第2章 第15讲 函数的零点与方程的解(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕函数的零点与方程的解专题，涵盖零点概念、零点存在定理、二分法等核心考点，按“概念-定理-方法-应用”逻辑层次展开，通过自测诊断、考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破零点判定、参数范围求解等难点。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如在零点个数判定中，结合函数图象与单调性分析，引导学生用数学语言表达方程解与零点的转化关系，通过分层对点练和真题变式探究，发展逻辑推理与创新意识，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第15讲　函数的零点与方程的解 【课程标准】　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.　3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性. 1.函数的零点 [微提醒]　(1)零点存在定理只能判定零点存在，不能确定零点个数.若函数y＝f(x)在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在区间(a，b)上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论】 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点. 4.奇偶函数若存在非零零点，则成对出现且互为相反数. 【自测诊断】 1.(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　) A.若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B.若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C.若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D.若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 答案：ABD 解析：取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()＝×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，B错误；根据零点存在定理可知，D错误.故选ABD. 2.(链接人教A必修一P155T1)下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 答案：C 3.(链接人教A必修一P144T2)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A. B. C.(，1) D.(1，2) 答案：C 4.(链接人教A必修一P155T8)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为　　　　. 答案：－2，e 解析：由题意得，解得x＝－2或x＝e. 学生用书⬇第59页 考点一　函数零点所在区间的判定 自主练透 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 答案：C 解析：设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＞0，f(4)＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)至少存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).故选C. 2.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) 答案：B 解析：易知f(x)单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f＝0.30.5－＝－＜0，所以f(x)的零点所在区间是.故选B. 3.已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0，－log2x3＝0，则(　　) A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1 答案：A 解析：设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)＜0，由函数零点存在定理可知，－1＜x1＜0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，即gg(1)＜0，由函数零点存在定理可知，＜x2＜1.设函数h(x)＝－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h＝0.因为h(1)＞h(x3)，由函数单调性可知，x3＞1，即－1＜x1＜0＜x2＜1＜x3.故选A. 4.已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝　　　　. 答案：－2 解析：因为函数f(x)＝－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，又函数f(x)的零点位于区间(m，m＋1)上.m∈Z，所以m＝－2. 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象的情形. 考点二　函数零点个数的判定 师生共研 (1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝｜log9x｜的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：(1)C　(2)B　(3)C 解析：(1)当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x＞0时，令g(x)＝｜log2x｜－＝0，解得x＝或x＝，满足x＞0，所以x＝或x＝.综上，函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2.故选C. (2)法一：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. 法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内， 两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. (3)由奇函数可知f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数.又由f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.故选C. 【教师备选】　函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：B 解析：令f(x)＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0.因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.故选B. 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点. 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 对点练1.(2025·安徽合肥六校联考)当x∈[－2π，2π]时，曲线y＝sin x与y＝｜ex－1｜的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：根据题意，知当x∈[－2π，0)时有2个交点；当x＝0时，有1个交点；当x∈(0，2π]时没有交点，因为ex－1≥x≥sin x，所以此时没有交点；综上，当x∈[－2π，2π]时，曲线y＝sin x与y＝｜ex－1｜的交点个数为3.故选C. 对点练2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　. 答案：6 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域是[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6.由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z.又x∈[－6，6]，所以x的取值为－，－，，.故f(x)共有6个零点. 考点三　函数零点的应用 多维探究 角度1　根据函数零点个数求参数的取值范围 (一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P160T4)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k＜0)的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围. 解：作出f(x)的图象如图，方程f(x)＝k(k＜0)的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f(x)图象的交点个数. 因为f(x)＝ 当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－3＝－4，函数在上单调递减，在上单调递增，f(x)min＝f＝－4，f＝－3. 当x＞0时，f(x)＝－2＋ln x，函数在上单调递增. 所以当实数解的个数为1时，k＜－4； 当实数解的个数为2时，－3＜k＜0或k＝－4； 当实数解的个数为3时，－4＜k≤－3. 学生用书⬇第60页 [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变条件)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：[2，＋∞) 解析：由函数f(x)＝因为g(x)＝f(x)－x－a，令g(x)＝0，即f(x)＝x＋a.由函数g(x)有2个零点，即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示， 结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞). 2.(变条件)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　　　　　　. 答案：(－5，0) 解析：易知函数y＝2x3＋3x2＋m在[0，1]上单调递增，因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，所以f(x)在区间[0，1]和(1，＋∞)上与x轴分别有一个交点，故m＜0，故得－5＜m＜0.故实数m的取值范围是(－5，0). 3.(变条件)已知a∈R，函数f(x)＝在R上没有零点，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：(1，＋∞)∪{0} 解析：当x≤0时，0＜ex≤1，若关于x的方程ex＝a无解，则a≤0或a＞1；当x＞0时，ln(x＋1)＞0，若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解，则a≥0.综上，实数a的取值范围是(1，＋∞)∪{0}. 角度2　根据函数的零点范围求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)＝log2－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B.∪ C.∪ D. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为函数y＝log2，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，因为函数f(x)＝log2－＋m在区间(1，3]上有零点，则解得－≤m＜0.因此，实数m的取值范围是.故选D. (2)由题意知f(x)＝g(x)，则a－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a－1.令h＝cos x－a＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. 角度3　 探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是(　　) A.0＜a＜1 B.x1＋2x2∈ C.x1＋x2＋x3＋x4∈ D.2x1＋x2∈ 答案：ACD 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示. 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为｜log2x1｜＝｜log2x2｜，即－log2x1＝log2x2，则＝x2，所以x1＋2x2＝＋2x2，1＜x2＜2.因为y＝＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误；因为x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确.故选ACD. 1.利用函数零点求参数范围的方法 2.等高线问题 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，处理策略为： (1)重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. (2)合理运用函数的对称性是减元的重要途径. 对点练3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.(1，3) C.(1，2) D.[2，＋∞) 答案：A 解析：因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增.由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)＜0，解得0＜a＜3.故选A. 对点练4.已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　. 答案：(2，2 027) 解析：函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c，可知a＋b＝1，而1＜c＜2 026，所以2＜a＋b＋c＜2 027. 【教师备选】　已知函数f(x)＝若f(x)＝m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x4－(x1＋x2)x3的最小值为　　　　　. 答案：2e 解析：作出函数f(x)＝的图象与直线y＝m如图所示.因为f(x)＝m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以x1＋x2＝－2，1＜x3＜e＜x4＜e2，且1－ln x3＝－(1－ln x4)，则ln x3＋ln x4＝2，即ln x3x4＝2，得x3x4＝e2，则x4－(x1＋x2)x3＝x4＋2x3≥2＝2e，当且仅当x4＝2x3，即x3＝e，x4＝e时等号成立.故x4－(x1＋x2)x3的最小值为2e. 学科网（北京）股份有限公司 $