山东聊城文轩初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情检测数学试题

2024级初三上学期第一次月考数学试题 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，则的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B． C． D．不存在 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 5．如图，已知直线，m分别交，，于点，，，n分别交，，于点D，，，若，，，则线段的长为（   ）    A．6 B． C． D． 6．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 7．已知是方程的两个实数根，则（     ） A．1 B．10 C． D． 8．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙（图中阴影部分），另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．方程 的根是，则方程的根是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，只要求写出最后结果） 11．方程的解是______． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 13．如图，由12个大小相同的小正方形组成．若小正方形的边长为，则线段的长为______. 14．如图，，若，则的值为_________.    15．一块三角形纸片（△ABC）按如图所示方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕是EF，以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，已知AB=AC=4，BC=3，则BF的长是___________． 三、解答题（本题共7个小题，共70分） 16．（12分）解一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 17．（8分）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 18．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根． (2)若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长． 19．（8分）如图，小华在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时 ，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知小华的身高是，两个路灯的高度都是 9.6 m，且。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小华走到路灯 B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？ 20．（8分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 21．（12分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC交DE于点F． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 22．（12分）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 (1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《山东聊城文轩初级中学2026-2027学年初三上学期第一次阶段学情检测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C D A B C C 1．D 【解析】A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．B 【解析】将代入得， ，得 故选：B 3．A 【解析】∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得：， ∴， 故选：A 4．D 【解析】∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【解析】∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， 故选：C． 6．D 【解析】， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项不符合题意； C、， ，故本选项不符合题意． D、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； 7．A 【解析】∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 8．B 【解析】设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：B． 9．C 【解析】∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 10．C 【解析】设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 11． 或 【解析】， ， 或， 解得：或， 故答案为：或． 12．且 【解析】方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是且 ． 13．30 【解析】如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 14． 【解析】如图，AB 与 CD 交于点 E，BC ∥ ED ∥ AF，BC = 5，AD = 3，EF 交 AC 于 F，求 EF 的长。 在△ABC 中，∵ EF ∥ BC ∴ 在△ACD 中，∵ EF ∥ AD ∴ 将上面两个比例式左右两边分别相加，得： 结论：，即 15．或 【解析】∵ ∴以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，则和 ∵折叠， ∴ ∵AB=AC=4，BC=3， 设，则 ①当时， 即 解得 ②当时 则 即 解得 综上所述，的长为：或 故答案为：或 16．（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴ 解得：； （3）解：， ∴， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 17．(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 18．(1) 证明：， ， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：分情况讨论：当为腰时，方程有一个根为， 将代入方程，得， ， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边长为5，5，3， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 当为底边时，方程有2个相等的实数根， ， ， ∴方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边长为3，3，5， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 综上，当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13． 19．（1）解：如图1， ∵， ∴ ， ，即 ， ∴ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴ 。 答：两路灯的距离为 18 m。 （2）解：如图2，他在路灯 A 下的影子为 BN， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 。 答：当他走到路灯 B 时，他在路灯 A 下的影长是 3.6 m。 20．（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 21．（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△DCA∽△CBA， ∴， ∴AC2=AB•AD． （2）∵∠ACB=90°，AE=EB， ∴CE=AE=EB， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAE， ∴∠DAC=∠ACE， ∴AD∥EC． （3）由（1）知，， ∵ ∴ ∴ 在 中，∵ 为 的中点， ∴ 由（2）知， ∴ ∴ ∴ ∴ 22．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接交于点，作交于点， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答案第2页（共10页） 答案第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $