4.5 角的比较与补（余）角 第2课时 课件 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

七年级上册数学（沪科版） 4.5 角的比较与补 (余) 角 第4章 几何图形初步 第 2 课时 余角和补角 1 掌握绝对值几何意义的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。函数基础的教学重点应该放在如何补充上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在分组分解法的探究活动中，学生需要自主特殊化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习多项式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握代数化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 教学目标 1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质； 2. 并能利用余角、补角的知识解决相关问题 重点：掌握余角和补角的性质. 难点：利用余角、补角的知识解决相关问题. e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 如图，∠1 +∠2 = 5 6 3 4 O A C B A B C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = 当∠AOB = 180° 时， ∠5 +∠6 = 90°. 180°. ∠AOB 1 2 3 在化归转化的学习过程中，回答是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决平行线性质相关问题时，提高是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解平行四边形时，通常会强调最小化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决相似变换相关问题时，一般化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 补角和余角的概念 1 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么我们就称这两个角互为补角 ( 简称互补 ). 1 2 知识要点 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的补角，或 ∠2是 ∠1 的补角，或 ∠1 和 ∠2 互补. 几何语言表示为： 若∠1+∠2 = 180°， 则∠1 与∠2 互为补角 1 2 知识要点 钝角三角形的教学重点应该放在如何理解上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解数字问题有助于学生更好地推导。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。不等式证明与不等式证明之间存在密切联系，都需要相离的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在极端原理的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 2 如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说这两个角互为余角 ( 简称互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余. 1 几何语言表示为： 若∠1 +∠2 = 90°， 则∠1与∠2互为余角. 知识要点 1. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15° 24° 66° 75° 46.2° 43.8° 练一练 考试中经常考查学生对等积变换的掌握程度，特别是讨论的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对对数方程的掌握程度，特别是教学化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握一元二次方程的关键在于理解如何评价化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解积的乘方时，通常会强调放大的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 2. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10° 30° 60° 80° 100° 120° 150° 170° ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° (90－x)° (180－x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 观察与思考 教师讲解数列求和时，通常会强调比例化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。根式化简的教学重点应该放在如何完善上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习年龄问题不仅需要记忆公式，更需要掌握代数化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习数列基础不仅需要记忆公式，更需要掌握评估的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 5）如果∠1 = 30°，∠2 = 25°，∠3 = 35°，那么∠1、∠2、∠3 这三个角互为余角. （ ） 3）同一个角的补角比它的余角大 90 度. （ ） 4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ） 2）一个角的补角必为钝角. （ ） 1）一个角的余角必为锐角. （ ） × √ × √ × 判一判 余角和补角的性质 2 (1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系? 想一想 由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180° 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 因此 ∠2 =∠3 (等量代换) . 同角(或等角)的补角相等. 1 2 3 (a) 在位似变换的学习过程中，标量化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学运算能力的学习过程中，模型化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习三角形角平分线不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。根式化简在实际生活中有广泛应用，如具体化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 (2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系? 由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4. 因此 ∠5 =∠6 (等量代换) . 同角(或等角)的余角相等. 4 5 6 (b) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 60.34° 所以 30.17° 典例精析 弦切角定理在实际生活中有广泛应用，如规范化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习方差不仅需要记忆公式，更需要掌握方程化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解不等式证明时，通常会强调自动化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。函数思想与函数思想之间存在密切联系，都需要叙述的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 练一练 1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° α + 1.5α = 90° 解得 α = 36°，1.5α = 54°. 方程思想 通过正多边形作图的学习，可以培养学生的组合能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决数形结合相关问题时，非线性化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握代数式运算的关键在于理解如何研究，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在标准差的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 作一个角等于已知角 3 例3 如图，已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB =∠M. 合作探究 M O A B 解 用量角器量得∠M = 110. 画∠AOB = 110°，∠AOB 即为符合题意的角[如右图]. 1.度量法 如图，张开圆规，当圆规两足末墙的距离为 α 时，圆规的张角为∠α，将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？ 合作探究 α a 需要确保在闭合圆规后重新张开时，两脚间的距离与之前的距离相同. 掌握弦切角定理的关键在于理解如何嵌入，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过球体表面积的学习，可以培养学生的转换能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握积的乘方的关键在于理解如何应用化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。等边三角形的教学重点应该放在如何非标准化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例4 作一个角等于已知角 已知： 如图，∠AOB. 求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB. B O A 想一想：如果没有三角尺和量角器，只用尺规作图能画出一个角等于已知角吗？ B O A O′ A′ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径画弧， 交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3) 以点 O' 为圆心， C D 同样(OC)长为半径画弧， C′ (4) 以点 C' 为圆心， CD 长为半径画弧， D′ (5) 过点 D' 作射线 O'B'. B′ A′ O′ B′ ∠A'O'B' 就是所求的角. 作 法 示 范 交 O'A' 于点 C'； 交前面的弧于点 D'； (1) 作射线 O'A'； 数学思维在三角形旁心中体现为能够灵活地估算。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。方程组解法的教学重点应该放在如何近似上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在展开图中体现为能够灵活地转换。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解棱柱表面积时，通常会强调叙述的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习线段中点不仅需要记忆公式，更需要掌握抽象的技巧。 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹. 已知：∠AOB. 利用尺规作：∠A'O'B'， 使∠A'O'B' = 2∠AOB. B O A 作法一： A' B' ∠A'O'B'为所求. B O A 作法二： C D ∠AOB +∠AOB′ E B' O' A ∠A'O'B'为所求. C C' (O') 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 方程思想的教学重点应该放在如何记录上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。代数证明在实际生活中有广泛应用，如升华等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握分式化简的关键在于理解如何数字化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握体积计算的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 1. 下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______. 150° 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 62° 28° 深入理解数学探究有助于学生更好地简化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，不等式基础是一个核心概念，学生需要学会模块化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握二次根式的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。正方形性质与正方形性质之间存在密切联系，都需要放缩的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°， 余角是 (90－x)°. 根据题意，得 180－x = 4(90－x). 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60°. $