3.2.1　配方法 第3课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.2　一元二次方程的解法 3.2.1　配方法 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 旧知回顾 1．根据完全平方公式填空： (1)x2＋6x＋9＝(_______)2； (2)x2－8x＋16＝(________)2； (3)x2＋10x＋(____)2＝(____)2； (4)x2－3x＋（____） 2 ＝ （____） 2. x － x＋3 x－4 5 x＋5 2．解一元二次方程：x2－4x＋3＝0. 解：配方，得x2－4x＋22－22＋3＝0， 因此(x－2)2＝1. 由此得x－2＝1或x－2＝－1， 解得x1＝3，x2＝1. 利用等式的性质,等式两边同时除, 3.方程二次项系数不是1，能否转化为我们会解的形式？ 可以将方程化为:, 进而用配方法解即可. 自学互研 知识模块一　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 分析:由于方程的二次项系数不为1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以，将二次项系数化为，再用配方法解二次项系数为的一元二次方程。 如何用配方法解方程呢? 思 考 解:将二次项系数化为,得：, 配方,得, 因此 由此得或 解得 用配方法解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤： 方法总结： 二次项系数化为：左右俩边同时除以二次项系数; 移项：将常数项移至右边,含未知数的项移至左边; 配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方; 用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方. 例 用配方法解下列方程： 解：将二次项系数化为,得：, 配方,得, 因此. 由此得或, 解得. 如何用配方法解方程? 解：将二次项系数化为,得：, 配方,得, 因此 因为在实数范围内,任何实数的平方都是非负数, 因此,不成立,即原方程无实数根. 二次项系数为负时,先化1并注意各项符号改变。 方法总结： 配方后右边为负数,则方程在实数范围内无实数根。 解题需先判断右边非负再开方,养成规范推理习惯。 解方程：2x2－4x－1＝0. 解：将二次项系数化为1，得____________ ． 配方，得_______________________， 因此(x－____)2＝. 由此得x－1＝或x－1＝－， 做一做 x2－2x－＝0 x2－2x＋12－12－＝0 1 解得x1＝，x2＝. 用配方法解“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)”的步骤： 归纳总结 当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质将方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解． 例1】用配方法解方程： 解:将二次项系数化为1，得 y2 2y 63=0. 因此(y 1) 2 =64. (1)2y 2 -4y-126=0; 配方,得y2 y+12 12 63=0, 因此得y 1=8或y 1= 8， 解得y1=9,y2= 7. 解:将二次项系数化为1，得 x2 3x =0. 配方，得x2 =0, (2)3x （x+3）=; 因此 =3, 因此 =, 解得1=, 2= . 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： 点 拨 把方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 形式． 把二次项系数化为1． 配方，得到(x＋m)2－n＝0的形式． 再利用平方根的意义求解． 知识模块二　利用配方法求代数式的最值 【例2】用配方法求代数式－2x2＋4x＋3的最大值． 解：原式＝－2(x2－2x＋1－1)＋3＝－2(x－1)2＋5. ∵(x－1)2≥0. ∴－2(x－1)2≤0. ∴－2(x－1)2＋5≤5. ∴代数式－2x2＋4x＋3最大值为5. 点 拨 将代数式配方时应注意： ①由于是代数式，配方时只能提二次项系数，而不能除以二次项系数； ②只需提二次项和一次项的系数，保留常数项； ③注意变形须是恒等变形． 【变例】求证：不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程． 证明：k2－6k＋12＝(k－3)2＋3， ∵(k－3)2≥0， ∴(k－3)2＋3≥3. ∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程． 随堂检测 1.用配方法解方程时,方程的两边都应加上( ) A.3 B.1 C.2 D.5 B 2.用配方法解方程：,则配方结果正确的是( ) A. B. C. D. A 3.把一元二次方程化成的形式是____________. 4.代数式的最小值为____. 3 -1 5.用配方法解下列方程: (1)2x2=3x 1; (2)3 x2 +2 x 3=0; (3)4 x2 x 9=0; (4)- x2 +4 x 12=0. 解：（1）2x2 x = 1 2x2 x = 2x2 x +（）²= + （）² x1＝，x2＝ 解：（2）3x2 x = x2 x = x2 x +（）2= （x）2= x= x1＝，x2＝ 解：（3）4x2 x = x1＝，x2＝ x2 x = x2 x+（）2 = （ x ）2 = x = 解：（4） x2 x 12= 两边×（ 1） x2x12= x2x= 12 （ x -2）2= 8 ∵平方不能为负数，此方程无实数根。 6.解方程： 解:二次项系数化为1得:, 移项得: 配方得: 即, , 解得 7.已知:是不等式的最小整数解,请用配方法解关于x的方程 解:解不等式,得, ∴不等式的最小整数解为, 将代入方程,得, 配方,得 直接开平方,得 解得 课堂小结 配方法 定义 步骤 一移常数项且二次项系数化为 1； 二配方[配上 ]； 三写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四开平方解方程 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 （）² （）² 知识点： 1.二次项系数不为 1 时,先化 1 再配方。 2.配方法完整五步：化系数为 1、移项、配方、开平方、求解。 3.负系数方程需注意符号变化,避免出错。 4.配方后右边为负数,方程无实数根。 5.配方依据：完全平方公式与等式性质。 6.核心思想：化归思想、降次思想、恒等变形思想。 $