河北石家庄市七县联合体2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

2026一2027学年第一学期高二年级10月质量检测 数学 布 全卷满分150分，考试时间120分钟。 p 注意事项： 郎超 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 长 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 餐 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若经过A(-m,3),B(5,-一m)两点的直线的倾斜角为45°，则m= A.-2 B.2 C.-4 D.4 2.若空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),d=(1,1,1),则其中单位向量的个数为 A.3个 B.2个 C.1个 D.4个 3.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为 叩 A.(1,-4,-3) B.（-1,4,3) C.(1,-4,3) D.(-1,-4,3) 4.已知向量m=(一2,1，一1)是直线1的一个方向向量，向量n=(2,k十1,1)是平面a的一个法 與 向量，若l∥a,则k= A.0 B.-2 C.4 D.3 5.在空间直角坐标系中，直线1经过点O(0,0,0),且其方向向量n=(1,0,1),则点M(0,1,1)到 地 直线l的距离为 A.√3 B.√6 C.3 D号 拟 6.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=xOA+yO克-O心(x>0,y>0),若 甘 M,AB,C四点共面，则兰+号的最小值为 A号 B.5 C.4 D.9 【高二数学第1页（共4页）】 27025B 7.设A(1,一2)，B(一1，一1)，直线1过点P(0,1)且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范 围是 A.[-3,2] B.(-∞，-3]U[2,+∞) C.[-3,0)U(0,2] D.[-2,3] 8.在棱长为8的正方体ABCD-A1B1CD1中，E是棱AA,上的一个动点，F为线段BD,上的 一个动点，则|EF|的最小值为 A.2√2 B.2√5 C.4 D.4√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.任意一条直线的倾斜角都存在 B.倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C.两条平行的直线一定有相等的斜率 D.若直线1的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10.若（α，b,c)为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是 A.a,a十b,a-b B.a,b,-c C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 11.在棱长为4的正方体ABCD一A1B1C,D1中，点M满足AM=AA十入A1B+入A1D ∈[0,1])，点N在底面A1BCD1内，且BN=3√2，则 A.当1=1时，AM∥A1B, B.当入=2时，AM=26 C.直线BN和平面A,B,CD1所成的角的余弦值为2y区 3 D.线段MN长度的最小值为√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知两点P(1,0,1)与Q(4,3,-1),则|PQ|= 13.在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,5),B(一2，一1,4)，则直线AB与xOy平面的交点P 的坐标为 14.在直三棱柱ABC-A1B1C中，AB=AC=BC=AA1=1,点P为侧面ABB1A1上的任意一 点，则P心·PC的取值范围是 【高二数学第2页（共4页）】 27025B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m). (1)若a·(b十c)=9,求m的值： (2)若(ka+b)⊥(a一b),求k的值. 16.(本小题满分15分) 已知直线l1经过A(3,1),B(0,2),直线l2经过点C(1,2),D(一2，m十2). (1)若l1∥l2,求m的值； (2)若l1⊥L2,求m的值 17.(本小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA'= ∠DAA'=60°. (1)以A克，AD,AA为基底向量，表示向量Bd,AC; (2)求证：BD⊥AC; (3)求AC的长. 【高二数学第3页（共4页）】 27025B 18.(本小题满分17分) 如图，直四棱柱ABCD-A1B,C,D1的底面为平行四边形，M,N分别为棱AB,DD,的中点. (1)证明：DM∥平面A,BN; 年 (2)若底面ABCD为矩形，AB=2AD=4,异面直线DM与A,N所成角的余弦值为Y9,求 点B,到平面A,BN的距离、 米 D M 汨 游 19.（本小题满分17分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=120°，PD⊥平面ABCD, 且PD=√6 (I)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； (2)若点M在线段PB上运动（不含线段端点），且PM=λPB.当直线BC与平面ACM所成 的角最大时，求入的值. 斗 D 谢 些 【高二数学第4页（共4页）】 27025B2026一2027学年第一学期高二年级10月质量检测 数学·参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 5 6 答案 A B C 0 A 题号 7 8 9 10 11 答案 B D AD BC BD 1.C【解析】因为经过A(一m,3),B(5,-m)两点的直线的倾斜角为45，所以，k三3"写=tan45=1,即 3+m=-m-5,解得m=-4.故选C. 2.A【解析】a=(1,0,0),∴.|a=√/1+02+0=1，∴.a是单位向量；.b=(0,1,0),∴.1b|=√02+1+0=1， .b是单位向量；c=(0,0,1),.|cl=√02+02+1=1，∴.c是单位向量；：d=(1,1,1),.1d1= √2+1+1=√5，∴.d不是单位向量.故共有3个单位向量.故选A. 3.B【解析】点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为（一1,4,3）.故选B. 4.C【解析】因为L∥a,所以m⊥n,则m·n=-2×2+1×(k十1)+(-1)×1=0，解得k=4.故选C. 2 5.D【解析】由题O成=(0,1,1)，所以点M(0,1,1)到直线1的距离为d=1OM2- (02+12+12)- -V么-V层-故陆D 6.A【解析】因为M,A,B,C四点共面，则有O应=xOi+yOi-O心(x>0,y>0),由共面定理可得，x十y十 （-10=1,即x+y=2,所以兰+号-（生+）x+)=(5++号）≥(5+2√受·号） 号，当且仅当=子，即x=2,即x=专y=号时等号成立.故选A 7,B【解折】如图，直线L过底P0,1D且与线段AB相交，m片-2，m告 =-3,当直线从PB处逆 时针旋转接近y轴时，斜率→十∞；当直线在PA顺时针旋转接近y轴时，斜率→一∞，所以1的斜率k的取 值范围是(-∞，一3]U[2,十∞).故选B. P(0,1) B(-1.-1 A(1,-2) 8.D【解析】以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(8,8,0),D1(0,0,8), 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 27025B 可得Bd=(-8,-8,8),Di=(8,8,0),设E(8,0,8)∈[0,1]，B市=λBD=(-8x,-8x,8x),A∈[0,1]， 则Dj=Di+BF=(8-8λ，8-8入，8)，即F(8-8,8-8λ，8)，可得EF=√642+(8-8a)2+(8入-8)z= 3习++，当久令即-A一安，B那取装个，故n λ-4=0 9.AD【解析】对于A,根据倾斜角的定义可知A正确； 对于B,直线y=一2x,斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 对于C,当两条直线不重合，且均与x轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误； 对于D,由于斜率与倾斜角0满足=tan0,0∈[0，x),故<0时，0e(受，元)，放D正确.故选AD. 10,BC【解析】对于A,因为a=合(a+b)十(a-b,所以a,a+b,a-b共面，故A错误： 对于B,因为c与一c互为相反向量，又{a,b,c》为空间的一个基底，所以a,b,一c能构成空间的一个基底， 故B正确； 对于C,若a十b,a一b,c共面，则存在实数x,y使得c=x(a十b)十y(a一b),即c=(x十y)a十(x一y)b,因为 =0解得/0 a,b,c不共面，所以(2十y=0。 {y二0进而则可得c-0,得到ab,c共面，与已知矛盾，赦C正确 对于D,因为c=一(a十b)+(a十b+c),所以a十b,a十b十c,c共面，故D错误.故选BC. 11.BD【解析】以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 正方体棱长为4，则A(0,0,0),B(4,0,0),A1(0,0,4),B1(4,0,4),D(0,4,4).由Ai=AA+λA1B+λA1D得 AM=(4λ，4λ，4)，即M(4λ，4λ，4)；因为N在上底面A1B1C1D1内，故设N(x,y,4),由BN=3√2得 √(x-4)2+y+4=3√2，化简得(x一4)2十y2=2,即N的轨迹是上底面内以B1(4,0,4)为圆心，半径 r=√2的一段圆弧ST(如图所示)， 对于A,=1时，M(4,4,4),AM=(4,4,4),A1B=(4,0,0),两向量不共线，故AM不平行于A1B1,故A 错误； 对于B,入=2时，M(2,2,4),A=√2+2+4=√24=2√6，故B正确； 对于C,设直线BN与平面A1BCD1所成的角为0，线段BN在平面A1BCD1内的射影为B,N, |BN=2,故cos0=BN=E=1 BNT3V2方，故C错误； 对于D,M,N的之坐标均为4，故MN长度为上底面A1BCD中两点距离，其中M在线段A:C,上，N在 上底面A1BC1D1内ST上（不含S,T),圆心B1到线段AC1的距离为2√2，故MN≥2√2-√2=√2，当且 仅当M,N,B,三点共线且MN⊥A1C1时等号成立.故MN最小值为√2，故D正确.故选BD. D 12.√22(5分，其他结果均不得分) 【解析】根据空间中点到点的距离公式，|PQ1=√(4-1)2十(3一0)2+(-1一1)=√9+9十4=√22. 13.（一22，一9,0)(5分，其他结果均不得分) 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 27025B 【解析】设直线AB与x0y平面的交点为P(x,y,0),则AB=入B驴，即(-2，-1,4)-(3,1,5)= (x+2,y+1,0-4),即(-5，-2，-1)=λ(x+2,y+1,-4),∴.-5=λ(x+2),-2=λ(y+1),-1= X(-,∴x=5-2,=是-1，A=子，x=-2,y=-9,∴直线AB与20平面的交点P的坐标为 (-22,-9,0) 14.[2,1]6分，结果正确均得分) 【解析】由题可知三棱柱为正三棱柱，如图取棱AB中点为坐标原点O,建立如图所示空间直角坐标系， B 设P,00,其中-≤x≤70≤≤1，又c(o,0),G(o,,,所以Pt=(-x,,-), PC=(-x,,1-),P心.PC=2++-x=x2+(2-)+号，当x=±？，且=0或1时， P心，PC取得最大值1，当x=0,且x=号时，P心.PC取最小值2，所以P心，P心的取值范围为[2,1]， 15.【答案】1)m=2(2)k=马 【命题意图】考查向量数量积运算， 【试题分析】(1)由a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m), 得a·(b十c)=(2,一3,1)·（2,0,3+m)=4十3十m=9,可得m=2.……(6分) (2)因为(ka十b)⊥(a-b),所以(k如十b)·(a-b)=0.…(8分) 即(2k+2,-3k,+3)·(0,-3,-2)=9k-2k-6=0,解得k= 7 …(13分） 16.【答案】(1)m=1(2)m=-9 【命题意图】考查直线平行、垂直. 【试题分析1直线6斜率一名二一子直线6的斜率起=十2》2 -2-1 3 ……(4分) 由4/h得1=，所以-号=-受，所以m=1. …(8分) (2)由1414得1·：=-1，由1)可得-}×(-受)=-1，所以m=-9. …（15分) 17.【答案】(1)Bd-AD-Ai,AC-AB+AD+AA(2)详见解析(3)√34 【命题意图】考查空间向量基本定理。 【试题分析】(1)Bd-BA+AD=-AB+AD, AC=AB+BC+CC=AB+Ab+AA.. (4分) (2)因为AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°， 所以AB.Ad=0,AB.A=Ad.AA=3X2Xc0s60°=3，(6分) 由(1)得Bd·AC-(AD-AB)·(AB+AD+AA) 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 27025B =A市.A范+A市+A市.AA-AB-A范.A市-A5.A =0十32十3-32-0-3=0，… (9分) 所以Bd⊥AC,即BDLAC.… (10分) (3)由(1)得AC=AB+Ad+AA,… (11分) 所以AC=(A克+A市+A): =AB+AD+AA+2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34, 所以AC1=√34，即AC的长为√34.… (15分) 18.【答案】(1)详见解析(2)2y 3 【命题意图】考查线面平行，求点到平面的距离。 【试题分析】(1)证明：连接AB1,交AB于点E,连接NE,ME, (2分) 6 .A 则E为线段A1B的中点， 因为M为棱AB的中点，所以ME∥AA,且ME-AA, 因为N为棱DD,的中点，所以DN∥AA1,DN=合AA, 所以ME∥DN,且ME=DN,…… (4分) 所以四边形EMDN为平行四边形， 所以EN∥DM, 又因为DM在平面ABN,ENC平面A1BN, 所以DM∥平面ABN.…(6分) (2)由题意(1)及几何知识得， 在直四棱柱ABCD-A1BC1D1中，AB=2AD=4,AB,AD,AA1两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB, AD,AA1所在直线为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系. ZA M 设AA1=2t(t>0),则B(4,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t), B1(4,0,2t),Di=(2,-2,0),A1i=(0,2,-t).…(8分) 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 27025B 设异面直线DM与A1N所成角为0，则 cos9=c0s(D应，A衣)1=1Di·A寸 1-4 √2 =10 DM·A1 |√22+(-2)·√22+(-)√4+ 5, 解得：t=1,…………………(们0分) 故A1(0,0,2),N(0,2,1),B1(4,0,2), 则A1B=(4,0,-2),A1=(0,2,-1),BB=(0,0,2).… (11分) 设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z), B1到平面A,BN的距离为d. A1B·n=0,m4x-2z=0, 所以 即 取之=2， A1衣.n=0,12y-z=0, 得n=(1,1,2).… (14分) 所以d=1BB.m=10X1+0×1+2×21=4=2w6 n W12+1?+22 √6 3 2√6 即B,到平面ABN的距离为3， ……… (17分) 18.【答案11 (2)2 【命题意图】考查空间向量综合. 【试题分析】(1)因为PD⊥平面ABCD, 在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=120°，所以∠BCD=60°，则△BCD为等边三角形， 取BC中点E,所以DE⊥BC,又BC∥AD,所以DE⊥AD,…(2分) 以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DP所在直线为x轴建立空间直角坐标系， 所以D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0W6),B(1W3,0),C(-1W3,0),E(0W3,0),…(3分) 平面PAD的一个法向量为Di=(0W3,0),…(4分) 得到P克=(1wW3,-√6)，C范=(2,0,0)， 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 所以 m·P克=0，即+8y5&=0, m.C克=0’{2z=0 取y=√2，则x=0,z=1,所以m=(0w2,1),… (6分) 所以cos(DE,m〉= Di·m=0X0+3XW2+0X1- DE1·m √3×√2+1 3 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. ……………………………*……………………… (7分) (2)由题意得C克=(2,0,0)，而点M在线段PB上运动， 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 27025B 得到Pi=(1√3，-√6)，P应=AP克=(aW31,-√6)，0<<1， 且Ad=(-3,W3,0),A市=(-2,0W6), Ai=A市+Pi=(a-2W3入W6(1-),… (9分) 设平面ACM的一个法向量为n=(a,b,c), n·AC=0-3a+√3b=0 所以 ,即 n·Aǜ=0(a-2)a+√36+6(1-a)c=0 取a=1,则6=3，c=2二4以 √6(1-λ) 所以=5，格 (11分) 设直线BC与平面ACM所成的角为0，要使0最大，即sin0最大， 所以ng=os0店a=:物 1i·n 2 1 …(14分) 2V++(后a】 V4+号(=)√4+号(2+) 因为函数y=2+在(0,1D上单调递减， 所以2+∈(-∞，1)，则(2+马)广∈[0，+∞)， 所以当入=2时，sin6取到最大值2， 1 所以当直线BC与平面ACM所成的角最大时，入的值为之…(17分) 【高二数学参考答案第6页（共6页）】 27025B