1.5.2 相似三角形面积和周长的性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.5 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形面积和周长的性质 情景导入 在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12 cm，求这个地块的实际周长． 解：设该三角形的实际周长是x cm. ∵1∶500＝12∶x， ∴x＝6 000. 6000 cm＝60 m. 即这个地块的实际周长为60 m． 自学互研 知识模块一　相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方 思 考 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，相似 比为k，则S△ABC∶ S△A'B'C'的值是多少呢？ A B C A' B' C' A B C D A' B' C' D' 如图，分别作边BC、B'C'上的高AD、A'D'，则 因此， · = = ² 相似三角形的性质定理2 归纳总结 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 例1 如图，在△ABC中，点E，F分别在边 AB，AC上，EF∥BC， = ，S四边形BCFE = 8，求S△ABC. 解：因为EF∥BC， A B C E F 典例精析 又 = 因此 = . 所以△AEF∽△ABC. 由于S四边形BCFE=8， 从而S△AEF=1. 所以S△ABC=9. 从而 =()²=,即=. 因此== ， A B C E F 例2 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，且 S△ABC+S△A′B′C′=91，求△A′B′C′的面积. 解：因为 △ABC与△A′B′C′的相似比为， 又 S△ABC+ S△A′B′C′ =91， 因此 S△A′B′C′ = 63. 从而 =()²=,即= . 所以 S△ A′B′C′ + S△A′B′C′ =91， 1．若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？ 问题(1)：为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？ 问题(2)：相似比为k，那么哪些线段的比也等于k? 阅读教材，完成下面的内容： 问题(3)：这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？ 问题(4)：如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB∶____＝AC∶____＝BC∶____＝k.∴(AB＋BC＋CA)∶(____________________)＝k(等比性质)． 相似三角形的周长比等于相似比． 归 纳 A′B′ A′C′ B′C′ A′B′＋B′C′＋C′A′ 2．若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？ 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？ 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？ 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方． 归纳小结 解：∵AE∶EC＝1∶2， 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比． ∴AE∶AC＝1∶3. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB. ∴DE∶BC＝AE∶AC＝1∶3. ∴△DOE与△BOC的周长比等于相似比1∶3，面积比等于相似比的平方1∶9. 知识模块二　相似三角形性质的运用 【例2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，S△ADE＝4. (1)求S△ABC； (2)求S四边形DBCE. (2)∵S△ABC＝25，S△ADE＝4， 解：(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵AD＝2，DB＝3，S△ADE＝4， ∴AB＝AD＋DB＝5， ∴＝()2＝()2＝， ∴S△ABC＝25. ∴S四边形DBCE＝S△ABC－S△ADE＝25－4＝21. 随堂检测 1.证明：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A′ B′ C′ 证明：因为△A′B′C′∽△ABC，其相似比为k， 所以=k. 所以, 所以 C△ABC =AB+AC+BC=k(A′B′+A′C′+B′C′). 因为 C△A′B′C′= A′B′+A′C′+B′C′， 所以=k. 所以相似三角形的周长比等于相似比. A B C A′ B′ C′ 2.已知△ABC∽△ A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC， A′B′， A′C′的长. 解：因为△ABC∽△A′B′C′ ， 因为 AB=15cm，B′C′=24cm， 所以==. 所以=. 所以 A′B′=18cm，BC=20cm. 因为C△ABC=60， C△A′B′C′ =72， 所以 AC=25cm，A′C′=30cm. 3.有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？ 解：设边长为3，4，5的直角三角形为Rt△ABC，与它相似的直角三角形为Rt△A′B′C′. 因为 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， 所以= 所以=（）²= 因为 C△ABC=3+4+5=12， 所以 C△A′B′C′ =28. 所以=. 因为 =3×4×=6. 4.如图，在△ABC中，DE∥AC，EF ∥AF？ （1）求证：△BDE∽△EFC. （2）若BD= AD , 且△BDE的面积是5，求△EFC的面积. A B C D F E (1) 证明：因为DE∥AC， 所以∠BED = ∠C. 因为EF ∥AF ， 所以∠B = ∠FEC. 所以△BDE∽△EFC. (2) 解：因为BD= AD, 因为DE∥AC， 由①知△BDE∽△EFC. A B C D F E 所以= 所以== 因为S△BDE = 5 A B C D F E 所以=（）²= （ ）² 所以= = A B C D M E 解：如图，延长BA，CD交于点E. 因为CM平分∠BCD， CM⊥AB， 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，垂足为M, AM=AB若四边形ABCD的面积为 ，求四边形AMCD的面积. 所以∠BCM = ∠ECM ，∠BMC = ∠MEC = 90°. A B C D M E 所以 △BMC≌△EMC(ASA)， 所以 BM=EM. 又CM=CM， 又AM= AB ， 所以 BM=EM=2AM， 所以 AM=AE， 所以AE= BE. 因为AD∥BC， 所以△EAD∽△EBC. 所以=（）² 所以= 所以= = =1 A B C D M E 课堂小结 A B C D =k² 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质定理2 A' B' C' D' =k² 相似三角形的周长比等于相似比. $