2.4.1 与俯角、仰角有关的应用问题 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.4 解直角三角形的应用 第1课时　与俯角、仰角有关的应用问题 情景导入 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的马路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家南偏东30°方向600 m处．她从家里出发朝东走到点B处时，水塔正好位于她的正南方向．小雅走了多远？ 解：在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，∠A＝30°，AO＝600 m. ∵sin A＝， ∴OB＝AO·sin A＝600×sin 30°＝600×＝300(m). 答：小雅从家里出发朝东走了300 m．   自学互研 知识模块一　仰角、俯角问题 某探险者到达如图所示的点 A 处时，他准备估算出到目的地—海 拔为 3500m 的山峰顶点 B 处的水平距离.你能帮他 想出一个可行的办法吗？ A B 思 考 如图，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点 C . 俯角 仰角 眼睛 A C B D E 海平面 用仪器先测量出点A 的海拔 AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC. 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1 600m，仰角∠BAC=40°求A，B两点的水平距离 AC (tan40°≈ 0.839 1，结果精确到 1 m). A C B D E 海平面 做一做 因为 BD = 3 500m，AE = 1 600m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， 所以 在Rt△ABC中， A C B D E 海平面 =. 即=0.8391， 从而 AC ≈ 2 264(m). 因此，A，B两点的水平距离 AC 约为2264 m. A C B D E 海平面 例1：某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在塔底部 1 000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面的高度 AE 为1.7m．如图所示.求上海东方明珠塔的高度BD(tan25°≈ 0.466 3，结果精确到 1 m). 解 在Rt△ABC中，∠BAC＝25°， AC＝1000 m，因此 又tan25°≈0.466 3， 因此，上海东方明珠塔的高度 BD ≈ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD 约为468 m. 从而 BC ≈ 1 000 ×0.466 3 = 466.3(m) ． = 如下图，视线与水平线所成的∠1叫作____角，∠2叫作_____角． 练 习 仰 俯 【例1】如图，在离树BC 12 m的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5 m，求树高BC.(计算结果保留根号) 解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形， ∴DE＝AC＝12 m， CE＝AD＝1.5 m. E 在Rt△BED中，∠BDE＝30°，tan 30°＝， ∴BE＝DE·tan 30°＝4 m. ∴BC＝BE＋CE＝(4＋1.5)m. 答：树高BC为(4＋1.5)m. E 知识模块二　夹角问题 【例2】如图，△ABC，△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若点A到点B的距离AB＝2 m. (1)求AC的长度； (2)求DE的长度． 解：(1)在Rt△ACB中，AB＝2 m，∠PBE＝45°， 则AC＝AB·sin ∠PBE＝2×＝(m). 答：AC的长度为 m. (2)∵AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE， ∴∠AFD＝∠FDC＝∠ACD＝90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC＝ m. 在Rt△FDE中，tan ∠PEB＝， 则ED＝＝＝(m). 答：DE的长度为 m． 随堂检测 1.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 从而BC = 500×sin30°= 250(m). 答：B处与河岸的距离 BC 为 250 m． 所以sin 30°=. 2. 某厂家新开发的一种电动车，其大灯 A 射出 的光线 AB，AC 与地面 MN 所成的夹角∠ABN， ∠ACN 分别为8°和15°，大灯 A 与地面的距离为 1m，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度 BC (tan 8°≈ 0.14，tan 15°≈ 0.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m) ． 解：作AD⊥MN，垂足于D. D 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， 因此tan ∠ABD = 从而BD = 同理 CD ≈3.70 m. 所以 BC = BD-CD ≈ 3.4(m). 答:该车大灯照亮地面的宽度 BC 为3.4m. D 3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼 顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120m. 所以BD=AD·tanα=120×tan30° =120×(m) 因为tan α=, CD=AD·tanβ = 120×tan60°=120 =120(m), 所以 BC=BD+CD=40+120 答：这栋高楼约高277.1m. 4.如图，在离树 BC 12米的 A 处，用测角仪测得 树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号) 分析：本题可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数. 所以 DE=AC=12 m．CE = AD =1.5 m． 在Rt△BED中，∠BDE=30°， 解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形， , 所以 BE=DE·tan30°=12×(m)， 所以 BC=BE+EC= 答：树高BC为（）m. 课堂小结 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 $