3.1.2幂与指数课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 幂、指数与对数单元 3.1 幂与指数（2） 沪教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 1 3.1 1 幂与指数 指数幂的拓展 2 （一）复习旧知 温故求新 3 （二）形成概念 理解辨析 4 （二）形成概念 理解辨析 5 （二）形成概念 理解辨析 6 （二）形成概念 理解辨析 7 （二）形成概念 理解辨析 8 （二）形成概念 理解辨析 9 （二）形成概念 理解辨析 幂的基本不等式 10 （三）例题讲解 巩固新知 11 （三）例题讲解 巩固新知 12 （三）例题讲解 巩固新知 13 （三）例题讲解 巩固新知 14 （三）例题讲解 巩固新知 15 （四）课堂练习 迁移应用 16 （四）课堂练习 迁移应用 证明：幂函数当s上单调递增. 因为 因为 17 （五）课堂小结 布置作业 指数幂的拓展 整数 指数幂 有理数 指数幂 数学运算 逻辑推理 实数 指数幂 运算性质 幂的基本不等式 18 （五）课堂小结 布置作业 19 结 束 语 20 谢谢观看 一般地，如果为大于的整数，且， 式子叫做的次根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 那么叫做的次方根. （为正整数） 根式 （1） （3） 整数指数幂 （2） 当时，可以定义 对任意给定的非零实数及整数，有 先定义正数的有理数指数幂，使得整数指数幂的三条运算性质对有理数 设，为有理数，定义. 指数幂仍然成立. 1.有理数指数幂 （为整数, 为正整数） 当时，. 当时，定义 . 即为的次根式，它是方程的唯一正数解. 当时，. 当时，定义. 定义（为整数，为正整数）. （）. 1.有理数指数幂 先定义正数的有理数指数幂，使得整数指数幂的三条运算性质对有理数 指数幂仍然成立. 定义（为正整数）. 1.有理数指数幂 可以证明，当（为整数， 为正整数）时，总成立. （为整数，为正整数， ）. 互素 对于给定的正数，定义 当时，定义. 对于给定的正数，定义（为整数，为正整数）. 当时，. 1.有理数指数幂 互素）. 根据次幂的定义 当时，定义. 因此，也可以把等价地定义为. 整数指数幂的运算性质（2） 正数的有理数指数幂的定义 是一个正数 可以把等价地定义为. 成立. [问题1] 对于给定的正数，等式（是整数，是大于的整数，互素）是否成立？为什么？ 对于给定的正数，定义（为整数，为正整数， 当时，. 1.有理数指数幂 当为有理数时，它总可表示为两个互素整数的商（为整数，为正整数）， 利用整数指数幂的运算性质（）到（3），可以证明这三条性质对正数的有理数 指数幂仍然成立. 即对于任意给定的正数及有理数，有 可定义. 当时，. 对于给定的正数，定义（为整数，为正整数）： 当时，； 由不等式的常用性质， 1.有理数指数幂 [问题2] 当实数，有理数时，试比较与的大小. 因为，是一个正整数, 如果，那么，其中是正整数. 所以. 即. 又由不等式的常用性质， 对于正整数， 可以得到，即. [思考]当时，（为正整数）是否一定能定义？ 幂的基本不等式：当实数，有理数时，不等式成立. 任何一个正有理数总可表示为两个互素整数的商（、均是正整数）, 如果，其中，，是正整数，那么. 对任意一个正数与任意一个无理数， 使得上述有理数指数幂的三条运算性质与幂的基本不等式， 对所有的实数都成立, 我们把这个实数定义为的次幂. 性质 对任意给定的正数及实数，有 ， ， . 定理 当，时，. 记作， 可确定唯一的实数， 2.实数指数幂 在上述对正数的有理数指数幂定义的基础上，可以证明： ． ． 方法三：利用有理数指数幂的运算性质，可得 ． 方法二：利用正数的有理数指数幂的等价定义，可得 （2） ． （1）； 例1 求下列各式的值； 解 （1）方法一：利用正数的有理数指数幂的定义，可得 解（2） 利用有理数指数幂的运算性质，可得 ． 例1 求下列各式的值； （2） ． ． （2）由有理数指数幂的定义和运算性质，可得 （3）由有理数指数幂的定义和运算性质，可得 ． 例2 用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中： （1） ；       （2）；         （3）． 解 （1）由有理数指数幂的定义，可得 ． 例3 化简下列各式： （1）（其中）； （2）（其中. 解 （1）反复应用实数指数幂的运算性质，可得 （2）（其中. 例3 化简下列各式： 解（2）由有理数指数幂的运算性质，可得 教材P64练习3.1（2） 教材P64练习3.1（2） [基础练习] 教材P64-65习题3.1 A组3，4，5（3）（4），6，7，B组 2，3． [能力拓展]（选做） 1．已知，，求证：. 2．若，则的值为________________. 指数与对数是人类文明的瑰宝. ——李大潜 $