第13讲 函数的零点与方程的解讲义-2027届高三数学一轮复习

第13讲　函数的零点与方程的解 【知识梳理】 一、函数的零点与方程的解 1．零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点。零点是一个实数，不是点，是方程 的根，也是图象与 轴交点的横坐标。 2．三个等价：函数 有零点 方程 有实数解 函数 的图象与 轴有公共点。 3．零点存在性定理：若函数 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则 在 内至少存在一个零点。 4．定理的两点说明：① 只保证“存在”，不保证“唯一”，若还需唯一性，通常补上单调性；② 条件 是充分不必要条件， 时函数仍可能有偶数个零点。 5．零点个数的常用判断方法：① 解方程法（代数法，适用于解析式简单的情况）；② 图象法（把方程变形为 ，数两个图象交点个数，最通用）；③ 单调性 零点存在性定理（先确定单调区间，再逐段判断端点函数值符号）。 6．常用结论：单调函数在每个单调区间内至多有一个零点；二次函数零点个数由判别式 决定；若 的图象连续且在区间端点处同号，则该区间上零点个数为偶数（含 ）。 二、二分法 1．定义：对于在 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。适用条件：图象连续、端点函数值异号。 2．步骤：① 确定初始区间 ，验证 ；② 求区间中点 ；③ 计算 ：若 ，则 就是零点；若 ，令 （零点在 内），否则令 ；④ 判断是否达到精确度 ，若 ，则区间内任意一点可作为零点近似值，否则重复。 3．二分 次后区间长度为 ，故所需次数 满足 。 三、复合（嵌套）函数的零点 方程 的求解分两步：先解 得 ，再分别解 ，其解的个数为各方程解数之和。设 时必须注意 的取值范围（即 的值域），这是此类问题的核心。 图 1　零点存在性定理：连续曲线在 时必穿过 轴 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数零点所在区间的判定 【方法点拨】验证“图象连续 端点函数值异号”；计算端点函数值时常借助 、、 等估算；若端点同号，需检查区间内是否有偶数个零点。 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·江苏·二模）（多选）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．若为正数，，则 B．若为正数，，则 C．若，则函数有唯一零点 D．若，则函数的零点个数为奇数 【题型强化练1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 题型二　函数零点个数的判定 【方法点拨】首选“分离 图象”：把方程变形为 ，一侧为熟悉的简单函数，另一侧含参数，数图象交点个数；也可用单调性逐段分析端点与极值的符号。 【例1】（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（2026·海南·模拟预测）（多选）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【题型强化练1】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【题型强化练2】（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型强化练3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·云南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型强化练5】（2026·河南郑州·模拟预测）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三　根据函数零点求参数 【方法点拨】参数分离后转化为“水平直线与定图象的交点个数”；不能分离时按参数分类画图；注意临界位置（相切、过端点、过极值点）是否包含，需单独检验。 【例1】（2026·河北秦皇岛·二模）已知函数，有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【变式训练1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·河北沧州·二模）（多选）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型强化练2】（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·山东德州·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【题型强化练5】（2026·山东菏泽·一模）（多选）函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若有三个零点，则 D．若关于的方程存在实数解，则实数满足或 题型四　复合函数零点问题 【方法点拨】“先外后内”：令 ，解外层方程得 的值，再在 的允许范围内解 ；画图时先画 的图象，再用水平线扫描，逐一数交点。 【例1】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【变式训练1】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于x的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 【题型强化练1】（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026高三·全国·专题练习）设，若关于的方程有三个不同的实数解、、，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型强化练5】（25-26高一上·江西九江·期末）（多选）已知函数设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若有4个零点，则 B．若，则有5个零点 C．对任意恒有2个零点 D．若有6个零点，记零点从小到大依次为，则为常数 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲　函数的零点与方程的解 【知识梳理】 一、函数的零点与方程的解 1．零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点。零点是一个实数，不是点，是方程 的根，也是图象与 轴交点的横坐标。 2．三个等价：函数 有零点 方程 有实数解 函数 的图象与 轴有公共点。 3．零点存在性定理：若函数 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则 在 内至少存在一个零点。 4．定理的两点说明：① 只保证“存在”，不保证“唯一”，若还需唯一性，通常补上单调性；② 条件 是充分不必要条件， 时函数仍可能有偶数个零点。 5．零点个数的常用判断方法：① 解方程法（代数法，适用于解析式简单的情况）；② 图象法（把方程变形为 ，数两个图象交点个数，最通用）；③ 单调性 零点存在性定理（先确定单调区间，再逐段判断端点函数值符号）。 6．常用结论：单调函数在每个单调区间内至多有一个零点；二次函数零点个数由判别式 决定；若 的图象连续且在区间端点处同号，则该区间上零点个数为偶数（含 ）。 二、二分法 1．定义：对于在 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。适用条件：图象连续、端点函数值异号。 2．步骤：① 确定初始区间 ，验证 ；② 求区间中点 ；③ 计算 ：若 ，则 就是零点；若 ，令 （零点在 内），否则令 ；④ 判断是否达到精确度 ，若 ，则区间内任意一点可作为零点近似值，否则重复。 3．二分 次后区间长度为 ，故所需次数 满足 。 三、复合（嵌套）函数的零点 方程 的求解分两步：先解 得 ，再分别解 ，其解的个数为各方程解数之和。设 时必须注意 的取值范围（即 的值域），这是此类问题的核心。 图 1　零点存在性定理：连续曲线在 时必穿过 轴 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数零点所在区间的判定 【方法点拨】验证“图象连续 端点函数值异号”；计算端点函数值时常借助 、、 等估算；若端点同号，需检查区间内是否有偶数个零点。 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【例2】（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 【变式训练1】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 【变式训练2】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 【变式训练3】（2026·江苏·二模）（多选）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．若为正数，，则 B．若为正数，，则 C．若，则函数有唯一零点 D．若，则函数的零点个数为奇数 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式结合特例可判断AB；利用函数的单调性，结合函数的零点存在性定理进行判断CD. 【详解】对于选项A，当，则，,不妨设，则， 那么，当，同理可得.故选项A正确； 对于选项B，若为正数，，当时，若，则，不一定有.故选项B错误； 对于选项C，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 因此，函数有唯一零点.故选项C正确； 对于选项D，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 若存在，使得，则，那么必存在 ，满足. 从而若在有个零点，则对应的在相应的有个零点， 从而可知若，函数的零点个数为奇数个个，故选项D正确. 【题型强化练1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合反函数的性质判断ABC；利用零点存在性定理及不等式性质推理判断D 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，，    由反函数性质知，关于对称，则，，，ABD错误； 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，C正确. 故选：C 【题型强化练2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 【题型强化练3】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的零点，转化为的零点，根据函数单调性，以及，假设存在，使得，则只需，根据函数性质，假设成立，故即可根据单调性得到结论. 【详解】由的零点， 转化为的零点， 因为均为减函数， 在上单调递减且， 又， ， 若存在，使得，只需， 则即可，存在值， 在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点. 故选：B 【题型强化练4】（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 【题型强化练5】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 题型二　函数零点个数的判定 【方法点拨】首选“分离 图象”：把方程变形为 ，一侧为熟悉的简单函数，另一侧含参数，数图象交点个数；也可用单调性逐段分析端点与极值的符号。 【例1】（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 【变式训练2】（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数值为整数可求零点个数. 【详解】的零点即为的解， 而的函数值为整数，故或，其中， 由可得，且， 若为正整数，则， 若，则； 若为负整数，设，则为正整数， 则， 综上，当为整数时，总有，故，故； 由可得，同理可得， 故，所以，故， 而为整数，故与不相等， 故函数的零点个数为. 【变式训练3】（2026·海南·模拟预测）（多选）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当时，； 当时，，则； 当时，，则， 对于A，当时，；当时，；当时， ，函数的值域为，A错误； 对于B，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，由选项A及，得或，解得 或，方程有3个不同的解，C正确； 对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解， 等价于方程在内各有一个实数根， 因此，解得，D正确. 【题型强化练1】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【答案】C 【分析】整理可得，令，，可得，分类讨论与1的大小，结合函数图象分析判断. 【详解】因为，，为两两不相等的正数， 令，可得， 令，，则，，且均不为1，可得， 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，， 可知与没有交点，即没有零点； 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确. 【题型强化练2】（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． 【题型强化练3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，时可得实根个数为1，2，4，进而证明3个实根不可能即可得结论． 【详解】方程的互异的实根个数可能为，举例如下： 当时，方程 故若，则方程只有1个实根． 当时，，解得或， 故若，则有2个实根， 若，则， 解得或或，故有4个实根． 下证明3个实根不可能． 设的判别式， 的判别式． 若，则，最多有两个实根． 若．则是的二重根， 代入得 . 则的根也是的根，则有两个实根． 若，则的根满足的根满足． 若 与  有公共根，可推出 ，与 的假设矛盾， 故两方程没有公共根，因此，当时，方程 有4个互异的实根, 故选：C. 【题型强化练4】（2026·云南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】原题意等价于函数与函数图象的交点个数，作出函数图象即可得解. 【详解】因为方程的解的个数，等价于函数与函数图象的交点个数， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 在同一直角坐标系中，分别作出它们的图象， 由图象可知，交点个数为3. 故选：B. 【题型强化练5】（2026·河南郑州·模拟预测）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 题型三　根据函数零点求参数 【方法点拨】参数分离后转化为“水平直线与定图象的交点个数”；不能分离时按参数分类画图；注意临界位置（相切、过端点、过极值点）是否包含，需单独检验。 【例1】（2026·河北秦皇岛·二模）已知函数，有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，即 与 有三个不同交点；再分 和 两种情况，结合分段函数分析交点个数，确定 的取值范围. 【详解】解： 有三个零点，则 有三个不相等的根， 即函数 与 有三个不同的交点． 当 时， ①当时， ，联立方程为：， 该方程在有解的条件是： 时，有1个解； 时， 无解； ②当 时， ，分 和 讨论： 当时：方程为 ，判别式 ，两根乘积为 ， 因此有且仅有 1 个正根，且正根 恒成立，方程有1 个解； 当时：方程为 ， 若 ，则判别式 ，方程无实根， 此时可知，函数的总零点个数为个，不符合要求； 若 ，方程为 ，得 ， 此时仅有1个重根，函数的总零点个数为 个，不符合要求； 若 ， ，方程有两个不相等正根， 且最小根 ， 因此两个根都满足 ，即有2个解； 此时函数的总零点个数为3个，符合三个零点的要求； 当 时， 与 有一个交点， 分别与 各有一个交点，需满足 ； 即 在 区间与 有 2 个交点，故； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 【变式训练1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知， 方程等价于． 所以或． 要使方程在内恰有两个不同实数根，需要，，且． 由，得．结合，得． 又两个根不同，所以．因此． 【变式训练2】（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 【变式训练3】（2026·河北沧州·二模）（多选）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性的性质、对勾函数的单调性、基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数在区间上单调递减，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以此时，， 要想函数在区间上有两个不同的零点， 只需， 显然选项A正确； 由，选项B不正确； 因为，所以， 因为， 所以，因此选项C正确； 由， 由， 因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，因此选项D正确. 【题型强化练1】（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】令，根据的单调性得到当时，有唯一解，从而得到当时，有唯一解. 【详解】令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， 又， 所以当时，有唯一解，此时， 所以当时，有唯一解. 所以实数的值是. 【题型强化练2】（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合的性质，可得零点为，结合条件求的范围即可. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 【题型强化练3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 【题型强化练4】（2026·山东德州·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数. 【详解】当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递减， 方程至多有一个实数解； 当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递增， 方程至多有一个实数解； 综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解， 又为正整数，所以可取，和为. 【题型强化练5】（2026·山东菏泽·一模）（多选）函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若有三个零点，则 D．若关于的方程存在实数解，则实数满足或 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，易知在上单调递增，故由， 得，得，故B错误， 对于C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根， 等价于函数的图象与直线有三个交点， 又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件， 当直线位于时，； 当直线位于时，联立与，消去整理得， 由相切，得，解得，又，则， 由图可知，故C正确， 对于D，由上图得函数的值域为， 而的图象是由的图象向右平移个单位得到， 故的值域为， 将条件转化为关于的方程存在实数解， 所以，解得或，故D正确. 题型四　复合函数零点问题 【方法点拨】“先外后内”：令 ，解外层方程得 的值，再在 的允许范围内解 ；画图时先画 的图象，再用水平线扫描，逐一数交点。 【例1】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 【例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 【变式训练1】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，令，由得出，方程化为；恒有1根，只需让段恰有1根，解不等式得到a的取值范围． 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 【变式训练2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 【变式训练3】（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于x的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 【答案】ABD 【分析】转化成方程的根的问题，数形结合可判断A；转化成与的交点问题，数形结合，可判断B；解方程，把问题转化成和与的交点个数问题，数形结合可判断C；令，得：，转化成与的交点个数问题，分类讨论，数形结合，可判断D. 【详解】对于A：设，且点关于原点对称的点也在上，不妨设， 选项A等价于存在唯一的，使； 即， 化简得：， 当，，故故此时方程（1）无解； 当时，方程（1）化为：， 即，令， 分别作出两函数在上的图像， 由图象知：在上只有一个交点； 综上：方程（1）在上只有一个解，故A正确； 对于B：令，得：， 选项B等价于与有三个交点，分别作出与的图象， 由图可知：当介于直线之间时， 直线与有三个交点，此时，，故B正确； 对于C：由，得， 解得：或，选项C等价于或，解的个数和为4， 即和与的交点个数和为4，分别作出它们的图象， 由图可知：当时，， 所以与的左侧有一个交点，故与共有2个交点； 与有3个交点，共5个交点，故C错误； 对于D：令，得：，选项D等价于方程（2）解的个数， 令，得：；作出的图象如下： 当时，与由1个交点，此时交点横坐标为， 与有1个交点，故此时有1个零点； 当时，与有2个交点，此时交点横坐标分别为， 与只有1个交点，与有3个交点，故此时有4个零点； 当时，与有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：， 此时与有1个交点，与有3个交点，与有3个交点， 共7个交点，故此时有7个零点； 当时，与有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：， 此时与有1个交点，与有2个交点， 与有3个交点，共6个交点，故此时有6个零点； ， 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：， 此时与有1个交点，与有3个交点， 共4个交点，故此时有4个零点； 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：， 此时与只有1个交点，与有2个交点，共3个交点， 故此时有3个零点； 综上：函数，的零点个数分别为：，故D正确. 故选：ABD 【题型强化练1】（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 【题型强化练2】（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 【题型强化练3】（2026高三·全国·专题练习）设，若关于的方程有三个不同的实数解、、，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先画出函数的图象，利用换元转化为讨论的实数解的情况，结合函数的图象，确定，再分别求出三个实数解，计算结果即可. 【详解】由题意可知，的图象如下： 令，则原方程变为， 若有两个不等实根，分别为，则或，设， 由图可知，与或的交点个数可能为个，个，个，个或个， 当交点个数为个时，，， 若有两个相等实根，由图可知， 综上所述，当且仅当，即时，关于的方程有三个不同的实数解、、， 解得三个根分别为，所以．故A正确． 【题型强化练4】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 【题型强化练5】（25-26高一上·江西九江·期末）（多选）已知函数设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若有4个零点，则 B．若，则有5个零点 C．对任意恒有2个零点 D．若有6个零点，记零点从小到大依次为，则为常数 【答案】BCD 【分析】由可得或，作函数的图象，将判断的零点个数问题转化为判断的图象与直线和的交点个数问题，观察图象判断选项A，B，C，由条件观察图象确定的关系，由此判断D. 【详解】的大致图象如图所示，由， 可得 令，即，得或， 所以的零点个数即为的图象与直线和的交点个数之和． 对于A，若有4个零点，则需实数满足或或， 即或或，故A错误； 对于B，由图可知，当时，有5个零点，故B正确； 对于C，当时，由图可得恒有2个零点，故C正确； 对于D，若有6个零点，则，且，所以即有，故D正确， 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $