4.2.3　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.3　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 旧知回顾 1．填表： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大或最小值 y＝－5x2 y＝x2＋5 向下 向上 y轴 y轴 (0，0) (0，5) 有最大值0 有最小值5 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大或最小值 y＝－3(x＋4)2 y＝4(x＋2)2－7 向下 向上 直线x＝－4 直线x＝－2 (－4，0) (－2，－7) 有最大值0 有最小值－7 2.把抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式为_______________ ． y＝(x－2)2＋1 自学互研 知识模块一　用配方法化二次函数一般式为顶点式 探 究 如何画出 y = -2x² + 6x - 1 的图象呢? 分析：由于已经会画 y = a(x - h)2 + k 的图象了，因此，只需把 -2x² + 6x - 1 通过配方化成 -2(x - h)2 + k 的形式，就可以画出 y = -2x² + 6x - 1 的图象. 配方： y = -2x² + 6x - 1 故对称轴是直线 x= ， 顶点坐标是(, ). = -2(x² - 3x) - 1 = -2[x² - 3x+(-) ²-(-) ²] - 1 = -2(x-) ²+2 - 1 = -2(x-) ²+ 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 开始取值. x 2 3 … y= -2(x-) ²+ 3 -1 - … 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分． y = -2x² + 6x - 1 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的分． 这样就得到了 y = -2x² + 6x - 1 的图象. 配 方 你知道是怎样配方的吗？ “提”：提出二次项系数； “配”：括号内配成完全平方； “化”：化成顶点式. y = -2x² + 6x - 1 y= -2(x-) ²+ 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 . 由于 y = -2x² + 6x - 1 = -2 所以我们也可以先画出二次函数 y = -2x² 的图象，然后将其向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，就可得到二次函数 y = -2 的图象. 二次函数y＝ax2＋bx＋c配成顶点式是什么？顶点坐标是什么？对称轴是什么？ 顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋； 顶点坐标是：（－，）； 对称轴是直线：x＝－. 【例1】二次函数y＝2x2＋4x－1化成y＝a(x－h)2＋k的形式为_______________，由此可知二次函数y＝2x2＋4x－1的对称轴为直线_______，顶点坐标为___________． 【变例】将y＝2x2－12x－12变为y＝a(x－m)2＋n的形式，则mn＝____. y＝2(x＋1)2－3 x＝－1 (－1，－3) －90 知识模块二　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 【探究】我们如何用配方法将一般式 y = ax2 +bx+c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x-h)2 + k ？ y = ax² +bx+c= a（ x²+x ）+c = a[x²+x+() ²- () ²]＋c = a(x+) ²- +c = a(x+) ²+ 一般地，二次函数 y =ax2+bx+c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 +k 的形式，即： y = ax² +bx+c= a(x+) ²+ 抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是： 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 对称轴是：直线x= (, ) 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随x 的增大而减小；当 x ＞ 时，y 随 x 的增大而增 大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 (1) x y O x= (2) x y O 如果 a < 0，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数达到最大值，最大值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 x= y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴　 直线x＝ 直线x＝ 归纳总结 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小 最值　　 当x＝ 时，y有最小值，为 . 当x＝ 时，y有最大值，为 . 【例2】已知抛物线y＝－x2＋2x－3，下列结论中不正确的是 ( ) A．抛物线的最大值是－2 B．x<1时，y随x的增大而减小 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象与y轴的交点在x轴的下方 B 【变例1】在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是 ( ) A．x<1　　　　　 B．x>1　　　　　 C．x<－1　　　　　D．x>－1 A 【变例2】把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为y＝x2＋3x＋5，则 ( ) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝9，c＝25 D．b＝－9，c＝21 C 【变例3】把抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式是y＝x2－3x－5，则a＋b＋c＝____． 1 知识模块三　二次函数y＝ax²＋bx＋c的最值 说一说 观察下图，当 x 等于多少时，函数 y = -2x² + 6x - 1 的值最大？这个最大值是多少？ y = -2x² + 6x - 1 当 x 取顶点的横坐标 时，函数值最大，这个最大值等于顶点的纵坐标 . y = -2x² + 6x - 1 【例3】抛物线y＝－x2＋4x－1的最大值为__． 【变例1】已知抛物线y＝x2－2x－1，该函数有最____值为____． 3 小 －2 【变例2】已知二次函数y＝－x2＋2x＋m＋1(m为常数)，当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为( ) A．9 B．－3 C．1 D．4 D 随堂检测 1. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 A 2. 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　 B．－1 　　　 C．4 　　　 D．4或－1 C 3.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 D 4. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：① a＜0；② a＋b＋c＞0；③ ＞0；④ abc＞0.其中正确的结论是_______． ①②③ 5.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象. (1) y=3 x2 － 6 x +1; (2) y= － x2+ x +1 解：(1)配方 y=3 x2 － 6 x +1; =3 [x2 － 2 x+(-1) 2 －(-1) 2 ] +1 整理得y=3 （ x － 1）2 － 2 所以对称轴是直线x =1,顶点坐标是(1，-2). 因为a=3>0,所以图象开口向上. 列表:自变量x从顶点的横坐标1开始取值 x 1 2 3 … y= 3 （ x － 1）2 － 2 -2 - 1 10 … 描点和连线:画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了函数y=3 x2 － 6 x +1的图象，如图所示 . . . . . . . . . 解：(2)配方 y=－ x2+ x +1 =－ [x2 － 4 x+(-2) 2 －(-2) 2 ] +1 整理得y=－ （ x － 2）2 + 2 所以对称轴是直线x =2,顶点坐标是(2，2). 因为a=－ 0,所以图象开口向下. x 2 4 6 … y=－ （ x － 2）2 + 2 2 1 - -2 … 列表:自变量x从顶点的横坐标2开始取值 描点和连线:画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到函数y=－ x2+ x +1的图象，如图所示。 . . . . . . . . . y=－ x2+ x +1 6.用配方法求下列二次函数的最大值或最小值: (1) y=x2 － 3 x +2; (2) y= － x2-2 x +1 解：(1) y=x2 － 3 x +2 =x2 － 3 x +（ － ）2 － （ － ）2 +2 =（ x － ）2 － 因为a=1 所以图象开口向上，函数有最小值. 所以顶点坐标是（ ，－ ）， 当x= 时，函数的最小值是－ . (2) 配方y= － x2-2 x +1 = － （ x2+6 x+32 -32 ）+1 = － （ x+3 ）2+1 = － （ x+3 ）24 因为a=－ <0,所以图象开又向下，函数有最大值. 所以顶点坐标是(-3,4),当x=-3时，函数的最大值是4. 课堂小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 最值： x y=a（x+）2+ $