2.1.1 锐角的正弦 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2．1　锐角的正弦和余弦 第1课时　锐角的正弦 情景导入 扬水站 修建一个扬水站，在选择扬水泵时，必须知道扬水站(点A)与水平面(BC)的高度(AC).斜坡与水平面所成的角(∠B)可以用测角器测出来，水管的长度(AB)也能直接量得．提问：你能求出它的高度(AC)吗？ 30° A B C 自学互研 知识模块一　根据正弦的定义求锐角的正弦值 任意画一个 Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A = 30°(如图所示)，则∠A的对边 BC 与斜边 AB 之间的关系为BC = AB. A B C 30° . A B C 30° . 由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数. 若把30°角换成任意一个锐角，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？ 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D=α， ∠C =∠F=90°，则= 成立吗？为什么？ A B C α E F D α 探究 因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. 从而=. 因此=. A B C α E F D α 归纳小结 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即 A B C 斜边c 对边a sin A= sin30°= 总 结 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC = 3，AB = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. 解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5， 于是sin A= A B C (2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16. 因此sin A= 于是AC = 4. A B C 1．在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值是_______． 2．若把30°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否仍然是一个常数？ 常数 是 归纳总结 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝． sin 30°＝． 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sin A＝，sin B＝.　　 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值． 解：如图①，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5. 因此sin A＝＝， sin B ＝ ＝. 如图②，在Rt△ABC中，sin A＝＝，AC＝＝＝12. 因此sin B＝＝. 知识模块二　特殊角的正弦值 如何求 sin 60°的值？ 根据勾股定理，得 如图，画一个 Rt△ABC ，使∠C=90°， ∠B = 60°， A B C 60° 思 考 则∠A=30°，从而BC = AB. AC2=AB2－BC2=AB2－( AB)2= AB2. 于是 AC= AB． 因此sin 60° ＝＝. A B C 60° 根据勾股定理，得 如何求 sin 45°的值？小芳算出 sin 45° ＝ ，你认为她的结果对吗？ 解：如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC． A B C 45° AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2. 于是 BC= AB， 因此sin 45°＝ ＝. A B C 45° 三个特殊角 (30°， 45°， 60°)的正弦值 sin30°= sin45°= sin60°= 例：计算： sin²30°+ sin²60° (sin30°)2 简记为sin230°. 解： sin²30°+ sin²60° =（）² × = = (1)sin 45°＝____，sin 60°＝____； (2)把sin 30°，sin 45°，sin 60°按从大到小的顺序排列； (3)你发现有什么规律吗？ 解：sin 60°>sin 45°>sin 30°. 解：对于任意锐角α，都有0<sin α<1； 任意锐角α的正弦值随角度的变大而变大． 解：(1)原式＝ （）² ＋ （）² ＋＝. 【例2】计算： (1)sin230°＋sin245°＋sin60°； (2)2sin 45°＋2sin260°－|sin245°－1|. (2)原式＝2×＋2× （）² － （1 － ）＝＋－＝＋1. 随堂检测 1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D ，则下列结论不正确的 是 ( ). C A.sin B＝ B.sin B＝ C.sin B＝ D.sin B＝ 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sin A，sin B的值. A B C 解：∠A的对边BC=5， 斜边AB=13. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 于是 AC2= AB2－BC2= 132－52=144. 于是 AC = 12. 因此 A B C 3.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4) ， 连接OP，求OP与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0). 在Rt△APO中，由勾股定理得 P(3，4) 1 2 3 4 1 2 3 4 y x O α A OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25. 于是OP=5. 因此 P(3，4) 1 2 3 4 1 2 3 4 y x O α A 4.计算： （1） sin260°+ sin245°； （2） 1－2sin30°sin60°. (1)解：sin260°+ sin245° (2)解：1－2sin30°sin60° =1 － 2×× =1 － = 课堂小结 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即 A B C 斜边c 对边a sin A= sin30°= sin45°= sin60°= $