不同象限之间不满足这一增减关系。 图2：，， 的图象（） 图3：，， 的图象（） 2.3 反比例函数图象与坐标轴的关系 当 值的绝对值无限增大时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 轴；当 值的绝对值无限接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 轴。但永远不会与 轴和 轴相交。 示例： 的图象无论怎样延伸，都不会与 轴、 轴相交。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 反比例函数表达式的等价形式 （）可变形为 。判断一个函数是否为反比例函数，就看它能否化成 （）的形式；判断点是否在图象上，可验证 是否为常数 。如 即 ，是反比例函数。 1.2 反比例函数图象的对称性 反比例函数 （）的图象既是中心对称图形，对称中心是坐标原点 ；又是轴对称图形，对称轴是直线 和直线 。 1.3 的几何意义 过反比例函数 图象上任一点 作坐标轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积都相等，等于 ；过该点与原点 连成的直角三角形的面积等于 。 【使用提醒】面积为 （取绝对值）；由面积反求 时，符号由点所在象限决定（第一、三象限 ，第二、四象限 ）。 1.4 反比例函数与正比例函数图象的交点 正比例函数 与反比例函数 （）的图象：当 时有两个交点，且两交点关于原点对称（坐标互为相反数）；当 时没有公共点。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求反比例函数表达式 设 （）→ 把已知点 代入，得 → 写出表达式。如过点 ，则 ，表达式为 。 2.2 判断点是否在反比例函数图象上 把点的横、纵坐标相乘，验证 是否等于 （或代入表达式验证）。如 ，点 有 ，在图象上；点 有 ，不在图象上。 2.3 比较反比例函数图象上两点函数值的大小 先由 的符号确定增减性，再看两点是否在同一象限：同象限用”每一象限内 随 增大而减小（）或增大（）“比较；异象限直接比符号——第一、三象限内 与 同号，第二、四象限内 与 异号。如 上两点 、 异象限，，故 。 2.4 由图象求不等式解集 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，先求交点，再画草图，依据图象的上下关系写出不等式（如 ）的解集，注意 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 判象限 图象在第一、三象限； 在第二、四象限 的图象在第一、三象限 判增减性 每象限内： 时 随 增大而减小， 时随 增大而增大 每象限内 随 增大而增大 比较大小 同象限用增减性，异象限比符号（ 与 同号为正、异号为负） 上两点 、 异象限， 求 已知图象上一点 ，直接 过点 ，得 判点是否在图象上 算 是否等于 ，比代入表达式更快捷 上点 ： 4. 常见考试模型 4.1 反比例函数应用模型 公式：实际问题中两个量的乘积为定值时成反比例关系，设 （或 ），先用一对已知值求 ，再求其他值或解不等式。常见如压强 （压力 一定）、欧姆定律 （电压 一定）、蓄水排水 （水量 一定）。 限定：实际问题中自变量通常取正数（，，），并受题目给定范围限制，解出的值须符合实际意义。 示例：如 ，则 ，要求 ，即 ，解得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略反比例函数定义中 的条件 典例：若 是 关于 的反比例函数，求 的取值范围。 错解： 是反比例函数， 可取任意实数。 正解：反比例函数 要求 ，故 ，即 。所以 的取值范围是 。 原因：概念理解不完整。反比例函数的定义包含两个条件——“能表示成 的形式”和”“。学生只记住前者，忽略了 这一隐含条件；当 时，，对应关系不再是反比例函数。凡由定义反求参数，都要回代检查 。 易错点 2：增减性漏掉”在每一象限内”，跨象限比较大小出错 典例：已知点 ， 在反比例函数 的图象上，比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 随 的增大而增大，又 ，所以 。 正解：，在每个象限内 随 增大而增大。但 与 不在同一象限：，点 在第二象限，；，点 在第四象限，。所以 ，即 。 原因：忽略增减性成立的前提。反比例函数的增减性必须限定”在每一象限内”；跨象限时 的符号发生改变，不能直接套用增减性。学生把正比例函数”整个定义域内 随 增大而增大（减小）“的经验迁移到反比例函数，忽略了反比例函数图象分居两个象限、不连续的特点。 易错点 3： 的几何意义忘记取绝对值 典例：过反比例函数 图象上一点 分别作 轴、 轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积是多少？ 错解：矩形的面积为 。 正解：矩形面积等于 。 原因：面积是正数，但 可正可负。学生直接把比例系数 当作面积，忽略了取绝对值。牢记：过图象上一点作坐标轴垂线围成的矩形面积恒为 ，与点所在象限无关。 易错点 4：误以为反比例函数图象与坐标轴相交 典例：反比例函数 的图象与 轴、 轴有交点吗？请说明理由。 错解：有交点。 正解：没有交点。因为 ，图象与 轴（）无交点；又 ，图象与 轴（）也无交点。反比例函数图象的两个分支无限接近坐标轴，但永远不会相交。 原因：对双曲线的渐近特征理解不清。学生误以为曲线”延伸”到坐标轴就”相交”，没有从函数解析式角度（ 且 ）验证。反比例函数图象与坐标轴无交点，这是由 、 共同决定的。 易错点 5：正比例函数与反比例函数表达式混淆 典例：已知 与 成反比例，且当 时 ，求 与 之间的函数表达式。 错解：设 ，把 ， 代入，得 ，所以 。 正解： 与 成反比例，应设 。把 ， 代入，得 ，解得 。所以 。 原因：概念混淆。学生把”成反比例”误当成”成正比例”，设成 。正比例函数 中 随 成倍变化，反比例函数 中 、 的乘积为定值，二者形式、图象、性质都不同，审题时须看清”成正比”还是”成反比”。 易错点 6：实际问题中忽略自变量的取值范围 典例：某蓄水池满池水量为 ，将满池水排空所需时间 （单位：）与排水速度 （单位：）之间的函数表达式为 ，写出自变量 的取值范围。 错解：自变量 的取值范围是 。 正解：排水速度 ，且不超过水池实际允许的最大排水速度。所以自变量 的取值范围是 。 原因：忽略实际意义。反比例函数 从解析式上只要求 ，但在实际问题中，自变量（如速度、面积、电阻）都是正数，还要受”最大值”“不得超过”等实际限制。学生直接把解析式的 照搬，漏掉了 及速度上限这一实际约束。 学科网（北京）股份有限公司 $