黑龙江省哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B D C A D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD AB ACD 三、填空题 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题 15．【答案】（1）因为展开式中所有二项式系数之和为1024，即，所以， 故二项式系数最大的项为. （2）令，又 令，可得 16．【答案】 （1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点，，有8个样本点，故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为.小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则，所以. （3）该规则不公平. 理由如下：一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为，因为，所以该规则不公平. 17．【答案】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以，所以，解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， ，， ，， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 18．【答案】（1）设=“对手为强队代表”，=“对手为弱队代表”，=“小明获胜”1分 由题意可知，，，， 故． （2）由题意可知的取值为，，，，， 得到，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 19．【答案】（1）每次从人中选人，小张单次被抽中的概率为 ， 次抽选是独立重复试验，设这批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率； （2）因为表示第一次抽选的人中，有实习经验的人数， 所以的可能取值为， ，​，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 ； (3)， 由已知事件表示第二次抽到的人都有实习经验， 事件表示第二次抽到名无实习经验、名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部人中随机选人，， 若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以， ， 若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以故. 试卷第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2026——2027学年度上学期高二学年第一次质量检测 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有（ ） A．4种 B．7种 C．12种 D．16种 2．的展开式中的系数为（ ） A．96 B．60 C．20 D． 3．从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A．576 B．312 C．288 D．48 4．为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，因每张卡卡号的前7位是固定的，故只考虑后四位。现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（ ） A．8020 B．5904 C．4096 D．1980 5．在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件与事件为互斥事件 C． D．事件与事件相互独立事件 6．某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（ ） A．若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 C．若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 D．若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 7．现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（ ） A．60 B．72 C．84 D．120 8．现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（ ） A．数据1，2，4，5，6，7，8，9的平均数是5.5 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”不互斥 D．若事件与事件相互独立，，，则 10．下列说法正确的有（ ） A．已知事件A，B，且，，，则 B．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则 C．若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为 D．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3，0.7，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6，0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58 11．甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（ ） A．在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B．在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C．若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D．“旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为__________． 13．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为__________． 14．某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏。游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数。游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券。最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投郑，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券。某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为___________；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题共13分）设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 16．（本题共15分）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 17．（本题共15分）某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； 18．（本题共17分）有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． (1)在一轮比赛中小明参赛，求小明获胜的概率； (2)现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与其他三个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 19．（本题共17分）从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． (1)求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； (3)设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小关系，并加以说明． 高一数学试题 第 页 共 3 页1 学科网（北京）股份有限公司 $