1.6 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.6 相似三角形的应用 旧知回顾 1．判断两个三角形相似有哪些方法？ 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似． 相似三角形判定的基本定理： 判定定理 1 相似三角形的判定定理 ： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理 2 三边成比例的两个三角形相似 判定定理 3 两角分别相等的两个三角形相似. 2．相似三角形有什么性质？ 相似三角形的对应角相等 对应边的比相等 对应线段(角平分线、高、中线)的比等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 自学互研 知识模块一　利用相似三角形测量距离 思 考 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出 A、B两点间的 距离，但由于受条件限制无法直接测 量，请帮他想出一个可行的测量办法. 如图，在池塘外取一点 C，使它可以直接看到 A，B 两点，连接并延长 AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点 E，使 A B C D E 测量出 DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出 A，B 两点的距离. A B C D E 如图，如果 且测得DE的长为50m，则A，B两点的距离为多少？ 所以 △ABC∽△DEC， 解：因为 A B C D E 因为 DE=50m， 所以 AB=2DE=100m. 于是 A B C D E 问题 类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度) 构造相似图形模型 测量 数据 求AB的长，可测量BE，CD和BC的长 求AB的长，可测量BC，CD和DE的长 知识点一 利用相似测量物体的宽度 相 关 计 算 已知 △ABE∽△ACD，则 所以AB= 已知 △ABC∽△EDC，则 , 所以AB= 问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度) 构造相似图形模型 测量数据 相关计算 求BC的长，可测量AD，DB和DE的长 已知 △ADE∽△ABC，则, 所以BC= 【例1】如图，小芳家的落地窗(线段DE)与公路(直线PQ)互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去，小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她 想到了一个办法．她测出 了邻家小彬在公路BC段上 走过的时间为10 s，又测量出了点A到窗的距离是4 m，且窗DE的长为3 m，若小彬步行的平均速度为1.2 m/s，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离． 解：过点A作AM⊥BC，垂足为M，交DE于点N. M N ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵AM⊥BC，BC∥DE， ∴AN⊥DE. ∴. 根据题意，知BC＝1.2×10＝12(m). M N 又∵AN＝4 m，DE＝3 m， ∴， ∴AM＝16 m. ∴点A到公路的距离为16 m． 知识模块二　利用相似三角形测量高度 例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、准星(A)、 靶心(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到A'，如图所示.已知 OA = 0.2m，OB=50m， AA'=0.000 5m，求李明射击到的点 B' 偏离靶心B的长度BB'(近似地认为AA'//BB'). O A B B' A' 解：因为 AA′∥BB′， 所以 △OAA′∽△OBB′， 因为OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.000 5m， 所以 BB′=0.125m. 答：李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′为0.125m. O A B B' A' 于是 【例2】如图，小涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得AO＝3 m，OB＝27 m，又知他眼睛离地面高度 CA＝1.75 m，请你帮他 算出铁塔DB的高度． 解：根据题意，得∠OAC＝∠OBD＝90°，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵AO＝3 m，OB＝27 m，CA＝1.75 m， ∴， ∴BD＝15.75 m， 即铁塔DB的高度为15.75 m． A C B A' B' C' 已知参照物AC的长度，在同一时刻，测量出参照物AC的影长BC和被测物体A'C'的影长B'C'，求A'C'的高度. 同一时刻的太阳光线互相平行 知识点二 利用影长测量物体的高度 ∠ABC = ∠A'B'C'， ∠ACB = ∠ A'C'B' =90°， △ABC∽△ A'B'C' ， A C B A' B' C' 随堂检测 1. 如图，某路口栏杆的短臂长为 1 m，长臂长为 6 m.当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高多少米？ 解：因为AB∥CD， A B O C D 所以△OAB∽△ODC. 所以. 又因为 OA = 1m，AB = 0.5m，OD = 6m， 所以 DC = 3m. 答：长臂端点升高3m. 所以. A B O C D 2. 小红同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．如图所示.已知纸板的 两条直角边 DE=80cm， EF=40cm，测得AC=1.5m， CD=8m，求树高 AB. 解：因为∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D， 所以 △DEF∽△DCB. 因为 DE = 80cm，EF = 40cm， CD = 8m = 800cm， 所以. 所以 CB = 400cm =4m， 答：树高AB为5.5m. 所以 AB = 4+1.5 = 5.5 (m). 所以. 3.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x， 需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（ 两条尺长AC和BD相等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x. 解：因为 OA∶OC=OB∶OD=n，且∠AOB=∠COD； 所以 △AOB∽△COD. 所以 OA∶OC=AB∶CD=n， 所以 x=. 所以 AB = CD·n =nb， 又因为 CD＝b， 4.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 解：设正方形 PQMN 的边长为 x 毫米. 答：这个正方形零件的边长是 48 毫米. 解得 x = 48. 因为PN∥BC， 所以△APN ∽ △ABC 即 所以. 课堂小结 相似三角形对应角相等. 利用相似三角形的性质解决实际问题 相似三角形对应边成比例. 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 相似三角形对应边上的高之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. $