第3章 一元二次方程 小结与复习 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 第3章小结与复习 情景导入 【本章知识结构】 一元二次方程 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的应用 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程的定义：如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程． 【基础知识梳理】 一元二次方程的定义及一般形式 一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0) ． 解一元二次方程的基本思路是降次 (即转化为解两个一元一次方程)．一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法． 一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式是x＝， (b2－4ac≥0)，其中b2－4ac叫作一元二次方程根的判别式． 当b2－4ac>0时，它有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，它有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，它没有实数根． 若设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)的两实根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. (1)解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答． 一元二次方程的应用 (2)平均增长(降低)率问题的常用公式：a(1±x)n＝b. 自学互研 知识模块一　一元二次方程的定义及一般形式 【例1】(1)若关于x的方程(m＋1)xm2－2m－1＋7x－m＝0是一元二次方程，则m＝____． 3 (2)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( ) A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．1或2　　　　　　　D．0 B 知识模块二　一元二次方程的解法 【例2】选择恰当的方法解下列方程： (1)(2y－3)2＝5； 解：根据平方根的意义，得2y－3＝或2y－3＝－ . 因此，原方程的根为y1＝，y2＝. (2)(x＋3)2＝2x＋6； 解：原方程可化为(x＋3)2－2(x＋3)＝0. 把方程左边的多项式因式分解，得(x＋3)(x＋3－2)＝0， 因此得x＋3＝0或x＋3－2＝0. 解得x1＝－3，x2＝－1. (3)2x2－3(x－1)2＝1； 解：原方程可化为x2－6x＝－4， 配方，得x2－6x＋32－32＝－4， 因此(x－3)2＝5. 由此得x－3＝ ，或x－3＝－ ， 解得x1＝3＋ ，x2＝3－ . (4)x2－5x－14＝0. 解：这里a＝1，b＝－5，c＝－14. 因而b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－14)＝81＞0， ∴x＝＝. 因此，原方程的根为x1＝7，x2＝－2. 点 拨 解一元二次方程时，首先看能否用平方根的意义或因式分解法，不能用以上方法的可考虑配方法，最后考虑公式法． 知识模块三　一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 【例3】已知m为常数，则关于x的一元二次方程2x2－mx－5＝0的根的情况是 ( ) A．有两个相等的实数根　　　　　　　　　B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 B 【例4】已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，求m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)≥0， 解得m≥. (2)由题意可得：x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5， ∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6， ∴－2m＋5＋4＝m2＋6， ∴m2＋2m－3＝0， 解得m＝1或m＝－3， 由(1)可得m≥， ∴m＝1. 知识模块四　一元二次方程的应用 【例5】某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若每个台灯的利润率不得高于100%，且销售这种台灯每月要获利10 000元，则每个台灯的售价应定为多少元？ 解：设每个台灯的售价上涨x元． 根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)＝10 000. 整理，得x2－50x＋400＝0. 解得x1＝10，x2＝40. ∵每个台灯的利润率不得高于100%， ∴≤100%， 解得x≤20. ∴x＝10. 答：每个台灯的售价应定为50元． ∴40＋x＝40＋10＝50. $