4.2.1 二次函数y＝ax²的图象与性质 第1课时　 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1　二次函数y＝ax²的图象与性质 第1课时　二次函数y＝ax² (a>0)的图象与性质 旧知回顾 1．什么是二次函数？ 答：二次函数的定义：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 2．描点法画函数图象一般步骤是什么？ 答：列表、描点、连线． 情景导入 以上图片所展示形状的函数的表达式会是怎样的呢？ 自学互研 知识模块一　二次函数y＝ax² (a>0)的图象 如何在平面直角坐标系中画出二次函数画出 y=x2 的图象? 探究1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：对于二次函数 y = x2 ，其自变量 x 可以取任意实数.因此，让 x 取0 和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表 2.描点:在平面直角坐标系中，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示. -3 3 o 3 6 9 x y A A' B B' 问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ y = x2 的图象关于 y 轴对称，y轴就是它的对称. -3 3 o 3 6 9 x y A A' B B' 问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？ 图象在 y 轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”. 3.连线：再用一条光滑曲线把原点和 y 轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在 y 轴左边的部分（把 y 轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 y = x2 的图象. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y y =x2 函数 y = x2 性除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ x o y=x2 y y＝x2 的图象是一条曲线; 思 考 开口向上; 图象与对称轴的交点为原点(0，0); x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简称“左降”； 当 x=0时，函数值最小，且为0． 归纳总结 一般地，当a>0时，y=a x2的图象都具有上述性质.于是我们画y=a x2(a>0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在y轴左边的部分.在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. 解：列表：因为二次函数y=x2 的图象关于 y 轴对称，因此列表时，自变量可以从原点的横坐标0开始取值. x ··· 0 1 2 3 4 ··· y=x2 ··· ··· 0 8 2 例1 画出二次函数y=x2的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，如图1所示. （1） 利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=x2 的图象，如图所示. x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y=x2 （2） 二次函数y＝ax2(a>0)的图象是怎样的？ 二次函数y＝ax2(a>0)的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点(0，0). 【例1】函数y＝ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是 ( ) A．对称轴　　　 B．顶点坐标　　　 C．开口方向　　　D．开口大小 C 【变例1】如图，函数y＝2x2的图象大致为（ ） C 【变例2】若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点 ( ) A．(2，4)　 B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) A 【变例3】抛物线①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的开口大小的次序应为 ( ) A．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③ C 知识模块二　二次函数y＝ax² (a>0)的性质 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象的性质有哪些？ 二次函数y＝ax2(a>0)的图象的性质： 二次函数y＝ax2(a>0)的图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”； 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”； 当x＝0时，函数值最小，最小值为0. 【例2】已知原点是二次函数y＝(m－3)x2的图象上的最低点，则m的取值范围是 ( ) A．m>3　　　　　　B．m>－3　　　　　 C．m<3　　　　　 D．m<0 A 【变例1】已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1 C．y1<y3<y2 D．y2<y3<y1 D 【变例2】下列函数中，当x>0时，y值随x值的增大而减小的是 ( ) A．y＝x B．y＝2x－1 C．y＝ D．y＝x2 C 【变例3】二次函数y＝ax2与直线y＝2x－3交于点P(b，1). (1)求a，b的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)a＝，b＝2. (2)二次函数的表达式为y＝x2. 当x>0时，y随x的增大而增大． 随堂检测 1.画出二次函数y=2x2的图象，并填空: (1)图象的对称轴是__________,对称轴与图象的交点是_________. (2)图象的开口向_________. x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y=x2 y 轴 (0,0) 上 (3)图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________; 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________. 减小 增大 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y=x2 2 .在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=3 x2及y=x2的图象，并比较它们的共同点与不同点. x O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y 10 12 y=x2 y=x2 共同点: x O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y 10 12 12 y=x2 y=x2 1.开口都向上; 2.对称轴都是y轴(直线x=0); 3.顶点都是原点(0,0); 4.在对称轴左侧y随增大而减小，右侧y随增大而增大。 开口大小不一样:越大，抛物线开口越窄。 x O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y 10 12 y=x2 y=x2 不同点: y= 3 x2开口更窄，y=x2开口更宽。 课堂小结 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 $