第12讲 对数运算及对数函数的应用讲义- 2027届高三数学一轮复习

第12讲　对数运算及对数函数的应用 【知识梳理】 一、对数的概念 1．若 （，），则 叫做以 为底 的对数，记作 。 叫底数， 叫真数，真数必须大于 。 2．特殊对数：，；（常用对数），（自然对数）。 3．对数式与指数式的关系：（）。 二、对数的运算性质 1．；；（，）。 2．换底公式：（，，，，）。推论：；；。 3．常用恒等式：（）；；。 三、对数函数的图象与性质 1．（ 且 ）：定义域 ，值域 ，图象恒过 。 2． 时在 上递增； 时递减。 与 的图象关于 轴对称。 3．底数与图象的关系：在直线 右侧，底数越大的图象越“低”（对 ），可用“底大图低”快速判断底数大小。 4．对数型复合函数 ：定义域由 决定；单调性按“同增异减”，且必须先求 的范围；值域为 值域经 作用后的结果。 四、反函数 1．（，）与 互为反函数，图象关于直线 对称。 2．反函数的性质：； 的定义域、值域分别是 的值域、定义域；。 3．比较大小：同底用单调性；异底用换底公式化同底，或搭中间量 、；含 与 混合时注意 与 的换算 。 图 1　对数函数 与 的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　对数式的运算 【方法点拨】“化同底”是总方向：先用换底公式统一底数，再用运算性质合并；、 搭配用 ；含 连乘时逐个换底。 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【例2】（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【变式训练1】（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【题型强化练1】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型强化练2】（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·江西上饶·一模）已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【题型强化练5】（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. 题型二　对数型函数的定义域 【方法点拨】真数大于 、底数大于 且不等于 两条同时列；复合对数函数先解内层不等式，再与外层限制取交。 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【变式训练1】（2026·广东湛江·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式训练3】（2026·江苏淮安·一模）函数的定义域为___________. 【题型强化练1】（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数的定义域为，若恒成立．则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 题型三　对数型函数的值域 【方法点拨】先求真数的值域，再按底数分 与 两类套单调性；注意真数必须严格大于 ，端点是否可取要单独检验。 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【例2】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【变式训练1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一下·江西赣州·期中）（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．恰有1个零点 【题型强化练1】（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 【题型强化练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【题型强化练3】（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 题型四　对数函数的单调性及解不等式 【方法点拨】“同增异减”处理复合；解 型不等式时， 保号、 反号，且必须补上 、。 【例1】（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【变式训练1】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练2】（2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 【题型强化练1】（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【题型强化练2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【题型强化练3】（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型强化练4】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2026·河北承德·模拟预测）（多选）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在的无最大值 C．在恰好有6个零点 D．若的图像上恰好有4对关于原点对称的点，则 题型五　对数函数的比较大小 【方法点拨】同底用单调性；异底异真用中间量（、 或 等）；也可借助图象位置或构造函数 用单调性判断。 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知实数，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南·三模）（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·山西忻州·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·江西萍乡·一模）（多选）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知实数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 题型六　对数函数的图像及应用 【方法点拨】抓住定点 与底数对图象位置的影响；平移、翻折、绝对值变换要熟练；由图象求参数范围常用“过定点”或“交点个数”转化。 【例1】（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【变式训练1】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·安徽合肥·三模）（多选）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型强化练1】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则，，的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型强化练3】（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2025·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·青海海东·期末）（多选）设函数，，若有四个零点，，，（ ），则（   ） A．的最小值为 B． C． D．m的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　对数运算及对数函数的应用 【知识梳理】 一、对数的概念 1．若 （，），则 叫做以 为底 的对数，记作 。 叫底数， 叫真数，真数必须大于 。 2．特殊对数：，；（常用对数），（自然对数）。 3．对数式与指数式的关系：（）。 二、对数的运算性质 1．；；（，）。 2．换底公式：（，，，，）。推论：；；。 3．常用恒等式：（）；；。 三、对数函数的图象与性质 1．（ 且 ）：定义域 ，值域 ，图象恒过 。 2． 时在 上递增； 时递减。 与 的图象关于 轴对称。 3．底数与图象的关系：在直线 右侧，底数越大的图象越“低”（对 ），可用“底大图低”快速判断底数大小。 4．对数型复合函数 ：定义域由 决定；单调性按“同增异减”，且必须先求 的范围；值域为 值域经 作用后的结果。 四、反函数 1．（，）与 互为反函数，图象关于直线 对称。 2．反函数的性质：； 的定义域、值域分别是 的值域、定义域；。 3．比较大小：同底用单调性；异底用换底公式化同底，或搭中间量 、；含 与 混合时注意 与 的换算 。 图 1　对数函数 与 的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　对数式的运算 【方法点拨】“化同底”是总方向：先用换底公式统一底数，再用运算性质合并；、 搭配用 ；含 连乘时逐个换底。 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 【例2】（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 【变式训练1】（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 【变式训练2】（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 【变式训练3】（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【答案】 【详解】，，， ，， ，，，， ，. 【题型强化练1】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得 ，所以． 【题型强化练2】（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 【题型强化练3】（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 【题型强化练4】（2026·江西上饶·一模）已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】运用对数运算性质及换底公式即可求解. 【详解】，由得， 则 所以 故选：A． 【题型强化练5】（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. 【答案】 【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变量的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】根据题意，由，可得， 又，所以， 令，，则，， 所以可得①，②， 将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. 题型二　对数型函数的定义域 【方法点拨】真数大于 、底数大于 且不等于 两条同时列；复合对数函数先解内层不等式，再与外层限制取交。 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 【例2】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 【变式训练1】（2026·广东湛江·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性求解得出，然后根据并集的运算求解即可得出答案. 【详解】解可得，所以， 所以. 故选：D． 【变式训练2】（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 【变式训练3】（2026·江苏淮安·一模）函数的定义域为___________. 【答案】 【详解】由，解得，所以的定义域为. 【题型强化练1】（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有意义，即,则， 又因的值域为,则，故. 【题型强化练2】（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 【题型强化练3】（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 【题型强化练4】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数的定义域为，若恒成立．则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求解. 【详解】当时，，则， 因为，所以，即， 若恒成立，则，得， 当时，，有， 因为，所以，， 若恒成立，则，得， 综上，. 【题型强化练5】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 题型三　对数型函数的值域 【方法点拨】先求真数的值域，再按底数分 与 两类套单调性；注意真数必须严格大于 ，端点是否可取要单独检验。 【例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 【例2】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 【变式训练1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数可得函数在上的值域，根据一次函数以及二次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 【变式训练2】（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 【变式训练3】（25-26高一下·江西赣州·期中）（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．恰有1个零点 【答案】AC 【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D. 【详解】由题可知的定义域为，因为， 所以的图象关于直线对称，C正确． 因为， 且函数在上单调递增，在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确． 当时，， 所以的值域为，B错误． 令， 又因开口向下，且，所以在内有两解，D错误． 【题型强化练1】（2026·全国·三模）若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求出的值域，再分、讨论即可. 【详解】由，得，则的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，且当，， 其值域为， 而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为， 无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得，符合题意， 所以. 故选：B 【题型强化练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 【题型强化练3】（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 【题型强化练4】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 【题型强化练5】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】BD 【分析】化简，结合指数函数的单调性判断A；利用奇函数的定义判断B；结合对数型复合函数的单调性判断C；根据二次函数及对数函数的性质判断D. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以在上单调递增，故A不正确； 因为，且的定义域为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 由，得， 则函数的定义域为， 而函数在上单调递增，且为减函数， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，故C不正确； 由于函数的值域包含， 则的值域为，故D正确. 故选：BD 题型四　对数函数的单调性及解不等式 【方法点拨】“同增异减”处理复合；解 型不等式时， 保号、 反号，且必须补上 、。 【例1】（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 【例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. 【变式训练1】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练2】（2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数在上单调递增； 对于B，函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 对于C，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增； 对于D，因为函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 【变式训练3】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 【答案】BC 【分析】先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A；通过是否成立判断B；由对数复合函数的单调性计算判断C；根据解析式及对数运算性质求函数值判断D. 【详解】对于A，由，可得或， 所以函数定义域为，而 ，错误； 对于B，， 所以曲线关于点对称，正确； 对于C，由在区间上单调递减， 当时，，正确； 对于D，，错误． 故选：BC 【题型强化练1】（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 【题型强化练2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 【题型强化练3】（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 【题型强化练4】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 【题型强化练5】（2026·河北承德·模拟预测）（多选）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在的无最大值 C．在恰好有6个零点 D．若的图像上恰好有4对关于原点对称的点，则 【答案】BCD 【分析】由题意，画出的图象，观察在区间的图像即可判断选项AB；观察在区间上的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数与的图象至少有4个交点，观察图像得到，即可判断选项D. 【详解】由题意，画出的图象如图所示： 由在区间上的图象可知，在区间上为非单调函数，A项错误； 在区间上，，没有最大值，B项正确； 无论还是在区间内恒有1个零点， 由图象可知，在区间上有5个零点， 所以在区间上有6个零点，C项正确； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与，的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，D项正确. 题型五　对数函数的比较大小 【方法点拨】同底用单调性；异底异真用中间量（、 或 等）；也可借助图象位置或构造函数 用单调性判断。 【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知实数，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，B举反例快速排除，C直接用对数加法公式算出结果等于，D把换成，利用对数运算性质化简各选项，代入转化为，结合推出，平方为正，整体小于． 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，取，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得， 所以， ， 又，所以，解得，所以，， 所以，D正确． 【例2】（2026·湖南·三模）（多选）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 【变式训练1】（2026·山西忻州·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 【变式训练2】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 【变式训练3】（2026·江西萍乡·一模）（多选）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC 【题型强化练1】（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 【题型强化练2】（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用是单调递增函数得到，利用是单调递增函数得到，利用放缩法和换底公式得到和，从而得到. 【详解】，， 是单调递增函数，， ，，； ，， 是单调递增函数，， ，，； ，， ，， ，， ，，故选项C正确. 【题型强化练3】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 【题型强化练4】（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 【题型强化练5】（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知实数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用在上单调递减，可判断选项A；利用在区间上单调递减，可判断选项B；由在区间上单调递减，可判断选项D；由 得到，利用的单调性得到，利用不等式的性质可判断选项C. 故选:ABD. 【详解】因为在上单调递减，且，所以，故A正确； 因为在区间上单调递减，所以，故B正确； 因为在区间上单调递减，所以，故D正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即，故C错误. 故选:ABD. 题型六　对数函数的图像及应用 【方法点拨】抓住定点 与底数对图象位置的影响；平移、翻折、绝对值变换要熟练；由图象求参数范围常用“过定点”或“交点个数”转化。 【例1】（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 【例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 【变式训练1】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数、的解析式，数形结合可得出、的大小关系. 【详解】在上任意取点，点关于直线的对称点为， 因为点在上，故，得， 即，同理得， 在同一坐标系内画出与的图象如下： 得或或成立， 而不成立. 【变式训练3】（2025·安徽合肥·三模）（多选）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【分析】根据对数函数图象性质判断即可. 【详解】由，且， 则， 即函数过点, 当时，函数单调递增，过第一、二、三象限； 当时，函数单调递减，过第一、二、四象限． 故选：AB． 【题型强化练1】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则，，的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故B情况可能出现；    当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现；    当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现.       所以不可能出现. 故选：A 【题型强化练2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据对称性与周期性结合函数的图像判断即可. 【详解】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称， 又是奇函数，则，关于对称， 且当时，，可以画出的图形， 则的零点个数转化为与的交点个数， 如图，当时，， 故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10. 故选：D 【题型强化练3】（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象，比较零点的大小. 【详解】令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则；化简得， 即，换底后得到； 分别画出它们的图象为：      由图可以看出. 故选：A. 【题型强化练4】（2025·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 【题型强化练5】（25-26高一上·青海海东·期末）（多选）设函数，，若有四个零点，，，（ ），则（   ） A．的最小值为 B． C． D．m的取值范围是 【答案】ACD 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】作出函数的草图如下： 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程有2解； 当时，方程有3解； 当时，方程有4解. 所以有四个零点，则，故D正确； 因为有四个零点，，，（ ），由图可知： 当时，，，因为，所以，因为，所以， 当时，，所以的最小值为，故A正确； 当时，，，所以，故B错误； 因为， 所以，故C正确. 故选：ACD 学科网（北京）股份有限公司 $