3.5 一元二次方程的应用 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.5　一元二次方程的应用 第1课时　平均变化率问题与利润问题 旧知回顾 1．一元一次方程的应用的一般步骤是什么？ 答：一元一次方程的应用一般步骤是： 审题、设未知数、找等量关系、根据等量关系列方程、解方程、检验、作答． 其中最关键的就是要根据题意找出等量关系． 2．某品牌手机每部进价a元，售价b元，利润为______元；若降价x元后则每部利润为__________元． 3．商场销售某品牌服装，每天售出m件．调查发现，该服装每涨价1元，商场平均每天可少销售10件，若涨价x元，则每天可销售__________件． (b－a) (b－a－x) (m－10x) 自学互研 知识模块一　平均增长(降低)率问题 某省农作物秸秆资源巨大,但合理利用量十分有限.为推进资源节约集约利用,该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理利用率.若今年的利用率为,计划后年的利用率达到,求这 两年秸秆利用率的年平均增长率 (假定该省每年产生的秸秆总量不变). 思 考 分析:由于今年到后年间隔两年,所以上述问题涉及以下等量关系: 今年的利用率×(1+年平均增长率)=明年的利用率. 明年的利用率×(1+年平均增长率)=后年的利用率. 解:设这两年秸秆利用率的年平均增长率为,则根据等量关系, 可列出方程:. 解得(不合题意,舍去). 因此,这两年秸秆利用率的年平均增长率为. 整理,得. 为什么要舍去? 增长率不能为负数, 代表利用率逐年下降,与题意逐年提升的背景矛盾,不符合实际意义,故舍去. 增长率问题: 方法总结： 设初始量,平均增长率,经过期后总量, 通用公式：; 解得根需结合实际舍去负数、超1的不合理解。 分析:问题中涉及的等量关系是: 例1:为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由元降为元.求平均每次降价的百分率. 原价平均每次降价的百分率=现行售价. 解:设平均每次降价的百分率为, 降价百分率不能超过,代表降价,售价会出现负数,不符合商品销售实际,因此舍去。 则根据等量关系得. 整理,得. 解得=1.9(舍去). 答:平均每次降价的百分率为. 方法总结: 降低率问题: 设初始量,平均降低率,经过期后总量, 01 02 通用公式:; 03 降低率取值范围,超出则舍去。 【例1】某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同，求该厂每周的平均增长率． 解：设该厂每周的平均增长率为x. 根据题意，得500(1＋x)2＝605. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去). 答：该厂每周的平均增长率为10%. 【例2】为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，求该文创产品平均每次降价的百分率． 【解：设该文创产品平均每次降价的百分率为x. 由题意，得100(1－x)2＝81. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去). 答：该文创产品平均每次降价的百分率为10%. 解决有关增长(下降)率的问题都可以运用公式a(1±x)n＝b，其中a为增长(下降)的基础数量，x为增长(下降)率，b为降价后的量，n为次数． 归纳总结 知识模块二　销售利润问题 例2:某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为元,则可卖出件,但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的.若该商店计划从这批商品中获取元利润(不计其他成本),问需要卖出多少件商品,此时的售价是多少？ 分析:本问题中涉及的等量关系是:(售价-进价)×销售量=利润. 解:根据等量关系得. 整理,得. 解得. 又因为, 即售价不能超过元,所以不合题意,应当舍去. 故,从而卖出(件). 答:该商店需要卖出件商品,且每件商品的售价是元. 方法总结: 利润问题等量关系: ①利润=售价-进价; ②利润率=×100%=×100%; ③售价=进价×(1+利润率); ④总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 利用流程图表示运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 做一做 实际问题 分析数量关系 设未知数 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 实际问题的解 是否符合实际 一元二次方程的根 【例】某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件80元销售，平均每天可售出20件．为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1 200元，衬衫的单价应降多少元？衬衫的销售单价应定为多少元？ 分析：本题的主要等量关系：单件利润×销售量＝总利润． 解：若设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的销售定价为____________元．   每件的销售利润/元 每天的销售量/件 总销售利润/元 降价前 降价后 (80－x) 40 40－x 20 20＋2x 800 (40－x)(20＋2x) 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200. 整理，得x2－30x＋200＝0. 解得x1＝10，x2＝20. 由于要减少库存，即销售量要越多，所以需降价越多． 因此x＝20，此时衬衫的销售单价为每件80－20＝60(元). 答：衬衫的单价应降20元，衬衫的销售单价应定为60元． 随堂检测 1.某商品原价元,连续两次降价后售价为元,下列所列方程正确的是( ) A. B. C. D. B 2.某校截止到年底,校园绿化面积为平方米.为美化环境,该校计划年底绿化面积达到平方米.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为　　　　　　　　　　. 3.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问藏书的年平均增长率是多少? 解：设藏书的年平均增长率为x。 . 答:藏书的年平均增长率为20%。 4. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可获利44元.若每件降价1元，则每天可多售出5件。若要平均每天获利1600元，则应降价多少元? 解:设应降价元，每件利润:(44 )元，销售量:(20+5)件。 (44 ) (20+5)=1600 +144=0 解得1=4， 2=36。 答:应降价4元或36元。 5.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具,某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计,该品牌新能源汽车月份销售辆,月份销售辆. (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率; (2)若该品牌新能源汽车的进价为万元/辆,售价为万元/辆,则该经销商至月份共盈利多少万元? 解:(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x, 根据题意,得, 所以, 解得(不符合题意,舍去). 答:该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为. 解:(2)2月份销售该品牌新能源汽车(辆), (万元). 答:该经销商至月份共盈利万元. 课堂小结 一元二次方程 的应用 增长率问题 a(1+x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率问题 a(1-x)2 = b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换 经济利润问题 知识点: 1.一元二次方程解实际问题六步流程,检验并舍去无实际意义的根是核心规范； 2.平均增长率、平均降低率两类百分率问题的通用模型与取值限制； 3.商品利润问题核心数量关系式,能结合物价、库存等限制筛选有效解； 4.数学建模思想：从现实文字情境提炼等量关系,转化一元二次方程求解； 5.区分增长、下降模型,掌握同类题型知识迁移方法； 6.发展数学运算、数学建模、逻辑推理三大核心素养,建立学以致用意识。 $