重庆南开中学校2027届高三上学期数学周练试题(10.11）

重庆南开中学高2027级高三(上)数学周练试题 2026.10.11 一、单选题,每小题5分,共40分,在每小题给出的4个选项中,只有一个是正确的. 1.已知a,b∈R,则log3a<log3b”是“a<b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在复平面内,复数=11对应的点位于() 1+3i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在 MC中,角1.B,C的对边分别为a,6,c.若+c2-G=aesin h,则tamA的值为() B D. 4. 1 7 A. c. D.青 5. 在a1BC中,AB=7,AC-8,cosA号,0是1BC的外心,若OP=xOi+0CkyE0,则动 点P的轨迹所覆盖图形的面积为(). A.27V5 B.275 c.9V5 D.95 10 5 10 5 6.已知关于x的不等式kx2+x+1<0的解集为 2m),其中m>0,则m+2n的最大值为() m A.-V3 B.-2 C.-1 D.-√2 2026 7.已知f(x)是定义在R上的函数,且f(1-x)=f(3+x),f(x)=-f(x+2),若f(2)=2,则∑f()= () A.2 B.0 C.-2 D.4 8.已知函数f)=-5x化∈R),将函数y=的图象绕原点O逆时针旋转后,得到的曲线仍是 6 函数图象,则k的取值范围为() A.2.t0 c.[V5,+j D. 二、多选题,(每小题6分,共18分,有多项符合题目要求,全选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分) 9.下列选项正确的是() A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第70百分位数是7 B.数据x,x2…,x20的平均数为4,方差为2,则数据3x+5,3x2+5,…,3x20+5的平均数为17,方差为 18 C.已知y关于x的经验回归方程为>=-0.85x+2.3,则样本点(1,1.2)的残差为0.25 D.用模型y=ce“拟合一组数据(x,y),i=1,2,3,,l0,其中x+x2++xo=20,设z=ny,变换 后的经验回归方程为2=x-1,则y为2…y。=e0 10.已知函数f()=V5sin(@x+),其中w>0,网<5,(G.0)、(G0)为y=f()图象上的两点,且 内-为的最小值为究 〔5征,0是f(因)的一个对称中心,将f()图象上的所有点横坐标缩短为原来的, 12 纵坐标不变,得到函数8(x)的图象,则下列选项正确的是() A.0=2 B.函数g(x)在(-兀,)上有2个极值点 c.函数g(在区间24] -,上的最大值为2,最小值为-5 D.函数g在区间0 上单调递增 11.如图,己知四边形ABCD是边长为3的正方形,点M为线段AD上靠近D点的 三等分点,点N,P分别为线段AB和线段CD上的两个动点(不含端点),且满足 MN⊥MP,点G为 MNP的重心,则() G A.点G到直线AB的距离为定值 B.GM的最小值为√2 B C.GA.GC=GB.GD D.GP.GN有最大值 三、填空题,本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. ABC中,AB=√3,AC=√7,BC=4,则最大角和最小角的和为 l3.曲线f(x)=x2-a+lnx+b(其中a≠1)在x=1处的切线方程为y=3x,则ab= 14.早在1671年,两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离对该测量过程进行简化 后,得到如下平面示意图,设O为地心,C为月球表面上一点,A,B为圆O上不同的两点,地球半径OA 的k记为R,经测量,408=受∠CB=a-登∠CR4=A-音 则地月距离OC用R可以表示为 2 四、解答题,本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知一个不透明盒子中有1个红球、2个黄球、7个蓝球,这些球除颜色不同外,其大小形 状完全相同,随机不放回依次抽取出一个球,直到将球全部取出. (1)求第三次抽取出蓝球的概率; (2)记最后一个蓝球被取出时总共取出球的个数为X,求X的数学期望 16.(15分)己知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边,且(a+b)cosC=c(V3sinA-cosB): (1)求C: (2)若D为AB上一点,CD为∠ACB的平分线,且AB=4,求线段CD长度的最大值. 17.(15分)如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,PA=2N5,AB=2√2,M,N分别为PA,PC的中点, PD=3PE,平面MEN与PB交于F, (I)求平面MNE与平面ABCD夹角的余弦值: (2)设PF=tPB,求实数t的值及三棱锥F-PAD的体积. M D /B 18。(7分》卫知箱网C:手+若=ab>0的短轴长为2,离心率为号,上、下顶点分别为A,B,点 P(L,yo)为椭圆C内部一点,直线AP,BP与椭圆C的另外一个交点分别为D,E两点,直线AE,BD交 于点Q(xgyg). (1)求椭圆C的标准方程: (2)证明:yg=yo: (3)在x轴上是否存在定点G,,使得PQ+QG为定值.若存在,求出G的坐标;若不存在,请说明理由. 19.(17分)设函数f()=ar- (1)当a≤0时,求f(x)的极大值: ②设a=}实数5满足6>>0,且f()=f(),证明:+<2: ③)设g(=f+sin,若s(因在(0,+)上的最小值为3,求实数a的值 x2 4 重庆南开中学高2027级高三(上)数学周练答案 2026.10.11 1-8:ACDABBAC 9.BD 10.ACD 11.ACD 12. 3 13.014.V4+V3R 7.【详解】f(1-x)=f(3+x),f(-x)=f(4+x), 又 ,则f(x+2)=-f(x+4), .f(x)=-f(x+2)=-f(x+4)]=f(x+4),即函数 的周期为4, .f(x+4)=f(x)=f(-x),即函数 为偶函数, 由 可得,f(-1)=-f(1),又f(-1)=f(),可得f()=0, f()=-f(3),f(2)=-f(4),则f()+f(2)+f(3)+f(4)=0, 空70-5040-f-2. 8.【详解】函数图象绕原点逆时针旋转一后仍为函数图象,根据函数定义可知,旋转后任意垂直于x轴的 直线与曲线至多有1个交点将该条件等价转化为:原函数f(x)的图象上任意两点连线的倾斜角不能等于 子吾-子即对任意实爱,直线y=5+1与y=四的闲象至多有1个交点 令8(四=c-5-V5x-1,则上述条件等价于g的在R上至多有1个零点 2 若g(x)同时存在增区间和减区间,则g(x)必然存在极值, 当取值合适时会出现2个及以上零点,因此g(x)需在R上单调. g'(x)=ke*-V3x-√3, 若k>0,则当x +∞时,g'(x) +0,当x -0时,g'(x) +0,若能使g'(x)≥0恒成立,则满足要 求: 若k<0,则当x +o时,8'(x) -∞,当x -0时,g'(x) +”,g(x)不可能单调. 综上,g(x)只能单调递增,即g(x)≥0对任意x∈R恒成立. g(x)=ke-5x-√5,即ke'-√5x-√5≥0恒成立 ”。>0,参变分离得k≥VB(x+ 2,对任意x∈R恒成立,只需k之 (x+1) e 令(=5(x+l,H=5.e-(+)e- e+ 当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x>0时,h(x)<0,h(x)单调递减 5 :0在x=0处取得录最大值,A0=50+)-5太之5,即的取值范园为V5,+),故选C, 11.【详解】以A为原点,AB,AD所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),M(0,2),设P(a,3),0<a<3,N(b,0),0<b<3,则 MP=(a,1),MN=(b-2),因为 所以ab-2=0, 因为为 的重心,所以c+b,) 33 故点到直线 的距离为定值?,故A正确; 所以GM a+b 2√ab =1,等号成立时a=b=√2, 3 9 3 故的最小值为1,则B错误 D 设AC,BD交于点H,所以H为线段AC,BD的中点, 则GA.Gc=(GH+HA)(GH+HC)=GH -HA , G H 同理GB.GD=G-Bi=GH-HA, 所以 ,故C正确: B末 因为G=a-5副(2)oN-0-引2,引 丽a-225}+,120 4b-5ab+20-2,等号成立时a=b=反,则一一有最大值,故D正确, 9 13.【详解】由题得f(1)=1-d+b=3, 若a>l,当0<x<a时,f()=-+a+h+b,f'()=-2x+a+ 1 a=4 所以f0=a-l=3,所以b=0,b=0: 若a<1,当x>a时,f()=2-ax+lnc+b,f'()=2x-a+1 [a=0 所以f'0=3-a=3,所以6=2b=0 14.【详解】解:∠CAB=a,∠CBA=B,∴.∠ACB= -a-B, s加Bsn(a-a-历4Ck4 RI-sinB=2 R-sin B ACI_14BI sin(-a-B)sin(a+B) 在40c中,∠04C=a+号,10cf0a+C4-210aC4oa+4 6 OCP=-R.RsiB.co sin2(a+B) sin(a+B) 4 2√2R2.simB.cos .JOCR2+ 2R2.sin2B 4. sin2(a+B) sin(a+B) R2+ 2R2 22R2( 4+3R, 15.【详解】(1)记“第三次取出蓝球为事件A, 前两次从1个红球、2个黄球、6个蓝球中任取2个并作全排,第三次取出1个蓝球有AC,种, 从10个球中任取3个并作全排有A种, 所以P(4)=AC、7 A。10 (2)由题意可知,随机变量X=7,8,9,10,对应概率如下: 分子表示从1个红球、2个黄球中取出X-7个,把前X-1个球做全排, 7个蓝球的其中1个作为最后1个取出,共有C-7AC,种, 分母表示将取出的个球作全排,有A。种, A。120,P(X-8)=CAC-7 P(X=7)=CAC 1 A8.120' A。30P(X=10)=CA3C=Z P(X=9)-CAC=7 A8101 所以E(X)=7x1 +8x7 7 7_77 120120 930 10 108 16.【详解】(1)(a+b)cosC=c(N3sinA-cosB), 由正弦定理得(sinA+sinB)cosC=sinC(V3sinA-cosB, 即sinAcosC-√3 BsinAsinC=-(sinBcosC+sinCcosB),又A= -(B+C), 则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以sinAcosC.-√3sinAsinC=-sinA, 因为A∈(0,所以snA≠0,故5sinC-cosC=l,即sinC石)2: 1 c-别c-c 3 (2)由题可知:5度=5aw+5a,即a-CD-asinCD.b-sn即CD=Ba他, 32 62 a+b 由余弦定理知:AB2=a2+b2-2 abcos∠ACB,即16=a2+b2-ab≥ab,当且仅当a-b=4时取等, > ACD=abs5他-√a庙≤2B,即cD≤23,当且仅当a=b=4时等号成立, 所以线段长度的最大值为25 17.【详解】(1)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,以OA,OB,OP所在的直线分别为x, y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, ZA P0=√PA2-0A2=4,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0), A D0-20,P@a4,M0.2,N-102.EQ-号) 所以m=〔号引丽=-(引 设平面 的一个法向量为i=(x,y,z), 22 i.EM=0 x+二y- 3’3 2=0 x=0 则 ,即 解得 令y=z=1,得i=(0,1,1) 元.EW=0 22 -x+ 3y 30 平面 的一个法向量为m=(0,0,1) 设平面 与平面 的夹角为6,所以cos0= 历成。1。√2 园√互2 (2)设F(xy,o), 一 一,PF=(x6-4),PB=(0,2,-4), (x0=0 所以%=2t,所以F(0,2t,4-4),所以MF=(-1,2t,2-4t),NF=(1,2,2-4t) 3=4-4t iMF=0 由 NF=0 得2t+2-4t=0,解得t=1,即F(0,2,0)与B重合, 所以no=Vm写22万x25x4= 11 3 2b=2√5 a=2 18.【详解】(1)依题意, c-1 a 2 ,解得 b=5' a2=b2+c2 所以椭圆C的标准方程为: + -=1. 43 ②证明:图,设宜线40方程为y=女-5+5,令:2-6 xo Xo P A y=kx+√5 由 E+严,消去y得3+4kx+83=0,设Ee工 .4 3 器道 3+4k2 B 设直线B0的方程为y=。+5x -5,令1=。+V5 y=-V5 由 消去y得(3+4rr-85m=0,设Do,解得,=8d 3#4,为:35+4 3+412 .43 由APD三点英线,得=5_,5,代入D点华标化简得。-5= 1-0xD 4 Ye-3 白我RE三点共线.时得%5=名,风卧:后会-、点 g5 yo+3 t yo+3 6+5, 所以yg=yo: %-5=-3 物十有3海大=四=3 (3)由 %+万。53,解得。= 4y+4, 3 4k 由点Lw在椭圆C内部,相}号<1,解得店<}则>1, 43 设点G(m,0),则Pgl+lG=√o-m+%+xg-1, 若PQ+G为定值,则Vx。-m2+号=S-2≥0,其中S21为常数, 平方并整理得-85-m]+5-m8-(6+m1=0恒成立, 3 因e-等-0 。,解得S=67 -g所以存在点ogo,使得P@-Qd为定值君 (S-m)[8-(S+m]= 16,m1 19.【详解】(1)f'(x)=3ax2-x=x(3ax-1). ①当a=0时,f'(x)=-x 当x∈(0+o),f'(x)<0,f(x)为减函数: 当x∈(-o,0),f'(x)>0,f(x)为增函数: 9 故f(x)的增区间为(-o,0),减区间为(0,+∞),故f(x)的极大值为f(O)=0: @当a<0时,当( f'(x)<0,f(x)为减函数: (1,0, 当xe3a f'(x)>0,f(x)为增函数: 当x∈(0,+o),f'(x)<0,f(x)为减函数: f(x)的增区间为 品小的减区同为 (0,+0),此时f(x)的极大值为f(0)=0. 综上,f(x)的极大值为0. 20=) -5.即6-)-), 因为5>,所以-6<0,因式分解并约掉-6得:+若+)=(6+)。 变形物+广-]4+.设中5=,则=子: 由均伯不等武可知,由于5≠6,放K+广>4,即产>4F-)户-2<0 0<1<2 所以0<1<2,即x+3<2. (3)由已知g付)=3a-X+sinr=3a-X-sinr-3a-m(),其中m(y=-sinr x2 x 故g(x)在(0,+∞)上的最小值为3,等价于m(x)在(0,+∞)上的最大值为3a-3. 求导:m()=2sinx-cosx-x,i记o()=2simr-cosr-x, 3 当x>0时m(x)与p(x)同号,(x)=cosx+sinx-1,设p(x)=q(x),q(x)=xcosx, ①考0<x<受则4()>0=0()单调递增 4()>9(0=0 0()单调递增, 此时p()>90)-0(>0 m()在0写习单调道增。 @名》则小0>()单调莲减,江意到引0,0 所以(y先正后负,故先增后减,注忘到日2-子0,)-20, 所以(在受sx≤经时有在唯一的零点5 注意到网=0,所以飞=元 所以当汇sx≤元时p()≥0 m(x)≥0且不恒为零,m(x)单调递增: 2 10 当≤x≤受时o)<0 m()s0且不恒为零,m)单调造减: 综合O2可知,当0<x≤时m()单调递增:当元≤x≤时m()单调递减, 2 所以m(,在0 1 上的最大值为m()=二: ⑧若x>,则m=-rs+-+1<2+4<2+3-2+1=1 ≤产x+天3元+9元<3玩+9元3玩+3元元 综合02③可知,m()在0+)上的最大值为日所以30-3- a=1+ 3元1 1 故实数a的值为1+。 3