精品解析：河北石家庄市卓越中学2026-2027学年高二上学期第一次调研考试数学试题

石家庄卓越中学2026-2027学年高二上学期月考数学 一、单选题 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 3. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 4. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ） A. 1， B. ，0 C. 0，1 D. ，0 7. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 空间中任意两个单位向量必相等 10. 在正三棱柱中，为的中点，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 三、填空题 12. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 13. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则______. 14. 已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为______. 四、解答题 15. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 16. 如图，在正方体中，为棱的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）当时，求异面直线与间的距离. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． （1）若、、三点共线，求； （2）若，求长度的取值范围． 19. 如图所示，已知直四棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄卓越中学2026-2027学年高二上学期月考数学 一、单选题 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 4. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 6. 已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ） A. 1， B. ，0 C. 0，1 D. ，0 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 7. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 8. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【解析】 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 10. 在正三棱柱中，为的中点，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成角、线面角，逐项判断选项正误. 【详解】取中点，连接，，因为为中点， 由题可得平面，且平面， 所以，. 因为是等边三角形，为中点， 所以. 以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，，，则， 所以，故直线与直线所成的角为，A正确； 对于B，设直线与直线所成的角为， ,，，则， ，， 所以，故直线与直线所成的角不为，B错误； 对于C，平面的法向量，， 线面角满足，故，C正确； 对于D，设平面的法向量为， 由题可得，，， 联立， 得 令，则， 线面角满足，故，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A通过构造平面 平面 ， 平面 ，可得 平面 ，所以动点 的轨迹为线段 ； 选项B等体积转换：，点到平面的距离为定值, 的面积不是定值，体积不定； 选项C建立空间直角坐标系，设 ， ， ，，讨论 的取值范围即可求解； 选项D根据线面角定义，找到线面角平面角，讨论即可. 【详解】选项A 要寻找满足 平面 的点 的轨迹，利用面面平行判定与性质。 在正方体中： 取 中点 中点 ， 中点 中点 ， 为 中点，连接 ， 是 中位线， ；正方体中 ，因此 ， 所以平面与平面重合， 连接 ， ，， 且，则四边形为平行四边形， 可得,则平面， ,则平面， ， 平面 平面 平面 平面 ， ， 平面 ，可得 平面 ， 所以动点 的轨迹为线段 . 故 A 正确. 选项 B 利用等体积转换：, 点 到平面 的距离为正方体棱长 2 ，是定值, 的轨迹为线段 ，直线 与 不平行，因此 沿 移动时，点 到直线 的距离不确定， 的面积不是定值， 由 ，体积随底面积改变，故体积不是定值. 选项B 错误. 选项C 建立空间直角坐标系 以 为原点， 为 轴， 为 轴，为 轴建立空间直角坐标系。 由题意知正方体棱长为2，则各点坐标如下： 因为 是 的中点，所以 在线段 上，,设 ，其中 , ，则 且 若 ，则 联立 的轨迹方程 我们需要判断是否存在 ，使得对应的 在 的轨迹范围内。 的轨迹是线段，端点为（1，2，0）和（0，2，1）.所以 的取值范围是 , 考察函数 在 上的值域。 当 时， 当 时， 所以 因为 ，所以对于任意 ，都能找到满足条件的 ，进而找到对应的 ,即对于线段 上的任意点 ，都存在点 使得 . 选项 C正确. 选项D 因为 平面 是 在平面 内的射影. 为直线 与平面 所成角. ， 最小值最大值 选项D 错误 . 【点睛】本题考查了立体几何中的动态问题，既可以采取空间向量求解，也可以通过扎实的基本功通过综合法证明. 三、填空题 12. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【解析】 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 13. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的意义可以判定的位置，然后利用展开方法求得的最小值. 【详解】取的靠近的四等分点，连接，由题意得为线段上的动点， 将展开到与在同一平面内，如图所示： ,，， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 16. 如图，在正方体中，为棱的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）当时，求异面直线与间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【小问1详解】 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. 【小问2详解】 记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 18. 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． （1）若、、三点共线，求； （2）若，求长度的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【小问1详解】 设基向量，，， 则，， 因为， 所以， 因为、、三点共线，设， 则， 所以，，，得． 【小问2详解】 因为，且，， 设，，， 所以， 得， 即， 故，即，所以长度的取值范围为． 19. 如图所示，已知直四棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明： 设，，如图所示，以为原点，为轴， 为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则. . ，所以. 因为平面，底面，所以. 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】设，建立空间直角坐标系，对于（1），利用垂直向量数量积为零证明，结合直四棱柱性质得，再结合面面垂直判定定理证明； 对于（2），由平面，得与平面内两条相交直线、的方向向量点积为0，求解出的值；再分别求平面和平面的法向量，利用两平面法向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题干条件可得， 因为平面，平面，则， ， 故，，， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得. ， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得， 故. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $