3.5 一元二次方程的应用 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.5　一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题与动点问题 旧知回顾 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，AD＝3 cm.若将矩形ABCD沿AB方向平移2 cm，得到矩形A′B′C′D′，则四边形A′BCD′的面积为____cm2. 1．平移前后图形的形状，大小_____(填“变”或“不变”). 不变 9 3．长方形的面积＝____________ ； 三角形的面积＝____________； 正方形的面积＝____________． 长×宽 边长的平方 自学互研 知识模块一　图形面积问题 在一长为,宽为的矩形铁皮的四角剪去四个全等的小正方形后,折成一个无盖的长方体形盒子.如图所示.若已知长方体形盒子的底面积为,则剪去 的四个小正方形的边长. 思 考 图① 将铁板剪去四个小正方形后,可以得到图.这个长方体形盒子的底面就是图中心位置的大矩形,因此本问题涉及的等量关系是:盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽. 图② 解:设剪去的小正方形的边长为,则无盖长方体形盒子的底面长为,宽为. 根据等量关系,可以列出方程 . 整理,得. 解得. 如果剪去的小正方形的边长为,那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为,这超过了矩形纸板的长(). 于是不合题意,应当舍去. 因此,剪去的小正方形的边长为. 方法总结: 设裁剪小正方形边长为,折盒底面长,宽均用原长/宽表示; 依据矩形面积公式列一元二次方程; 解后验根:且原矩形短边,超出范围的解直接舍去. 例3:如图,一长为,宽为的矩形地面上修建有同样宽的道路,如图1所示,余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为,求道路的宽. 图1 图2 分析:虽然“整个矩形的面积道路所占面积=绿化面积”,但道路不是规则图形,因此不便于计算.通过平移道路可得到图,此时绿化部分是一个新矩形,再由本问题涉及的等量关系: “矩形的面积=矩形的长×矩形的宽”,就可建立一个一元二次方程. 图2 解:设道路宽为,则新矩形的长为,宽为. 矩形地面的长为,宽为,因为,道路的宽不能大于地面的宽,所以不符合题意. 根据等量关系得. 整理,得. 解得(不合题意,舍去). 答:道路宽为. 方法总结: 平移道路,将分散绿化区域拼接成完整新矩形,简化面积计算; 道路宽为,拼接后矩形长,宽分别为原长,原宽; 利用绿化面积列方程,根需满足场地短边,舍去大于场地长宽的解; 通用思路:不规则图形优先平移,割补转化为规则图形再建模. 【例1】要把一块长BC为30 m，宽AB为20 m的矩形ABCD空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路(如图)，且小路的总面积为96 m2，剩余的部分种植花草．设小路宽度为x m. (1)用含x的代数式表示小路的总面积为____m2； (2)求小路的宽． 解：(1)(－x2＋50x) (2)由题意，得－x2＋50x＝96. 整理，得x2－50x＋96＝0. 解得x1＝2，x2＝48. 经检验，x2＝48不符合题意，舍去． ∴x＝2. 答：小路的宽为2 m． 归纳总结 列一元二次方程解应用题的关键是找出题中相等关系，在面积或体积问题中，通常找面积公式或体积公式得到相等关系．对求出的两个解一定要进行对实际问题的题意检验，讨论是否符合题意． 【变例】如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修同样宽的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地．现要使草地的面积为540 m2，求水泥路的宽应为多少米？ 解：设水泥路的宽为x m. 依题意，得(32－x)(20－x)＝540. 整理，得x2－52x＋100＝0. 解得x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去). 答：水泥路的宽应为2 m． 知识模块二　动点问题 例 在中,.点沿边从点向终点以的速度移动;同时点沿边从点向终点以的速度移动,且当其中一点到达终点 时,另一点也随之停止移动,如图所 示.问点出发几秒后,的 面积为? 解:设点出发xs后可使的面积为. 根据题意得. 则由可得. 整理,得. 解得. 答:点同时出发后可使的面积为. 方法总结: 设运动时间为,结合速度表示动点分割后的直角边长度; 依托直角三角形面积公式建立方程; 检验双重限制:线段长度,运动时间不超过任意动点到达终点的临界值; 解题流程:标动点→表线段→列面积方程→解方程→双重验根. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度运动．如果P，Q 分别从A，B同时出发，经过几秒， △PBQ的面积为5 cm2? 解：设经过t s，△PBQ的面积为5 cm2. 由题意，得×t（6 t）＝5. 整理，得t2－12t＋20＝0. 解得t1＝2，t2＝10. 当t＝10 s时，BQ＝10 cm>BC，不符合题意，应舍去． ∴t＝2 s. 答：经过2 s时，△PBQ的面积为5 cm2. 随堂检测 1.某小区计划在一块长,宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图),剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为.设道路的宽为,则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. C 2.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为平方步,宽比长少步,问宽和长各多少步?设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为___________________. 解:花带的宽度为,则硬化的部分长为,宽为, 3.如图,某中学有一块长,宽的矩形空地,计划在这块空地面积的一半区域种花,其余部分硬化.小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域种花,求花带的宽度x的值. 依题意得, 整理得, 解得. 当时,,符合题意; 当时,,不符合题意,舍去. 的值为. 4.在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化(如图所示).若 要使绿化面积为7644m²，则道路的宽应为多少米? 解:设道路的宽为xm。 将道路向边缘平移，绿化部分拼成新矩形， 长(100 x)m，宽(80 x)m。 (100 x)(80 x)=7644 整理x ² 180 x +356=0 解得：x 1=2, x 2=178 (178>80,不符合实际,舍去) 答:道路的宽应为2米。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿边AC，BC向终点C移动，如图所示，若它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到 达终点时，另一点也随之停止移动， 问点P，Q出发几秒后， △ PCQ 的面积为Rt △ ABC面积的一半? 解：Rt △ ABC面积:S △ ABC=×8 × 6=24cm² × 24=12cm² 一半面积: × 24=12 cm² 设出发t秒后， △ PCQ面积是它的一半。 AP=t,BQ=t，PC=(8-t)cm,CQ=(6-t)cm,0<t≤6 （8-t）（6-t）=12 整理得t²-14t+24=0 t1=2，t2=12（12>6，超出运动时间，舍去） 答:出发2秒后， △ PCQ的面积为Rt △ ABC面积的一半。 课堂小结 几何图形问题与一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 动点面积问题 知识点: 基础建模流程:解决几何面积应用题完整六步法,明确几何图形边长,运动时间必须为正数是验根核心依据; 矩形裁剪模型:四角剪正方形折无盖盒,底面边长含2x的代数式表达,掌握取值范围判断; 平移转化技巧:曲折等宽道路通过平移拼接成标准矩形,简化不规则图形面积等量关系; 动点几何模型:根据运动速度,时间表示动态线段,结合直角三角形面积公式列方程,兼顾动点停止临界条件; 数学思想:数形结合(图形转代数式),转化化归(不规则转规则); 核心素养落地:提升几何直观(识图标线段),数学建模(图形转方程),逻辑推理(根的取舍说理),数学运算能力; 通用规律:一元二次方程双解不一定符合几何现实,所有解必须结合图形尺寸,运动范围双重检验; 知识衔接:承接第1课时代数类应用,实现从数字百分率到几何图形建模的迁移,为函数几何综合题铺垫. $