1.2 平行线分线段成比例 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第1章　图形的相似 1.2 平行线分线段成比例 情景导入 我们每天上学都会经过斑马线、铁轨，大家仔细观察(出示铁轨、斑马线的实景图)，铁轨的两条钢轨之间，有无数条平行的枕木；马路上的斑马线，也是一组组平行的白色线条． 如果我们把枕木、斑马线抽象成数学里的平行线，把我们的视线、铁轨抽象成被截的直线，你会发现这些平行线条在直线上截出了一段段线段． 大家看，当一组平行线被一条直线所截时，截出的这些线段，会有什么关系呢？ 问题1：如果铁轨上相邻的枕木间距相等，那它们在铁轨上截出的线段，长度会怎么样？ 问题2：如果枕木间距不相等，一段是30 cm，一段是40 cm，那铁轨上对应的两段线段，它们的长度比，会不会和枕木的间距比有关系呢？ 也相等 自学互研 知识模块一　平行线分线段成比例 思 考 如图，已知直线 a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若AB=BC，则A1B1= B1C1吗？ A B C A1 B1 C1 l1 l2 a b c A B C A1 B1 C1 l1 l2 l3 A2 如图，过点 B 作直线 l3∥l2 ，分别与直线a，c相交于点 A2，C2，由于a∥b∥c， l3∥l2 ，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知 C2 a b c A2B=A1B1 ， BC2= B1C1. 在△BAA2和△BCC2中， ∠ABA2 = ∠CBC2， BA = BC， ∠BAA2 = ∠BCC2 △BAA2≌△BCC2 从而 A2B=BC2 所以 A1B1= B1C1 A B C A1 B1 C1 l1 l2 l3 A2 C2 a b c 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 小 结 在前面“思考”栏目中，若AB ≠ BC，如图所示，则 与 相等吗？任意平移直线 c， 与 还会相等吗？ A B C A1 B1 C1 l1 l2 a b c 探究 如图，连接 AB1，B1C，BA1，BC1. b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 由于△ABB1 底边 AB 上的高、△BCB1 底边 BC 上的高、△ACB1 底边 AC 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比， 即= ,= 又由于△A1B1B 底边A1B1 上的高,△B1C1B 底边B1C1 上的高、 △A1C1B 底边A1C1 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比， b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 即 由于△ABB1，△A1B1B 是平行线a，b 之间同底等高的两个三角形， 因此 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 由于△BCB1，△B1C1B 是平行线 b，c 之间同底等高的两个三角形，因此 ① + ② 得， 即 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 于是 同理可得： b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 两条直线被一组平行线所 截，所得的对应线段成比例. 由此得到以下基本事实： 以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥ c ， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a = ,= 则= ,= ， 平行线分线段成比例”定理 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等． 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 例1 如图1.2-4，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3， A1B1=1.5，求B1C1的长. 解：由平行线分线段成比例可知， 因此， ==2.25 = 【例1】如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D， F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，求BF的长． 解：∵直线a∥b∥c，　 又∵AC＝4，CE＝6，BD＝3， ∴＝.　　 ∴＝， ∴DF＝4.5. ∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5. 【变例】如图，已知DC∥EF∥GH∥AB，CB＝30，且DE∶EG∶GA＝1∶2∶3，求CF，FH，BH的长． 解：∵DC∥EF∥GH∥AB， ∴CF∶FH∶BH＝ DE∶EG∶GA＝1∶2∶3. 又CB＝CF＋FH＋BH＝30， ∴CF＝5，FH＝10，BH＝15. 知识模块二　平行线分线段成比例的推论 证明 如图1.2-5，过点 A 作直线MN，使 MN∥DE. 因为MN∥DE. A B C D E M N 例 2 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC，求证: ＝ , ＝ 因此，AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截， 所以 MN∥DE∥BC. 则由平行线分线段成比例可知: ＝ , ＝ A B C D E M N 议一议 A B C D E 则 CD，BE被一组平行线DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知， ①若 DE∥BC， 如图，直线 DE 分别与在△ABC 的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则＝ 吗？ ＝ 归纳总结 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 【例1】如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC.若AE＝4，EC＝2，BC＝8，求BF和CF的长． 解：∵DE∥BC， ∴＝＝＝ ∵DF∥AC， ∴＝， ∴＝. ∴CF＝. ∴BF＝BC－CF＝8－＝. 随堂检测 1.如图，AC，BD，相交于点O，直线MN过点O，且BA∥MN∥CD.已知OA=10，OB=6.3，OD=12.6，求OC的长. 因此，OC = 20. 解：由平行线分线段成比例可知＝ ， A B C D O M N 即＝ 2.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上， 且DE∥BC.若AB=3，AD=2，EC=1.8，求AC的长. A B C D E 解：因为AB=3，AD=2， 因此 AC = 5.4. 所以＝, 即＝, ∴BD=1. 3. 如图，DE∥BC， DF∥AC，若 AD = 6cm， BD = 8cm，DE=5cm，求线段 BF 的长. A B C D E F 解：因为DE∥BC， DF∥AC， 所以 四边形DCEF是平行四边形. 所以 FC = DE = 5cm. 因为 DF∥AC， 所以＝,即＝ 解得BF= 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F.求证：＝. 证明：因为GF∥BC， 所以＝ . 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD∥BC， 所以 ＝ . 所以＝ . 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 平行线分线段成比例:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. $