4.1 二次函数 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4．1　二次函数 旧知回顾 1．什么是一次函数？ 如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0). 2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？ (1)正方形边长为a(cm)，它的面积S(cm2)与a的函数关系式为________ ； (2)已知正方体棱长为x(cm)，其表面积y(cm2)与x的函数关系式为________ ； S＝a2 y＝6x2 (3)矩形长是4 cm，宽是3 cm，如果将其长与宽都增加x cm，那么面积增加y cm2，那么y与x的函数关系式为____________． y＝x2＋7x 答：它们都不是一次函数． 自学互研 知识模块一　二次函数的相关概念及一般形式 思 考 已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm. 从中挖去一个圆(如图所示)，设挖去的圆的半径为 x cm，剩余部分的 面积为 S cm²，如何写出 S 与 x 之间的关系式? 200 cm 150 cm x cm 由于圆的半径为 x ，于是挖去的圆面积为 πx²， 则剩余部分的面积 S 与圆的半径 x 之间有如下关系：S = 200×150πx²，0＜x≤75， 即 S = πx²+30 000，0＜x≤75. ① 200 cm 150 cm x cm ①式表示剩余部分的面积 S 与圆的半径 x 之间的关系，而且对于 x 的每一个取值， S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数. 某型号笔记本电脑之前的售价为 6 000 元，经过两次降价，现在的售价为 y 元.若每次的降价率为 x，写出 y 与 x 之间的关系式. 做一做 解：笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1x)倍， 于是，第二次降价后的售价＝原售价×(1x)2. ②式表示现在的售价 y 与降价率 x 之间的关系，而且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与它对应，即 y 是 x 的函数. 由此可得，两次降价后售价 y 与降价率 x 之间有如下关系：y＝6 000(1x)2，0＜x＜1， 即 y＝6 000x212 000x＋6 000，0＜x＜1. ② ①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ S = －πx²＋30 000，0＜x≤75① y = 6000x2－12 000x＋6000，0 < x < 1. ② 共同点： ①②两式都是函数表达式； 自变量都是x； 等式右边都是关于自变量x的整式。 ①②式中自变量x最高次数是2，含有x2项，属于二次函数。 与一次函数表达式的不同： 一次函数自变量x最高次数是1； 函数①②的表达式是自变量 x 的二次多项式，我们把形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数称为二次函数. 归纳总结 其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫作二次项； b 为一次项系数，bx 叫作一次项；c 为常数项. 1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？ 做一做 把形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数． 它的一般形式是y＝ax2+bx+c(a≠0). 2．如何求二次函数的自变量的取值范围？ 二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制． 【例1】下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝3x－1 B．y＝－ C．y＝x2+2 D．y＝2(x－1)2－2x2 C 【变例1】已知y＝(m－1)xm2+2m－1是关于x的二次函数，则m＝____． 【变例2】已知函数y＝(a+2)x2+x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是_______． 【例2】将二次函数y＝－(x－1)2+2整理为一般式，得__________________． －3 a≠－2 y＝－x2＋2x＋1 　【变例】把二次函数y＝－(x+3)(x+4)+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为 ( ) A．－1，－1　　 　 B．－1，1　 　　 C．－1，7　 　　 D．－1，－7 D 知识模块二　建立简单的二次函数模型 当常数a，b，c满足什么条件时，函数y= a x²+bx+c为一次函数?为正比例函数? 当a=0，b≠0时，为一次函数; 当a=c=0，b≠0时，为正比例函数， 例 学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示. 已知篱笆的总长度为100 m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为 x cm，矩形植物园的面积为 S m²，求 S 与 x 之间的函数表达式. 解：由于与围墙垂直的一边篱笆的长度为 x m， S = x(100 - 2x)，0 < x < 50， 即 S = -2x2＋100x，0 < x < 50. 因此，与围墙平行的一边篱笆的长度为 (100－2x) m. 于是面积 S 与 x 之间有如下函数关系： 【例3】如图，小明的父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园ABCD.已知房屋外墙长40 m，设AB＝x m，矩形菜园ABCD的面积为S m2，则S与x之间的函数表达式为________________．(不必写出x的取值范围) S＝－2x2＋80x 【变例】设圆柱的高为6 cm，底面半径为r cm，底面周长为C cm，圆柱的体积为V cm3. (1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 解：(1)∵圆柱的底面半径为r cm，底面周长为C cm， ∴C＝2πr. 又∵圆柱的高为6 cm，底面半径为r cm，圆柱的体积为V cm3， ∴V＝πr2×6＝6πr2. ∵圆柱的高为6 cm，底面周长为C cm，圆柱的体积为V cm3， ∴V＝π×()2×6＝. 综上所述，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是C＝2πr、V＝6πr2、V＝. (2)根据二次函数的定义知，V关于r的关系式V＝6πr2是二次函数，V关于C的关系式V＝是二次函数． 随堂检测 1. 把 y = (2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为____， 一次项系数为______，常数项为____. -3x2 -16 12 2．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． y= C．y＝3x2＋1 D．y= C 3. 函数 y = (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n 是常数,且m≠0 B . m，n 是常数,且n≠0 C. m，n 是常数,且m≠n D . m，n 为任何实数 C 4.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数。 (1)正方形的面积S关于它的边长x的函数; (2)圆的周长C关于它的半径r的函数; (3)圆的面积S关于它的半径r的函数. 解:(1)S= x ², x >0; (2)C=2πr,r>0; (3)S=πr ²,r>0. (1)(3)是二次函数，(2)是一次函数 5.已知一个等腰直角三角形的斜边为x ，设它的面积为y，求面积y与斜边x之间的函数表达式. 解:设等腰直角三角形直角边长为a。 y= x ² （ x >0） 由勾股定理: a ² + a ² = x ²,2 a ² = x ², 得a ² =x ² 。 面积y= a ² =· x ² = x ² （ x >0） 课堂小结 二次函数 定 义 y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0. 特殊形式 y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c (a ≠0，a，b，c是常数）. $