15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

15.3.1等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质)（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 教师 课题 15.3.1 等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质) 教学 目标 知识与技能 1. 理解等腰三角形的有关概念（腰、底边、顶角、底角），能结合图形正确识别与标注； 2. 通过折纸探究发现并运用全等三角形证明等腰三角形的性质：性质1（等边对等角）、性质2（三线合一），掌握其几何语言的三种书写形式； 3. 能运用等腰三角形的性质进行简单的角度计算与推理证明，会正确添加辅助线解决问题。 过程与方法 1. 经历“折纸操作—观察猜想—逻辑证明—应用迁移”的完整探究过程，体会借助轴对称发现结论、再用全等三角形（SSS、SAS、HL）严格证明的几何研究路径； 2. 在性质应用中感悟分类讨论思想（已知角未指明顶角还是底角）、方程思想（多个等腰三角形中设未知数求角）与转化思想（添辅助线构造全等）。 情感态度价值观 1. 通过动手剪纸和生活中的等腰三角形实例，感受数学的对称美与应用价值，增强学好几何的兴趣与信心； 2. 在小组交流与多解展示中养成敢于表达、乐于倾听、严谨求证的学习品质。 教材 分析 本节选自人教版八年级上册第十五章《轴对称》15.3.1，安排在轴对称及其性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理之后。等腰三角形是轴对称图形的典型模型，教材以“折纸剪纸”的操作活动引出猜想，再用全等三角形完成证明，体现了“从直观到抽象、从操作到推理”的几何研究范式，是全章承上启下的核心内容。 它既是前面轴对称、全等知识的综合应用，又是后续学习等边三角形、含30°角的直角三角形性质以及四边形、圆的重要基础。教材对性质2“三线合一”分三种几何语言呈现，凸显条件与结论的对应关系，教学中应通过正例运用与反例辨析帮助学生准确把握适用条件。 学情分析 学生已掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形的HL判定，具备初步的演绎推理经验和几何语言书写能力。八年级学生正处于由形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对动手操作、直观感知的活动兴趣浓厚，折纸探究易于激发参与热情。但是学生们易犯下面错误①添加辅助线构造全等三角形是最大障碍，学生往往想不到“作底边中线、顶角平分线或底边上的高”；②容易把“三线合一”泛化，误以为腰上的高、腰上的中线和底角的平分线也具有这一性质；③已知一个内角求其余角时缺少分类讨论意识，常漏解；④几何语言书写不规范，因果顺序混乱。 教学重点 等腰三角形性质1（等边对等角）与性质2（三线合一）的探索与证明，以及运用这两条性质进行简单的角度计算与推理证明。 教学难点 1. 通过添加辅助线，把等腰三角形问题转化为全等三角形问题； 2. 准确理解“三线合一”的适用条件——顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，避免随意套用； 3. 已知一个内角求其余角时的分类讨论，以及对所求结果进行合理性检验。 教学器材 多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示、长方形纸片与剪刀、三角板、圆规、量角器。 教学过程 教师活动 学生活动 情景导入 观看视频 从熟悉的生活情境出发，既感受对称美与应用价值，又自然引入；以“设疑”制造认知冲突，明确本节课的探究方向 新知探究 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 问1:是什么三角形？ 等腰三角形 问2:是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形,折痕所在的直线是它的对称轴. 问3:把 你能证明这些结论吗？ 探究一：等腰三角形两底角相等 已知：中， 求证： 法一、证明：作底边的中线． ∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 法二、证明：作顶角的角平分线． ∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴． 法三、证明：作底边上的垂线． ∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴ ≌()． ∴． 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言： ∵在中， ∴ 探究二：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 已知：中，， 为边上的中线 求证：高线，是的平分线 证明：∵为边上的中线 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ∴高线，是的平分线 已知：中，，是的平分线 求证：， 高线 证明：∵平分 ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 高线 已知：中，， 高线 求证：， 证明：∵⊥ ∴ 在和 ∵， ∴≌()． ∴, ． ∴， 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： ∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 以折纸操作积累感性经验，发展空间观念与几何直观；用全等三角形的判定完成证明，实现由“直观发现”到“逻辑论证”的跨越，培养推理能力；一题多证凸显辅助线的作用，渗透转化思想；通过反例辨析精准界定“三线合一”的外延，突破认知误区。 典例分析 典例分析 例1(1)若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于 ; (2)等腰三角形一个底角为,它的另外两个角为__和____； (3)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为___和或和__________； (4)等腰三角形一个角为,它的另外两个角为 和 方法总结 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 例2.如图，在中，，点在上，.求各角的度数. 解∵，， ∴，(等边对等角). 设，则， ∴. ∵°. ∴.解得 ∴在中，， 方法总结 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 例3.如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线，交于点，垂足为． (1)若，求的度数． (2)求证：． 解(1)：，是边上的中线， ， ， ， ， （2）证明：，是边上的中线， ， 平分， ． 方法总结 等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法. 三道例题分别对应分类讨论、方程思想与三线合一的综合运用，由浅入深形成方法体系；通过口述、板演与错例点评，落实几何语言书写的规范性。 变式训练 1.如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． (1)若，求和的度数． (2)探究与的和是否为定值，如果是请求出这个定值，如果不是说明理由． 解(1)：，， ． ∵在中，，， ， ， ． ． 解(2)， 理由如下： ， ． 同理：， ∴， ∵． ． 2.已知点、在的边上，. (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，为的中点，求证：. 证明：(1)如图①，过作于. ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2)∵，为的中点， ∴， ∴. 又∵， ∴. 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 3.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数． 解：当角和角是两个底角时， 可得：，解得， 则有， 则三角形的顶角为，三个内角分别是，，； 当角是顶角时，可得：，解得：， 则有，，三个内角分别是°； 当角是顶角时，可得：，解得， 则有，，三个内角分别是，，． 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为，，或或，，． 变式由特殊到一般、由计算到探究，提升思维层次；一题多解的比较让学生体会三线合一在证明角相等、线段相等、垂直关系时的简捷价值。 课 堂 练 习 1.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是( B ) A.B. C. D.平分 2.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为______9______ 3.如图，中，，点 ， 分别是的边，上的点，且，求的度数 解：设． ∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 4.如图，在中，，为的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 证明(1)：∵，点D是边上的中点， ∴平分， ∵于点，于点． ∴． 解(2)：∵，点D是边上的中点，， ∴，， ∴，即，解得：． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的顶角的度数 解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴，∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为． 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或． 板 书 设 计 15.3.1 等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质) 等腰三角形性质1： 等腰三角形两底角相等（简写“等边对等角”） 几何语言：∵在中， ∴ 等腰三角形性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写“三线合一”) 几何语言： ∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 或∵在中，， ∴ 课 堂 小 结 15.3.1 等腰三角形(第一课时 等腰三角形的性质) 作业 1. 完成课后作业：“P79页1、2、3” 2. 配套同步分层作业 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $