精品解析：河南安阳市第十中学2026-2027学年上期九年级第一次学情自测试卷（数学）

2026-2027学年第一学期知识竞赛 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．整理得到，是一元一次方程，故选项不符合题意； B．是一元二次方程，故选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意． 2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方，从而得到配方后的方程，进而选出正确选项． 【详解】解：， 移项，得到； 配方，得到； 将左边写成完全平方形式，即． 3. 在某次同学聚会上，每两个人都握一次手，所有人共握手45次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. x（x+1）=45 B. x（x﹣1）=45 C. =45 D. =45 【答案】D 【解析】 【分析】由于每个人都和自己之外的其余个人握了一次手，则个人共握手次，但由于甲与乙握手和乙与甲握手只能算作一次，然后再除以2即可． 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x-1）次， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，理清题意、找对等量关系是解答本题的关键，本题中“每两人都握了一次手”的条件是解答本题的易错点． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 ，顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为； 故选C． 5. 抛物线y=﹣x2+3x﹣的对称轴是（　　） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=6 D. x=﹣ 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴对称方程为 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴方程为：． 6. 二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】 ∴当x=2时，y有最小值-7 故选B 7. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，即为． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且． 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线可得对称轴为直线，则关于直线的对称点为，再根据的性质即可求解． 【详解】解：由抛物线可得对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵， ∴当，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，即异号， 当时，一次函数的图象过一三四象限， 当时，一次函数的图象过一二四象限， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 整理得， 即 ∴或 解得 12. 某种植物的主干长出若干数目（设相同数目为x）的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，则列方程为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】设相同数目为x，根据主干、支干、小分支的总数是73列出方程即可． 【详解】解：设相同数目为x， 则． 13. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则方程的根是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，据此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的根是． 14. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 15. 抛物线的图象如图所示，它的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和原点之间，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的结论是：____________（填写序号）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】二次函数的图象的对称轴为直线，即可判断①；抛物线的图象的开口向下，与轴交于正半轴,即可判断②；抛物线的图象与x轴的一个交点在和原点之间，且开口向下，据此即可判断③；抛物线的图象与x轴有两个交点，即可判断④，当时，函数取得最大值，据此即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的图象的开口向下，与轴交于正半轴， ∴, ∵， ∴， 故②错误， ∵抛物线的图象与x轴的一个交点在和原点之间，且开口向下， ∴当时，， 故③错误， ∵抛物线的图象与x轴有两个交点， ∴， 故④正确； ∵抛物线的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，①④均正确． 三、解答题（共75分） 16. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2），； 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得 【小问2详解】 解： 由题意得，， 则， ∴， 即， 17. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式并解不等式即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，代入得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，， ∵． ∴， 解得 18. 二次函数的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程的根为_________________； （2）不等式的解集为______________； （3）若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围_________ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）抛物线与轴一个交点为，对称轴为直线，据此求出图象与轴的另一个交点为，即可求出答案； （2）当时，二次函数的图象在轴上方，据此即可求出答案； （3）二次函数的图象的顶点坐标为，开口向下，据此即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴一个交点为，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点为， ∴方程的根为． 【小问2详解】 解：当时，二次函数的图象在轴上方， ∴不等式的解集为． 【小问3详解】 解：由图象可知，二次函数的图象的顶点坐标为，开口向下， ∴若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为． 19. 求二次函数的解析式 （1）经过三点的二次函数的解析式． （2）二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的图象的顶点为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． 20. 如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，设，，列方程组并解方程组即可； （2）警戒线到桥顶的距离为，根据水位以平均每小时米的速度上升即可求出答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 由，可设， 由，水位上升米就达到警戒线， ∴可设， 把，代入函数解析式得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，即警戒线到桥顶的距离为， 由水位以平均每小时米的速度上升得到（小时） 即从警戒线开始，再持续小时才能到桥拱顶． 21. 某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． （1）若苗圃园的面积为，求的值； （2）若平行于墙的一边长不小于，求这个苗圃园可围建的最大面积． 【答案】（1） （2）该苗围的最大面积是112平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据题意得方程求解即可； （2）设苗围园的面积为，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质以及的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：或， 【小问2详解】 ∵， 设苗围园的面积为平方米， ∴当时，有最大值，最大值为112， 答：该苗围的最大面积是112平方米． 22. 对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请补充完整． （1）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象， ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 6 …… …… 9 2 0 0 2 9 …… 其中___________； ②描点：请根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：画出该函数的图象； （2）写出这个函数的两条性质； （3）进一步探究函数图象，并解决问题： ①平行于轴的一条直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围为___________； ②已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程的解为：________________． 【答案】（1）① 1， ② 如图所示； ③如图； （2）由图象知，性质可为：图象关于直线x=2对称；当x﹥4时，y随x的增大而增大；函数图象与x轴有4个交点、函数有最小值等； （3）① 或者 ， ② ，， 【解析】 【分析】（1）将x=2，代入中，可求得m值，在平面直角坐标系中描点、连线即可画出图象； （2）根据所画图象可以从增减性、最值、对称性、与坐标轴交点等方面写出两条性质即可； （3）①结合图象，找到分界点y=1和y=-3，即可得出k的取值范围； ②结合图象，求出交点坐标，交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：（1）①将x=2，代入中，y=1， ∴m=1， 故答案为：1， ②略 ③略 （2）略 （3）①由图象可知，当y=k=1时，直线y=k与函数图象有3个交点， 当y=k=-3时，直线y=k与函数图象有2个交点， ∴y=或时，直线y=k与函数图象有2个交点， 故答案为：或； ②由图象可知，直线直线y=x-3与函数图象有3个交点，坐标分别为： （0，-3）、（3，0）、（5，2）， 所以方程的解为：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了利用描点法画函数的图象，根据函数图象，会用数形结合法求函数的性质、图象与一次函数的交点求得方程的解、图象与直线交点个数求参数范围等知识，综合性强，有点难度． 23. 2026年河南省第15届运动会及第9届残运会于5月至8月在安阳举行，吉祥物为“鼎鼎”“牛牛”. （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“鼎鼎”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“鼎鼎”，求平均每月的增长率? （2）已知某商店“鼎鼎”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10个．如果每天要盈利700元，则每个“鼎鼎”应降价多少元? （3）请通过计算说明降价是多少时取得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1）平均每月的增长率是 （2）每个“鼎鼎”应降价元． （3）解：设每个“鼎鼎”降价元，总利润为元， ∴ ， ∵， ∴当时，最大利润为元， ∴每个“鼎鼎”降价元时取得最大利润，最大利润是元. 【解析】 【分析】（1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“鼎鼎”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“鼎鼎”，列出方程进行求解即可； （2）设每个“鼎鼎”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设每个“鼎鼎”降价元，总利润为元，进一步利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设平均每月的增长率是，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每月的增长率是； 【小问2详解】 解：设每个“鼎鼎”应降价元，由题意，得： ， 解得：或 ∵每个降价幅度不超过8元， ∴不合题意，舍去； 答：每个“鼎鼎”应降价元． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期知识竞赛 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在某次同学聚会上，每两个人都握一次手，所有人共握手45次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. x（x+1）=45 B. x（x﹣1）=45 C. =45 D. =45 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y=﹣x2+3x﹣的对称轴是（　　） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=6 D. x=﹣ 6. 二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 7. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______________． 12. 某种植物的主干长出若干数目（设相同数目为x）的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，则列方程为______________________． 13. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则方程的根是_____________． 14. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 15. 抛物线的图象如图所示，它的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和原点之间，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤ 其中正确的结论是：____________（填写序号）． 三、解答题（共75分） 16. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 17. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 18. 二次函数的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）方程的根为_________________； （2）不等式的解集为______________； （3）若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围_________ 19. 求二次函数的解析式 （1）经过三点的二次函数的解析式． （2）二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 20. 如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 21. 某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． （1）若苗圃园的面积为，求的值； （2）若平行于墙的一边长不小于，求这个苗圃园可围建的最大面积． 22. 对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请补充完整． （1）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象， ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 6 …… …… 9 2 0 0 2 9 …… 其中___________； ②描点：请根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：画出该函数的图象； （2）写出这个函数的两条性质； （3）进一步探究函数图象，并解决问题： ①平行于轴的一条直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围为___________； ②已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程的解为：________________． 23. 2026年河南省第15届运动会及第9届残运会于5月至8月在安阳举行，吉祥物为“鼎鼎”“牛牛”. （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“鼎鼎”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“鼎鼎”，求平均每月的增长率? （2）已知某商店“鼎鼎”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10个．如果每天要盈利700元，则每个“鼎鼎”应降价多少元? （3）请通过计算说明降价是多少时取得最大利润?最大利润是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $