2.1.2 锐角的余弦 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2．1　锐角的正弦和余弦 第2课时 锐角的余弦 情景导入 直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个常数． 可以猜想它的邻边与斜 边的比值也是一个常数． 那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是正确的吗？ A B C 自学互研 知识模块一　根据余弦的定义求锐角的余弦值 探 究 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？ A B C α E F D α 因为∠A =∠D=α，∠C =∠F=90°， 所以∠B = 90°－ α =∠E， 从而 sin B = sin E. A B C α E F D α 因此 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即 A B C 斜边c 邻边b 归纳总结 cos A= 想一想在直角三角形中对任意锐角α，它的正弦值和余弦值有怎样的关系？ A B C α ∠B = 90°－ α sin α = sin B = cosα = cos B = sinα = α = (1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个____，与直角三角形的大小无关． 练 习 常数 (2)如图，在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的____，记作cosA，即cos A＝__________＝. 余弦 A B C 斜边c 邻边b (3)对于任意锐角α，有cos α＝sin (90°－α)，sin α＝___________ ． (4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则cos A＝____，cos B＝____． cos(90°－α) 知识模块二　特殊角(30°，45°，60°)的余弦值 解： cos30°= sin（ 90° － 30° ）= sin 60°=， 例1：求cos30°，cos45°，cos60°的值． cos45°= sin（ 90° － 45° ）= sin 45°=， cos60°= sin（ 90° － 60° ）= sin 30°=. 例2：计算： cos30° － cos60° + cos²45 解：cos30° － cos60° + cos²45 =-× ×（）² = 除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正弦值、余弦值. 可以利用计算器来求． sin 5 0 求 sin50°的值(精确到0.000 1)，可以在计算器上依次按键: 显示结果为0.766 044 443，因此 sin50°≈ 0.766 0. 求cos 10°36′的值(精确到0.000 1).依次按键： 1 cos 0 。,,, 3 6 = 显示结果为 0.982 935 349， 。,,, 因为 10°36′=10.6°，依次按键 1 cos 0 . 6 因此 cos 10°36′ ≈ 0.982 9. 1 °=60′ 1′ = 60″ 如果已知正弦值或余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知sin α=0.368 8，求对应锐角α (精确到0.1°). sin 0 . 3 6 8 8 显示结果为21.641 629 2，因此 α ≈ 21.6°. 依次按键 SHIFT 还可以再按 。,,, 显示结果为 21°38′29.87″ 显示结果为21.641 629 2，因此 α ≈ 21.6°. 这表明锐角 α 精确到1′的结果为21°38′， 精确到1″的结果为21°38′30″. sin 0 . 3 6 8 8 SHIFT 已知 cosα=0.866 1，求对应锐角α(精确到1″)。 cos 0 . 8 6 6 1 显示结果为29.991 450 8， SHIFT 显示结果为29°59′29.22″，因此 α ≈ 29°59′29″. 再按 。,,, 依次按键 (1)cos 30°＝____，cos 45°＝____，cos 60°＝____． (2)把cos 30°，cos 45°，cos 60°按从大到小的顺序排列． 练 习 解：cos 30°>cos 45°>cos 60°. (3)你发现有什么规律吗？ 解：对于任意锐角α，都有0<cos α<1； 任意锐角α的余弦值随角度的变大而减小． α 30° 45° 60° sin α cos α (4)填一填： 【例1】计算：2cos245°＋cos30°－cos 60°. 解：原式＝2×()2＋－× ＝2×＋－ ＝1. 知识模块三　用计算器求锐角的正弦、余弦值 利用计算器计算： （1）sin40°≈ _______， cos15°≈ ________(精确到0.0001) ； （2）sin15°30′≈__________， cos50°48′≈ ________ （精确到0.0001）； 0.6428 0.9659 0.2672 0.6320 做一做 （3）若sin α=0.965 9，则锐角 α ≈ ________(精确到1°) ； （4）若cos α=0.258 8，则锐角 α ≈ _________ (精确到1″). 75° 75°0′4″ 【例2】利用计算器计算： (1)sin 63°52′41″≈______(精确到0.001)； (2)若sin α＝0.368 8，则锐角α≈_______ (精确到1′)． 0.898 21°38′ 【例3】(1)用计算器求cos 70°的值(精确到0.000 1)； (2)已知cos α＝0.327 9，求锐角α的度数(精确到1′)． 解：(1)依次输入：“cos ”，“70”，显示结果约为0.342 0. (2)依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)，“cos ”，“0.327 9”，显示结果约为70.858 6，约等于70°52′. 随堂检测 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=7. 求 cos A，cos B的值． 解： cos A= 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 BC2 = AB2－AC2= 72－52 = 24. cos B= 2.计算： 解：cos260°－ sin245° （1）cos260°－ sin245°； （2）1－2cos30°cos45°. 解：1－2cos30°cos45° （3）(1+cos45°) (1－cos45°). 解：(1 + cos45°) (1－cos45°). 3.用计算器求下列锐角的正弦值、余弦值(精确到0.000 1) ： （1）24°24′； （2）65.6°. 解：(1) sin24°24′ =0.413 1 ； cos24°24′ =0.910 7. (2) sin 65.6°≈ 0.910 7 ； cos 65.6°= 0.413 1. 4. 已知下列正弦值或余弦值，用计算器求对应的锐角(精确到1°)： （1）sin α =0.807 1； （2）cos α =0.7081. 解：(1) α ≈ 54°； (2) α ≈ 45°. 课堂小结 如图，在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即 A B C 斜边c 邻边b cos A= sinα = α = 余 弦 余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦 余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关 用计算器求锐角余弦、正弦值或根据余弦、正弦值求锐角 $