1.1.2 成比例的线段 （课件）-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1．1　线段的比 1.1.2 成比例的线段 情景导入 1．有经验的主持人一般站在舞台上的哪个位置？是正中央吗？ 2．人为什么在环境气温22℃～23℃下感到最适宜？ 自学互研 如图1.1-1，在方格纸上(小方格的边长为1)有△ABC和△A'B'C' ，它们的顶点都在格点上．观察或计算出线段AB，BC，AC，A'B'，B'C'，A'C'的长度，并计算AB与A'B'，BC与B'C'，AC与A'C'的长度的比值. A B C A' B' C' 知识模块一　两条线段的比 A B C A' B' C' 2 4 由图可知 BC=2，B'C'=4 根据勾股定理可得： AB = AC = 2 2 A'B' = A ' C ' = =0.5 =0.5 =0.5 如果 的比值为k，那么上述式子也可写成 一般地，如果两条线段AB，A′B′的长度分别为 m，n，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作 =k· A′B′ 在图中，对于△ABC和△A′B′C′，有 C A B C A' B' C' 2 4 2 2 ==0.5 =0.5 =0.5 =0.5 知识模块二　成比例线段及其应用 A B C D A' B' C' D' 计算线段 AB与A'B ' ，BC与B'C'，CD与C'D'， AD与A'D'的长度的比值，并说一说它们有怎样的关系. = = = = = 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 归纳总结 类似地，如果= ，那么称线段AB，BC，AC与线段A′B′ ，B′C′ ，A′C′对应成比例. 例如，已知四条线段a，b，c，d，若，则a，b，c，d是比例线段. 【例1】A，B两地的实际距离为3 000 m，画在图上的距离A′B′＝6 cm.求图上距离与实际距离的比． 解：∵AB＝3 000 m＝300 000 cm， ∴图上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝6∶300 000＝1∶50 000. 典例分析 例1 已知线段 a，b，c，d的长度分别为0.8cm， 2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是成比例线段吗？ 解：因为 所以 ，a，b，c，d是成比例线段. 例2 已知△ABC的三边 AB，BC，AC与△A'B'C'的三边A'B'， B'C'， A'C'对应成比例.若△ABC的周长为48cm，且A'B' =3cm，B'C'=4cm，A'C'=5cm，求△ABC的三边的长. 解：由题意得 = ， 因此可以设AB = 3x cm，BC= 4x cm，AC = 5x cm， 从而 3x=12，4x=16，5x=20. 所以△ABC 的三边AB，BC，AC的长分别为 12cm，16cm，20cm. 则 3x+4x+5x=4，解得 x=4， 已知a，b，c，d四条线段，a＝5 cm，b＝4 cm，c＝10 cm，d＝8 cm，则a，b，c，d是成比例的线段吗？请说明理由． 阅读教材，完成下面的内容： 解：∵＝，＝＝， ∴＝，从而a，b，c，d是成比例的线段． 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例的线段． 归纳 【例1】已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否是成比例的线段． (1)a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm； (2)a＝8 cm，b＝5 cm，c＝6 cm，d＝10 cm. 解：(1)∵＝2，＝2， ∴＝， ∴a，b，d，c是成比例的线段． (2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc， ∴a，b，c，d不是成比例的线段．　 【例2】已知△DEF的三边DE，EF，DF与△MNP的三边MN，NP，MP对应成比例．若△DEF的周长为60 cm，且MN＝4 cm，NP＝5 cm，MP＝6 cm，求△DEF的三边长． 解：由题意得＝＝， 设DE＝4x cm，EF＝5x cm，DF＝6x cm. 则4x＋5x＋6x＝60，解得x＝4. ∴DE＝16 cm，EF＝20 cm，DF＝24 cm. 知识模块三　黄金分割 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400一约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段 AB 分成不相等 的两部分使较短线段 BC 与较长 线关段 AC 的比等于较长 线段 AC 与原线段 AB 的比， 即使得 ＝ 成立？ 解：由 ＝ ，得 AC2 = AB · BC. A B C 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×(1 - x)， 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程，得 x1= (不合题意，舍去)， x2= . A B C 黄金比= 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果＝ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段 AB 的比称为黄金分割比. A B C 黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618). 定 义 【例4】在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感． 张女士的身高为1.65 m，身体躯 干(脚底到肚脐的高度)为1.00 m， 那么她应选择约多高的高跟 鞋使看起来更美．(精确到十分位) 解：设她应选择高跟鞋的高度是x cm. 【点拨】记住黄金分割比，且较长线段AC＝AB，较短线段BC＝AB. 1．65 m＝165 cm，1 m＝100 cm. 则＝0.618.解得x≈5.2. 答：她应选择约5.2 cm的高跟鞋使看起来更美． 随堂检测 1.已知a，b，c，d是成比例线段. （1）若 a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求 d； （2）若 a=12cm，c=3cm，d=15cm，求 b； （3）若 a=5cm，b=4cm，d=8cm，求 c. 解：（1）因为 = ， 所以 0.8 d =1×1， 所以 d=1.25 cm. （2）因为 = ， （3）因为 = ， 所以 3b =12×15， 所以 b=60 cm. 所以 4c =5×8， 所以 c=10 cm. 2. 已知 a，b，c是△ABC的三边长，且 = （1）求的值； 解：设 = ， 所以=== 所以 a = 5k，b = 4k，c = 6k. （2）若△ABC的周长为90，求各边的长. 所以 a + b + c = 5k + 4k + 6k = 15k. 由题意得 15k = 90，所以 k =6. 所以 a = 30，b =24，c =36. 解：设 = =k ，所以 a = 5k，b = 4k， c = 6k. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=2， 且四边形ABEF 是正方形，请问：点 E 是线段 BC 的黄金分割点吗？如果是，请说明理由. A B C D F E 解：由题意得 AB = BE= ， BC = AD= 2. 所以 所以 点 E 是线段 BC 的黄金分割点 A 4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm 5.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 6.2 课堂小结 如果 的比值为k，那么上述式子也可写成 一般地，如果两条线段AB，A′B′的长度分别为 m，n，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作= == 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果＝ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段 AB 的比称为黄金分割比. 黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618). $