第4章 4.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质-课时2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，涵盖平移规律、顶点坐标、对称轴及性质应用等核心知识点。通过中考真题导入，衔接二次函数基本形式与顶点式的转化，以“刷基础-刷提升”分层训练为支架，辅助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入数形结合思想，如平移问题通过顶点坐标变换分析，最值问题结合图象直观求解，培养学生几何直观与推理意识。设置易错警示和刷有所得小结，帮助学生规避误区、提炼方法，既助力学生巩固基础提升解题能力，也为教师提供系统教学资源与高效教学思路。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4 4.2.2 二次函数 的图象 与性质 课时2 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 图象的平移 1.【2025湖南邵阳调研】已知抛物线的函数表达式为 ，将函数 图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数 表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】将抛物线 向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位 长度，所得到的新抛物线的函数表达式为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2026湖南湘西州质检】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 ，其对称轴与两抛物线 所围成的阴影部分的面积为___. 1 【解析】令抛物线的顶点为 ，其对称轴与抛物线 交于点，则，，.连接， ，由平移及抛物 线的对称性可得 ，故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 将阴影部分的面积转化为 的面积是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 二次函数 的图象 3.【2025广西河池期末】二次函数 的图象是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 抛物线开口向上. 二次函数表达式为 ， 顶点坐标为，对称轴为直线 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 刷有所得 判断二次函数图象的方法： （1）根据 的正负确定开口方向；（2）结合顶点坐标确定图象经过哪些象限. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 4.已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标 的对应值如下 表所示： … 0 1 2 3 4 … … 8 3 0 3 … （1）求 的值； 【解】把代入，得，即 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）. 【解】如图： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 二次函数 的性质 5.【2025湖南永州期末】已知二次函数 的图象上有三个点 ，，，则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 【解析】二次函数 的图象开口向上，对称轴是直线 距离对称轴3个单位长度； 距离对称轴0个单位长度， 距离对称轴1个单位长度，根据开口向上，距离对称轴越远，纵坐标越大 可知 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 6.【2026安徽阜阳校级质检】在平面直角坐标系中，已知点 ， 为抛物线上任意两点，当 时， 满足，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 抛物线中， 抛物线开口向上，对称轴 为直线，位于的左侧，且 .当 时，可知，不满足题意；当 时，可知 ,满足题意，此时；当时，要使 ,需满足 ，解得 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7. 开放性试题 【2026湖南永州期末】写一个满足下列两个条件的二次函数： （1）开口向下；（2）顶点坐标是 ，可以是___________________________ _____. （答案不唯 一） 【解析】根据题意得这个二次函数可以是 ，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.如图是二次函数 图象的一部分，该图象在 轴右侧与 轴交点的坐标是______. 【解析】由于 的图象的对称轴为直线 ，在对称轴左侧与轴的交点坐标为 ，根据对称 性可知，在对称轴右侧与轴的交点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 求二次函数的最大值或最小值时忽略数形结合思想的应 用导致出错 9.二次函数 的最大值为___，最小值为___. 5 1 【解析】， 这个二次函数的图象的 对称轴是直线，顶点坐标是 ，画出其大致图象，如图. 由图可知，当时，有最小值，为 ，且 ， 当时， 有最大值，为5.故答案为 5,1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 解题时画出函数图象，结合图象分析，借助图象的直观性求解，不要误以为端点 的值就是这段函数的最值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2025湖南湘潭质检，中】已知抛物线，将抛物线 平移得 到抛物线，若两条抛物线和关于直线 对称，则下列平移方法中，正确 的是( ) B A.将抛物线向右平移3个单位长度 B.将抛物线 向右平移6个单位长度 C.将抛物线向左平移3个单位长度 D.将抛物线 向左平移6个单位长度 【解析】， 抛物线的顶点坐标为 两条抛物线关于 直线对称， 两条抛物线的顶点的纵坐标相等， 设抛物线 的顶点坐标为 ，，， 抛物线 的表达式为 ， 平移方法是将抛物线 向右平移6个单位长度. 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 2.【2025河北衡水期末，中】已知，， 为三个常数，且二 次函数的图象经过， 两点.对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判 断正确的是( ) 结论Ⅰ： 的值可能为5； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点 有两个. C A.Ⅰ和Ⅱ都正确 B.Ⅰ和Ⅱ都不正确 C.Ⅰ不正确Ⅱ正确 D.Ⅰ正确Ⅱ不正确 【解析】 二次函数， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线开口向下. 图象经过，两点， ， ，故结论Ⅰ不正确. 图象经过，两点， ，对 称轴为直线， 点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， 满足 条件的点 有两个，故结论Ⅱ正确.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 关键点拨 根据二次函数图象的对称性确定对称轴的取值范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数 图象上点的坐标特征及 的取值范围，即可判断Ⅱ. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2026湖南岳阳期中，中】二次函数,, 为常数，且 中和 满足下表： … 1 3 5 6 … … 5 0 0 12 21 … 将原抛物线平移得到新抛物线，若点 在新抛物线上， 则 的值为____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】依题意得原抛物线向左平移1个单位得到新抛物线 点在新抛物线上， 点 在抛物线 上.观察表格可得点 在原抛物线上，对称轴为直线 ， 点也在原抛物线上，或， 或3.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［中］已知函数 （1）若使成立的值恰好有三个，则 ____； 【解析】根据图象可知当时，对应的值恰好有3个， . （2）若使成立的值恰好有两个，则 的取值范围为_______________. 或 【解析】根据图象知当或时，对应的值恰好有2个，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】函数 的图象如图所示. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.［较难］如图，抛物线 与 交于点，且分别与 轴交于点 ，.过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点， ，则 以下结论：①无论取何值，总是负数；可由 向右平移3 个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；③当 时， ①②④ 随着的增大，的值先增大后减小；④四边形 为正方形，其中正确的 是________.（填序号） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】由题图可知，抛物线位于轴下方， 无论取何值， 总是负数，故 ①正确. 抛物线的顶点为 ，抛物线 的顶点为，可由 向右平移3个单位长度，再向 下平移3个单位长度得到，故②正确. ， 随着 的增大， 的值逐渐减小，故③错误.设交轴于点，则.当 时， ，解得或1，;当 时， ，解得或1，，， .当 时，，，,,， .又 ， 四边形 为正方形，故④正确.故答案为①②④. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合 ［较难］已知抛物线 与抛物线 的顶点坐标相同. （1）求抛物线 的表达式. 【解】 抛物线与抛物线 的顶点坐 标相同， 抛物线的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）已知点的坐标为 . ①问题探究：在轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转 得到线段 ， 且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 图（1） 【解】存在.设，如图（1），过点作轴于点 ， 过作轴于点，则 .由旋转可 知， ， ， ， ，， ， ，， ， 在抛物线上，，解得 或 ， 点的坐标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 ②问题应用：在轴上存在点，使线段绕点顺时针旋转 得到线段 ，且 点恰好落在抛物线上，请直接写出点 的坐标. 图（2） 【解】点的坐标为或.设，如图（2），过点 作轴，过点作于点，过点作 于点 .由①同理可得， ， ，恰好落在抛物线 上， ，解得或， 点 的坐标为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 $