1.3 相似图形 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.3 相似图形 旧知回顾 你还记得全等的图形吗？ 全等图形有什么性质？全等三角形呢？ 能够完全重合的图形叫作全等图形． 全等图形的形状和大小都完全相同． 能够完全重合的两个三角形是全等三角形． 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 情景导入 问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 问题2 哆啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 自学互研 知识模块一　相似图形 图1.3-1和图1.3-2分别是由其中的一幅图缩小或放大得到的.把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形之间有什么关系呢？ 图1.3-2 图1.3-1 直观上把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似图形. 缩小 放大 请同学们看黑板正上方的五星红旗，四个小五角星有什么关系？红旗上的大五角星与小五角星它们的形状、大小有什么关系？ 思考 四个小五角星形状相同、大小相等，它们全等． 大五角星与小五角星形状相同、大小不相等． 直观上，把一个图形放大或缩小 得到的图形与原图形是相似图形． 形状相同，大小不一定相同的图形，我们把这样的图形叫作相似图形． 归纳小结 【例1】如图，有一块平行四边形地ABCD，AB＝30 m，AD＝45 m．现要在地中修一水沟EF，且EF∥AB.问BE的长为多少时，▱ABEF∽▱ADCB? 解：∵EF∥CD， ∴∠D＝∠AFE，∠C＝∠FEB. 在▱ABEF和▱ADCB中，有∠A＝∠A，∠B＝∠D，∠BEF＝∠C，∠AFE＝∠B. 要使▱ABEF∽▱ADCB成立，只有角对应相等还不够，还必须要有对应边成比例，即＝＝＝. 又∵AB＝30 m，AD＝45 m，DC＝AB＝30 m， ∴BE＝＝＝20(m)， ∴当BE＝20 m时，▱ABEF∽▱ADCB. 知识模块二　相似三角形 数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形. 相似三角形定义： A B C C' B' A' 如果△ABC 与△ A'B'C' 相似，且点 A'，B'，C' 分别与点 A，B，C 对应，那么记作： △ABC∽△ A'B'C' 其中，符号 “∽” 表示相似，读作“相似于”. A B C C' B' A' 注 意 表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 相似三角形的性质： 相似三角形对应边的比叫作相似比. A B C C' B' A' 例如，若△ABC∽△A'B'C'， 对应边的比值 k 就是相似三角形△ABC 与△A'B'C' 的相似比. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 则＝==k， (1) 任意两个直角三角形相似吗？任意两个等边三角形呢？ 由相似三角形的定义可知，任意两个直角三角形不一定相似，但任意两个等边三角形一定相似. 议一议 (2) 相似三角形与全等三角形有什么区别与联系？ 若△ABC∽△ A'B'C' 且相似比 k = 1， △ABC≌△A'B'C'. 因此，全等三角形是相似三角形的特例. 如果△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A"B"C"，那么△ABC∽△A"B"C". 如果△ABC≌△A'B'C'，△A'B'C'∽△A"B"C"，那么△ABC∽△A"B"C". 相似具有传递性 提 示 例 已知△ABC∽△ A'B'C'，且∠A = 48°，AB = 8，A'B' = 4，AC = 6. 如图所示，求∠A' 的大小和 A'C' 的长. A B C A' B' C' 解： 因为 △ABC∽△A'B'C' ， 所以∠A= ∠A ' ，＝ 典例分析 由于∠A = 48°，因此∠A′ = 48° 所以 A'C' = 3. 于是＝ ， A B C A' B' C' 又AB = 8，A'B' = 4，AC = 6， 类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比也叫作相似比. 对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于” 相似多边形的定义： 相似多边形的特征： 相似比： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形的对应边的比叫作相似比. 相似三角形的性质： 归纳总结 对应角相等，对应边成比例． 1 当两个三角形的相似比为1时，两个三角形全等． 2 【例1】如图，△A′B′C′∽△ABC. (1)求∠α的大小和A′C′的长； (2)△ABC与△A′B′C′的相似比是________；△A′B′C′与△ABC的相似比是________. 解：(1)∵△A′B′C′∽△ABC， ∴∠α＝∠A＝60°，. ∴， ∴A′C′＝. (2)4∶3　3∶4 随堂检测 1.下列六个平行四边形中，哪些是相似的？ (1) 和 (4) 相似，相似比是 . (3) 和 (6) 相似，相似比是 . 2.已知△ADE∽△ABC，且相似比为.若DE=4cm，求BC的长. 解：因为△ADE∽△ABC，且相似比为 . 又因为 DE = 4cm， 所以 BC = 10cm. 所以 3. 如图四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 α 的大小和BC的长度 x. 解：因为四边形 ABCD 和 EFGH相似. 由于 ∠H =∠D =95°. 所以 在四边形 EFGH 中α=360°－(67°+ 118° + 95°) = 80°. 所以 所以 x =1.2. 4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，点 E，F 分别在边AD，BC上，且 EF⊥BC，若矩形ABFE与矩形 DEFC 相似，且相似比为1∶2，求 AD 的长. A B C D E F 解：因为矩形ABFE与矩形 DEFC 相似，且相似比为1∶2. 所以= 因为 四边形 ABCD 为矩形， 所以 DC = AB = 4 所以= 所以 DE = 8，AE = 2. 所以 AD= AE +DE = 2+8=10. A B C D E F 课堂小结 相似图形 相似三角形 概念 性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似多边形 概念 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例 相似比：相似图形对应边的比叫做相似比 $