3.2.1　配方法 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第3章 一元二次方程 3.2　一元二次方程的解法 3．2.1　配方法 第1课时　用直接开平方法解一元二次方程 旧知回顾 1.若,则叫做的什么？ 平方根 2.平方根有几个？它们的关系是什么？ 正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0。 如果有x2＝a，那么x是a的_______，也可以表示为x＝±，一个正数有____个平方根，0的平方根是____，负数____平方根． 如：由方程x2＝9可知，x是____的平方根，因此直接开平方，得x＝或x＝－，即x1＝____，x2＝____． 平方根 2 0 没有 9 3 －3 自学互研 知识模块一　用平方根的意义解形如x²＝a (a≥0)的方程 解:移项,得. 将本章3.1节“思考”栏目列出的方程整理得,如何求解此方程呢？ 思 考 这表明是的平方根,根据平方根的意义, 得或, 即. 使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 归纳总结 一元二次方程的根的定义 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 和就是方程的根. 解一元二次方程,实质上是求用哪个数代 入,能够使得方程左边的值与右边的值相等. 把一元二次方程的所有根都求出来,叫作解一元二次方程. 方法总结： 求解依据：平方根的意义,即若,则。 1 2 核心思想：降次,将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 3 关键结论：使方程左右两边相等的未知数的值,就是一元二次方程的根。 例1：解方程：. 解原方程经过移项,左右两边同除以,得. 根据平方根的意义,得或, 因此,原方程的根为. 据平方根的意义解下列方程： 做一做 （1）. 解：移项，得=______. 据平方根的意义，得x=. ∴x1=____， x2=____。 49 7 -7 （2）4. 解：移项，得_________. 两边同时除以4，得_________. 根据平方根的意义，得__________. ∴x1=____， x2=____。 4 用平方根的意义解一元二次方程的一般步骤是： 归纳总结 先通过移项，用等式的性质等将方程化为形如x2＝a(a≥0)的形式． 再利用平方根的意义求得方程的解为x＝±. 思考：如方程x2＝a(a≥0)中的a<0，方程的解又如何？ 方程无解 【例1】解下列方程： (1)4x2－1＝0；　　　　 解:原方程可化为x2 ＝ 根据平方根的意义，得x ＝ ±， ∴x1=， x2=-. (2) x2－27＝0.　　　　 解:原方程可化为x2 =81. 根据平方根的意义，得=± ∴x1=， x2=-. 用平方根的意义解形如(mx＋n)2＝a(a≥0)的方程 如何解方程? 解:根据平方根的意义得 或, 即或. 解得. 例2:解方程：. 解：根据平方根的意义, 得或, 即. 解方程 . 解：把方程写成, 根据平方根的意义,得或, 即, 因此,原方程的根为,. 做一做 方法总结： 适用类型：形如或 的方程。 解题步骤：移项→系数化为 1→直接开平方→解一元一次方程。 易错提醒：开方必须写±,右边常数时方程无实数根。 整体思想：把含未知数的式子看作一个整体再开方。 方程(x＋1)2＝3能根据平方根的意义求解吗？ 分析：若把(x＋1)看成整体，再根据平方根的意义，得x＋1＝____或x＋1＝______，解得x1＝ __________，x2＝__________． 做一做 － －1＋ －1－ 若(mx＋n)2＝a(a≥0)，则开平方，得mx＋n＝± ；若a<0，则此一元二次方程无解． 归 纳 【例2】解下列方程： (1)(x＋1)2－25＝0；　　　　　　　　 解：原方程可化为(x＋1)2＝25. 根据平方根的意义，得x＋1＝±5. ∴x1＝4，x2＝－6. (2)9(x＋1)2－25＝0. 解：原方程经过移项、左右两边同除以9， 得(x＋1)2＝. 根据平方根的意义，得x＋1＝±. ∴x1＝，x2＝－. 根据平方根的意义解方程的一般步骤和基本思路： 点 拨 先将方程通过恒等变形化为(mx＋n)2＝a(a≥0)的形式，再由平方根的意义求解． 基本思路是通过“降次”，将一元二次方程化为两个一元一次方程． 【变例】下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正． 不对 （）²－5=0. 解：（）²－5=0. =， =-1， y= 3-1 ， . ， 随堂检测 1.下列是方程的解的是(　　) A.x=-1　　　　B.x=1 C.x=-2　　　　D.x=2 A 2.若a是的一个根,则的值是(　　) A.2020　　　　B.2021　　　　 C.2022　　　　D.2023 3.若一元二次方程的一个根与一次项系数的和为1,则　　　. D -2 4. 解下列方程: （1）9-49=0； （2）18-=0； （3）（ +3） -36=0 （4）9（1-2x） -16=0. 解： （ 1）9-49=0 9=49 = x= x1＝，x2＝－. （2）18-=0； =18 == x1＝，x2＝－ （3）（ +3） -36=0 （4）9（1-2x） -16=0. （ +3） =36 +3=6 +3=6或+3=6 x1＝，x2＝－ 9（1-2x） =16 （1-2x） = 1-2x= 1-2x= 1-2x=－ x1＝，x2＝ 5.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0有一个根为 0，求 m 的值. 解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. 综上所述：m = 2. 6.(古代数学问题) 直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今特问高明，此法如何算. ——程大位《算法统宗》 意思是:有一块面积为七亩半的矩形田，忘了长与宽各是多少，只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半，现在请你帮他算出这块田的长和宽各是多少步(步，古代的一种长度单位，1步约等于1.67m.1亩=240平方步). 解：七亩半=7.5亩 设长为x步，则宽为x步， x·x=1800 x²=1800 解得x= ±60 长度不能为负，舍去x=-60 1亩=240平方步 总面积:7.5 ×240=1800(平方步) ∴x=60 宽：x= ×60=30 答：这块田的长是 60 步，宽是 30 步。 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2 = n(n≥0)或 (x + m)2 = n (n≥0) 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 知识点： 1.一元二次方程的解（根）：能使方程左右两边相等的未知数的值。 2.直接开平方法：利用平方根意义,把二次方程降次为一次方程求解。 3.两种标准形式：; 4.核心思想：降次思想、整体思想、转化思想。 5.注意事项： 开平方要写正负根,不可漏解；右边为负数时,方程无实数根。 $