1.5.2相似三角形的周长比与面积比-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比与面积比，核心知识点为周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。通过“思考”环节（如图1.5-5探究面积比）导入，衔接相似三角形判定与性质，以分层练习题（基础、能力、拓展）为支架帮助学生逐步掌握。 其亮点在于结合实际情境题（如三角形花坛面积计算）培养数学眼光，通过证明推理（如周长比定理推导）发展数学思维，分层练习与详细解析助力数学语言表达。学生能巩固知识提升能力，教师可高效开展教学。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.5.2相似三角形的周长比与面积比 第1章 图形的相似 相似三角形的周长比与面积比 练习题 ### 核心知识点回顾 1. 周长比定理：相似三角形的周长比等于相似比。 2. 面积比定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3. 串联结论：若两相似三角形相似比为$$k$$，则对应线段（高、中线、角平分线）比为$$k$$，周长比为$$k$$，面积比为$$k^2$$。 4. 高频易错：面积比一定要平方；已知面积比求相似比一定要开平方。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 两个相似三角形的相似比为2:3，求它们的周长比和面积比。 2. 已知两相似三角形面积比为1:16，求它们的相似比与周长比。 3. △ABC∽△A'B'C'，相似比为1:4，△A'B'C'面积为16，求△ABC的面积。 4. 判断正误：相似三角形的面积比等于周长比。 5. 相似比为5:2，求面积比。 6. 周长比为3:5，求面积比。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 已知△ABC∽△DEF，周长比为2:5，若△DEF面积为50，求△ABC的面积。 2. 两个相似三角形面积比为9:4，求对应高的比和周长比。 3. 相似三角形对应中线之比为3:4，求周长比与面积比。 4. △ABC∽△MNP，△ABC面积为18，△MNP面积为32，求相似比。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为2:5，求△ADE与四边形DBCE的面积比。 2. 两相似三角形周长分别为12cm和18cm，求它们的面积比；若小三角形面积为20cm²，求大三角形面积。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：周长比=相似比=2:3，面积比=$$2^2:3^2$$=4:9。 2. 解：相似比等于面积比开方，$$\sqrt{1}:\sqrt{16}=1:4$$，周长比=1:4。 3. 解：面积比=$$1^2:4^2=1:16$$，∴$$S_{△ABC}=16\div16=1$$。 4. 解：错误。周长比=相似比，面积比=相似比的平方，二者不相等。 5. 解：面积比=$$5^2:2^2$$=25:4。 6. 解：面积比=$$3^2:5^2$$=9:25。 #### 能力提升题解析 1. 解：周长比2:5 ⇒ 面积比4:25。设△ABC面积为$$x$$，$$\frac{x}{50}=\frac{4}{25}$$，解得$$x=8$$。 2. 解：面积比9:4 ⇒ 相似比3:2，对应高比、周长比均为3:2。 3. 解：中线比=相似比=3:4，周长比=3:4，面积比=9:16。 4. 解：面积比=18:32=9:16，相似比=$$\sqrt{9}:\sqrt{16}$$=3:4。 #### 拓展应用题解析 1. 解：相似比2:5，面积比4:25。设$$S_{△ADE}=4k$$，$$S_{△ABC}=25k$$，四边形面积=$$25k-4k=21k$$，故面积比为4:21。 2. 解：周长比=12:18=2:3，面积比=4:9。设大三角形面积为$$S$$，$$\frac{20}{S}=\frac{4}{9}$$，解得$$S=45\mathrm{cm^2}$$。 探究新知 思 考 如图1.5-5，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则S△ABC∶ S△A'B'C'的值是多少呢？ A B C D A' B' C' D' 图 1.5-5 如图1.5-5，分别作边BC、B'C'上的高AD、A'D'，则 因此， 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质定理2 情境导入 如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草， 园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，BE长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积. 所以 S△ABC = 62.5m2. 因为S△CDE = 10 m2. 解：因为DE∥AB， 所以 △CDE∽△CAB. 例3 如图1.5-6，在△ABC中，点E，F分别在边 AB，AC上，EF∥BC， ，S四边形BCFE = 8，求S△ABC. 解：因为EF∥BC，所以△AEF∽△ABC. 由于S四边形BCFE=8， 从而S△AEF=1. 所以S△ABC=9. A B C E F 图 1.5-6 例4 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，且 S△ABC+S△A′B′C′=91，求△A′B′C′的面积. 解：因为 △ABC与△A′B′C′的相似比为 ， 又 S△ABC+ S△A′B′C′ =91， 因此 S△A′B′C′ = 63. 随堂诊断 1.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为_______. A B C E D 解：因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC. 因为S△ADE =S四边形BCDE， 2.如图，在△ABC和△DEC中，∠A= ∠D， ∠BCE= ∠ACD. （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若 S△ABC∶S△DEC= 4∶9，BC=6，求EC的长. A B C E D (1) 证明：因为∠BCE= ∠ACD ， 所以∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE ， 即∠ACB = ∠DCE . 又因为∠A= ∠D ， 所以△ABC∽△DEC. 2.如图，在△ABC和△DEC中，∠A= ∠D， ∠BCE= ∠ACD. （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若 S△ABC∶S△DEC= 4∶9，BC=6，求EC的长. A B C E D (2) 解：因为△ABC∽△DEC ， 又因为 BC= 6， 所以 EC= 9. 证明：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A′ B′ C′ 证明：因为△A′B′C′∽△ABC，其相似比为k， 所以 C△ABC=AB+AC+BC=k(A′B′+A′C′+B′C′). 因为 C△A′B′C′= A′B′+A′C′+B′C′， 探究 相似三角形的周长比等于相似比. 随堂诊断 3. 若两个三角形的相似比为 2∶3，它们的周长差为4cm，则较大三角形的周长是 ( ). A. 8cm B. 12cm C. 20cm D. 24cm 解：设较大三角形的周长为 x cm，则较小三角形的周长为(x-4)cm. 因为两个三角形的相似比为 2∶3 解得 x = 12. B 1.已知△ABC∽△ A′B′C′，它们的周长分别为60cm 和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC， A′B′， A′C′的长. 解：因为△ABC∽△A′B′C′ ， 因为 AB=15cm，B′C′=24cm， 所以 A′B′=18cm，BC=20cm. 因为C△ABC=60， C△A′B′C′ =72， 所以 AC=25cm，A′C′=30cm. 练习 2.有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？ 解：设边长为3，4，5的直角三角形为Rt△ABC，与它相似的直角三角形为Rt△A′B′C′. 因为 C△ABC=3+4+5=12， 因为 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， 所以 C△A′B′C′ =28. 知识点1 相似三角形的周长比 1. 两个相似三角形的对应边上的中线之比为 ，周长之和 为25，那么这两个三角形的周长分别是( ) A A. 10和15 B. 8和17 C. 7和18 D. 6和19 返回 中考考法 13 2. [岳阳模拟] 如图，在中，点，分别在边, 上，平分，分别交，于点， ，且 ．若与的周长之比是 ， ，求 的长． 中考考法 14 【解】因为 ，所以 .又因为 ，所以 .因为与 的 周长之比是，所以.因为 平分 ，平分，所以. 又因为 ， 所以 ． 中考考法 15 将等积式转化成比例式，再由 比例式找到可能相似的两个三角形，证明 两个三角形相似，再利用周长比等于相似 比，相似比等于对应线段之比求解即可. . . 返回 中考考法 16 知识点2 相似三角形的面积比 （第3题） 3. 如图是学生用具三角板 ， ， ，其中 ，长为， 长为 ，则这个三角板中与 的 面积比为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 17 4. 如图，在梯形中，，对角线和 交于点，若，则 __. （第4题） 中考考法 18 不要混淆“相似三角形的面积比等于相似比的平方” 与“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于底边长的比”. 例如本题中与是等高三角形，所以 ， 而，所以 . . . . . 返回 中考考法 19 5. 如图，在中， . （1）若,求 ; 中考考法 20 【解】因为 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 ,所以, , ,所以 ,所以.设,则 , 中考考法 21 （2）若,求 . 因为,所以 .因为 ,所以 , 所以,所以 . 同理可得,所以 , ,所以 . 返回 中考考法 22 （第6题） 6. 如图，在中， ， ，的平分线交于点 ，交 的延长线于点， ，垂足为 ，，则 的周长为( ) A A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 11.5 中考考法 23 课堂小结 A B C D A' B' C' D' 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质定理2 相似三角形的周长比等于相似比. $