第三章勾股定理（期中知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

第三章 勾股定理　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 探索勾股定理 1.1 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 ， 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 。这一结论称为勾股定理。 示例：在直角三角形中，两直角边长分别为 和 ，则由 ，得斜边 。 2. 一定是直角三角形吗 2.1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 ，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 示例：因为 ，所以以 ，， 为三边长的三角形是直角三角形。 2.2 勾股数 满足 的三个正整数，称为勾股数。 示例：，， 是一组勾股数，因为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 勾股数的正整数倍仍是勾股数 若 ，， 是一组勾股数， 为正整数，则 ，， 也是勾股数，因为 。如 ，， 的 倍 ，， 仍是勾股数。 1.2 勾股数中至少有一个偶数 约去公因数后的勾股数中，必有一个数是偶数。如 ，， 中的 ，，， 中的 。 1.3 勾股数的通式 约去公因数后的勾股数可写成 ，，（其中 ，， 互质且一奇一偶）。如取 ，，得 ，，。 1.4 直角三角形斜边上的高 两直角边为 ，、斜边为 的直角三角形，斜边上的高 （由 即面积相等得出）。 1.5 三边为直径的半圆面积关系 直角三角形两直角边为直径的半圆面积之和等于斜边为直径的半圆面积（勾股定理在面积上的推广）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 已知两边求第三边 先分清已知两边与所求边谁是斜边：已知两直角边 ，，斜边 ；已知直角边 与斜边 ，另一直角边 ；两边未说明谁是斜边时须分类讨论。如直角边 ，，斜边 。 2.2 判断三角形是否为直角三角形 用勾股定理的逆定理：先找出最长边（设其长为 ），再验证是否有 （， 为另两边），成立则是直角三角形，最长边为斜边。如 ，，：，是直角三角形。 2.3 求最短路径——化折为直 沿表面求两点间最短距离，先把曲面（或相邻面）展开成平面，连接两点成线段，再用勾股定理求线段长。如圆柱侧面展开成长方形后，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程就是展开图中 ， 两点连线的长。 2.4 折叠问题——抓住对应边相等 折叠前后重合的线段、角相等，把条件集中到直角三角形中再用勾股定理。如沿某线折叠使两点重合，则折痕是这两点连线的垂直平分线，对应线段相等。 3. 常用小技巧 技巧 要点 示例 常用勾股数速记 熟记 ；；；； 及其倍数 、 判断直角先找最大边 验证 时，先确定最大边作 ，避免算错 中 为斜边 已知两边定位斜边 第三边可能是斜边也可能是直角边，先判断再代入 两边 ，第三边为 或 4. 常见考试模型 4.1 蚂蚁爬行最短路径模型 公式：把曲面或相邻面展开成平面，最短距离为展开图中两点连线的长 （， 为展开后的两条直角边）。 限定：长方体沿表面有多种展开方式，须逐一计算取最小值；圆柱侧面展开成一个长方形。 示例：圆柱高 、底面周长 ，蚂蚁沿侧面从下底点 爬到相对的上底点 ：展开后两直角边为 和 （半周长），。 4.2 折叠问题模型 公式：折叠前后对应线段、角相等，把已知条件集中在含所求量的直角三角形中列 。 限定：先找准对应关系再列式；重合两点的连线被折痕垂直平分。 示例：长方形折叠使顶点落在边上，设折叠后某直角边为 、另一边为已知，用勾股定理列方程求 。 4.3 旗杆折断模型 公式：设旗杆在离地 处折断、顶部落地点离杆底为 、折断后斜躺部分长 ，则 ，折断前杆高为 。 限定：，， 均为正，且 。 示例：竹高一丈（ 尺），末折抵地、去本 尺：设折处离地 尺，则 ，解得 尺。 4.4 芦苇出水模型 公式：设水池深 、芦苇长 （ 为出水高度）、池中央到岸的距离为 ，则 。 限定：，， 均为正；“水池中央”意味着到岸距离是边长的一半。 示例：《九章算术》水池深 尺、芦苇出水 尺、半边长 尺：，解得 ，芦苇长 尺。 4.5 能否通过模型 公式：半圆截面能否通过，比较车顶最高点到圆心的距离与半径 ：车从正中通过时，车宽一半为 、车高为 ，则顶点到圆心距离 ，若 则能通过。 限定：以截面半圆圆心为基准，车顶最高点在半圆内即可通过。 示例：隧道截面半径 、车高 、车宽 ：，能通过。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：已知直角三角形两边求第三边，漏了”较大边可能是斜边”的分类讨论 典例：已知直角三角形的两边长分别为 和 ，求第三边的长。 错解：第三边是斜边，，所以第三边为 。 正解：分两类讨论：① 若 ， 均为直角边，则斜边 ；② 若 为斜边、 为直角边，则另一直角边 。所以第三边为 或 。 原因：条件遗漏。题目只说”两边长分别为 和 “，并未说明 是直角边还是斜边。学生习惯性地把较大的边当作斜边、较小的边当作直角边，忽略了” 也可以作斜边、 作直角边”的情形。已知两边求第三边时，必须先判断已知边与第三边的位置关系，不能想当然。 易错点 2：判断三角形是否为直角三角形时，没有先找最长边 典例：三角形的三边长分别为 ，，，判断这个三角形是不是直角三角形。 错解：，所以不是直角三角形。 正解：最长边是 ，验证 ，所以它是直角三角形， 是斜边。 原因：概念条件处理错误。勾股定理的逆定理中， 里的 必须是三角形的最长边（斜边）。学生不先比较三边大小，随手把中间大小的数当作 代入，导致等式两边对不上、误判为”不是直角三角形”。用逆定理判定时，务必先找出最长边作斜边。 易错点 3：误把满足 的非正整数当作勾股数 典例：判断 ，， 是不是勾股数。 错解：因为 ，所以 ，， 是勾股数。 正解：勾股数是”满足 的三个正整数”，而 ，， 都是小数，不是正整数，所以它们不是勾股数。 原因：概念理解片面。学生只记住了”满足 “这一数量关系，忽略了定义中”正整数”的限定。勾股数须同时满足三个条件：是三个数、都为正整数、满足平方关系。小数、分数、无理数即使满足平方关系，也不是勾股数。 易错点 4：在非直角三角形中滥用勾股定理 典例：判断下列说法是否正确：若 中 ，，则 。 错解：正确。由勾股定理 。 正解：错误。勾股定理只适用于直角三角形，题目未说明 是直角三角形，不能由 ， 推出 。 原因：使用前提不清。勾股定理成立的前提是”三角形是直角三角形”，学生看到”两边长 、“就条件反射地补出”第三边 “，混淆了定理与逆定理。只有先确认是直角三角形（或已知某角为直角），才能用勾股定理求边长；而已知三边满足平方关系，则用逆定理判定直角。 易错点 5：展开图求最短路径时，把”半周长”误当作整周长 典例：一个圆柱的高为 ，底面周长为 。蚂蚁从下底面的点 沿侧面爬到上底面上与 相对的点 ，求爬行的最短路程。 错解：展开后两直角边为 和 ，。 正解：侧面展开后， 位于展开图矩形上边的中点处，水平距离是底面周长的一半 ，。 原因：空间想象错误。圆柱侧面展开成矩形后，“与 相对的点 ”对应矩形的中点（水平距离为半周长），学生误把整个底面周长 当作水平直角边。把曲面展开成平面时，要先准确确定两点在展开图中的位置，再连线段用勾股定理求长。 易错点 6：梯子靠墙问题，凭直觉认为两直角边变化量相等 典例：一架云梯长 斜靠在墙上，底端离墙 。若梯子顶端沿墙下滑 ，求底端水平滑动的距离。 错解：顶端下滑 ，所以底端也水平滑动 。 正解：顶端离地高 ，下滑 后为 ，此时底端离墙 ，所以底端水平滑动 ，不是 。 原因：凭直觉类比。学生把”顶端下滑 “直觉地等同于”底端也滑动 “，忽略了斜边（梯子长）不变时两直角边的变化量并不相等。凡梯子、云梯靠墙类问题，都要抓住”斜边长度不变”这一不变量，分别用勾股定理求变化前后的直角边，再求差。 学科网（北京）股份有限公司 $