4.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 第1课时　 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 第1课时　二次函数y＝a(x－h) ²的图象与性质 旧知回顾 1．二次函数y＝ax2的图象是怎样的？ 二次函数y＝ax2图象关于y轴对称，是一条抛物线，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线的顶点． 2．填写下表： 　 函数　性质 开口 方向 顶点 对称轴 最大、最小值 当x>0时 y＝ax2(a>0) 上 (0，0) y轴 小 y随x增大而增大 　 函数　性质 开口 方向 顶点 对称轴 最大、最小值 当x>0时 y＝ax2(a<0) 下 (0，0) y轴 大 y随x增大而减小 自学互研 知识模块　二次函数y＝a(x－h)²的图象与性质 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' l' l 问题1 把二次函数y=x2 的图象 E 向右平移 1个单位长度，得到图形 F， 图形 F 有什么特点？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' E F l' l 由于平移不改变图形的形状和大小，所以它仍是一条开口向上的抛物线. 对称轴为直线l' 顶点为O'(1，0) 问题2 抛物线F是哪个函数的图象呢？ 在抛物线y=x2上任取一点P(d，2) ，它在向右平移 1 个单位长度后，点P 平移后的点 Q 的坐标是什么？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' E F l' l 把点 P 的横坐标d加上 1，纵坐标 2 不变，即点 Q 的坐标为(d+1，2) 记 s = d+1，则 d = s-1. 从而点 Q 的坐标为(s, 2) ， 由此得出，抛物线 F 是函数 y=2 的图象. 这表明：点 Q 在函数y=2 的图象上. 问题3 函数 y=2 有哪些性质呢？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' F l' 函数图象是一条开口向上的抛物线； 顶点是 O'（1，0）. 在 x = 1处，y 有最小值，且为 0. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' F l' 对称轴是过点 O' (1,0) 且与 y 轴平行的直线 l'. (直线 l' 是由横坐标为 1 的所有点组成的，我们把直线 l' 记作直线 x = 1). 在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大. y=2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，顶点是O'(1，0)，对称轴是过点O' (1，0)且平行于y轴的直线l'.直线l'是由横坐标为l'的所有点组成的，我们把直线l'记作直线x=1. 结 论 二次函数y=a2的图象是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是(h，0). 当a>0时，抛物线的开口向上; 当a0时，抛物线的开口向下。 二次函数 y = a(x-h)2的性质 y = a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 归纳总结 y = a(x-h)2 a＞0 a＜0 最值 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 例 画函数 y ＝(x－2)2 的图象． 解 抛物线 y = (x－2)2 的对称轴是 x = 2， 顶点坐标是 (2，0). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 2 开始取值. x 2 3 4 5 … y=(x－2)2 0 1 4 9 … 描点和连线： y ＝( x－2 )2 画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 这样就得到了y＝(x－2)2的图象. 二次函数y＝a(x－h)2图象是怎样的？它与y＝ax2有何关系？ 二次函数y＝a(x－h)2的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为直线x＝h，顶点坐标为(h，0)； 想一想 二次函数y＝a(x－h)2的图象可由抛物线y＝ax2平移得到．当h>0时，抛物线y＝ax2向右平移h个单位长度得y＝a(x－h)2；当h<0时，抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位长度得y＝a(x－h)2. 【例1】抛物线y＝(x－1)2的开口向____，对称轴是_________，顶点坐标是_______，它向____平移____个单位长度可得到抛物线y＝x2. 上 直线x＝1 (1，0) 左 1 【变例1】对于函数y＝－(x＋1)2，当x______时，函数值y随x的增大而减小．当x_____，函数取得最___值，最____值为___． >－1 ＝－1 大 大 0 【变例2】对于抛物线y＝(x＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x>－4时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【变例3】抛物线y＝－3(x－1)2的开口向___，对称轴是直线______，顶点坐标是________． 下 x＝1 (1，0) 【例2】某一抛物线和y＝－3x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的函数表达式是 _______________． y＝－3(x＋1)2 【变例1】已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为____________． 【变例2】若函数y＝a(x＋m)2的图象是由函数y＝5x2的图象向左平移2(3)个单位长度得到的，则a＝____，m＝____． y3<y1<y2 5 【变例3】一座大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB＝50 m，拱高(即顶点C到AB的距离)为20 m，建立如图所示的平面直角坐标系，顶点C在x轴上，点A在y轴上，且AB∥x轴，求桥拱所在抛物线的函数表达式． 解：由题意，得顶点C(25，0)， ∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－25)2. 又∵(0，－20)在抛物线上， ∴625a＝－20， ∴a＝－. ∴所求抛物线的函数表达式为y＝－(x－25)2.(0≤x≤50) 随堂检测 1. 对于二次函数 y ＝ 9(x－1)2，下列结论正确的是 (　 ) 　A．y 随 x 的增大而增大 　B．当 x＞0时，y 随 x 的增大而增大 　C．当 x＝ －1时，y 有最小值 0 　D．当 x＞1时，y 随 x 的增大而增大 D 2. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. y= -(x+3)2 或 y= -(x-3)2 3 . 若（- ，y1）（ - ，y2）（ ，y3）为二次函数 y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________. y1 ＞y2 ＞ y3 4.写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (1)y=(x-5)2 (2)y=-3(x+2) 2. 解:(1)对称轴是直线x=5,顶点坐标是(5,0),开口向上. (2)对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0),开口向下. 5. 分别画出二次函数y=-(x-1) 2，y=的图象. 解:(1)二次函数y=-(x-1) 2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,0). x 1 2 3 4 … y=-(x－1)2 0 -1 -4 -9 … 列表:自变量x从顶点的横坐标1开始取值. 描点和连线， 画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了二次函数y=-(x-1) 2的图象， . . . . . . . y=-(x-1) 2 （2）抛物线y=的对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1，0). x … -1 0 1 2 … y=(x+1)2 … 0 2 … （列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值. x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分； 画出左边的部分； 即得图象. y= 课堂小结 二次函数 y = a(x - h)2 的图象及性质 图象性质 对称轴是 x = h； 顶点坐标是 (h，0)； a 的符号决定开口及增减性. 左右平移 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. $