3.2.1　配方法 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.2　一元二次方程的解法 3．2.1　配方法 第2课时　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 旧知回顾 解一元二次方程： (1)4x²=9. 解:原方程可化为x²= 根据平方根的意义，得x1＝，x2＝－ (2)(1x) ² 5=0. 解:移项,得(1 x) ² =5, 根据平方根的意义，得1 x=， x1 =1+, x2 =1 . 自学互研 知识模块一　配方的意义 在下列各题中填上适当的数，使等式成立. (1) x² + 6x + = (x + )2. (2) x² + 6x + 5 = x² + 6x + - + 5 = (x + )2- __. 9 3 9 9 3 4 做一做 (3) x² - 6x + = (x - ____)². (4) x² - 6x + 1 = x² - 6x + - + 1 = (x - )2 - ___. 9 9 3 8 9 3 分析：受完全平方公式 (a±b)2 = a2±2ab + b2 的启发，如果把 (x±b)2 = x2±2bx + b2从右到左地使用 如何解方程? 前面已经知道，如果能把这个方程写成的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解. 因此，需要在方程的左边进行配方，即加上；再减去. 探 究 于是，原方程可写成: ， 由此得. 即. 根据平方根的意义，得或, 解得. 一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方． 归纳总结 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 核心依据:完全平方公式的逆用，构造完全平方式。 配方操作:方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 配方法定义:通过配方将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解。 关键原则:等式两边同加同减，保证恒等变形。 方法总结： (1)a2±2ab＋b2＝__________ ． (2)x2－4x＋2＝x2－4x＋____－____＋2 ＝(x－____)2－____． (3)x2＋2x－7＝____________＝___________． 练 习 (a±b)2 22 22 2 2 x2＋2x＋1－8 (x＋1)2－8 当二次项系数为1时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个加上的数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方． 归纳总结 【例1】用适当的数填空： (1)x2－8x＋(____)2＝(x－____)2； (2)x2＋10x＋(____)2＝(x＋____)2. 4 4 5 5 知识模块二　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例2:用配方法解下列方程: (1); (2). 解：（1）配方，得, 因此. 由此得或. 解得. （2）配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 方法总结： 标准步骤:移项→配方→开方→求解。 1 思想方法:降次思想、化归思想，将二次方程转化为一元一次方程。 3 易错提醒:开方必须写±，不漏负根；配方时左右两边同时加常数。 2 解方程：x2－6x＋2＝0. 解：配方，得x2－6x＋(____)2－(____)2＋2＝0， 因此(_______)2＝____． 由此得____________或____________， 解得x1＝_________，x2＝__________．　　 练 习 3 3 x－3 7 x－3＝ x－3＝－ 3＋ 3－ 用配方法解“x2＋bx＋c＝0”的步骤： 将方程右边化为0，左边配方后就可以用平方根的意义解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法． 【例3】用配方法解下列方程： （1） x2＋2x＝7； 解：配方，得, 因此. 由此得或 解得. 解：配方，得, 因此. 由此得 解得. （2） x2 5x+＝0. 用配方法解一元二次方程(二次项系数为1时)的一般步骤： 点 拨 左边配方(先加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数). 把方程变为形如(x＋m)2－n＝0，再求解(其中n≥0). 再根据平方根的意义求解． 【例4】用配方法求代数式y2＋6y＋4的最小值． ∴(y＋3)2－5≥－5. ∴代数式y2＋6y＋4的最小值为－5. 解：原式＝y2＋6y＋32－32＋4＝(y＋3)2－5. ∵(y＋3)2≥0， 【变例】已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，求yx的值． 解：∵x2＋y2＋4x－6y＋13＝0， ∴x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝0. ∴(x＋2)2＋(y－3)2＝0. ∴x＋2＝0，y－3＝0. 解得x＝－2，y＝3. ∴yx＝3-2＝. 随堂检测 1.填空： （1） x2 +4x+1= x2 +4x +_____+1=(x +__）2 ___; （2）x2 8x 9= x2 8x +___ 9=(x +__）2___; （3）x2 3x 4= x2 x +___ 4=(x +__）2___; 4 4 2 3 16 16 4 25 2 用配方法解下列方程: (1) x2 +4x +3=0; (2) x2 +8x 9=0; (3) x2 +8x =2; (4) x2 5x =6. 解：(1) x2 +4x = 3 x2 +4x+4 = 3+4 （ x +2）2= x +2= (2) x2 +8x = x2 +8x+16 = （ x +4）2= x +4= (3) x2 +8x +16= （ x +4）2= x +4= (4) x2 -5x + = （ x ）2= x = 3.用配方法解方程,变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. D 4.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的( ) A B C D B 5.若与互为相反数,则的值为( ) A.3 B.4 C.6 D.9 6.已知方程可以配方成,则 A 解:(1)移项，得, 7.用配方法解方程. (1) (2) 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 解:(2)移项，得, 配方，得, 因此. 由此得或. 解得. 课堂小结 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 用直接开平方法求出它的解 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为 的形式=n（n0） 移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项 知识点： 1.配方法:通过构造完全平方式解一元二次方程的方法。 2.配方操作:等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 3.解方程四步骤:移项、配方、开平方、解一元一次方程。 4.核心思想:降次、化归，将二次方程转化为一次方程。 5.易错点:配方要两边同加；开平方必须写出正负两个根。 6.适用类型:二次项系数为1的一元二次方程。 $