山东济南市槐荫区西城实验学校2026—2027学年上学期九年级9月 数学学情自测试题

2026-2027 学年度第一学期学科素养诊断试题九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.（4分）下列各组线段中，不成比例的是（ ） A．4cm、6cm、8cm、10cm B．4cm、6cm，8cm、12cm C．11cm、22cm、33cm、66cm D．2cm、4cm、4cm、8cm 2.（4 分）如图，已知AB∥CD∥EF，AC=36，=，则AE的长为（ ） A．96 B．60 C．48 D．120 3.（4 分）抛物线y=-x2+2026的对称轴是（ ） A．直线y=0 B．y轴 C．直线x=2026 D．直线x=-2026 4.（4 分）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列图形中，△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ） 5.（4 分）如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．= D．= 6.（4 分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ） A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm 7.（4 分）已知二次函数y=x2-2x-3，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为直线x=1 C．顶点坐标为(1,-4) D．当x>1时，y随x的增大而减小 8.（4 分）设A(-2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m（m为常数）上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（ ） A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1 9.（4 分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2米，AC=3.2米，AE=0.8米，那么CD为（ ） A．3 米 B．4 米 C．5 米 D．6 米 10.（4 分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论 ①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH·PB．其中正确的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共 6 个小题．每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的横线上．） 11.（4 分）如果=，则= ． 12.（4 分）抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ． 13.（4 分）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2(AC>BC），则AC等于 。 14.（4 分）已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到mn=pq的是 ． 15.（4 分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=AD，则图中阴影部分的面积为 ． 16.（4 分）如图，△ABC是边长为 1 的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律，则S2024= ． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（8 分）（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长； （2）已知==，且a+b-2c=3，求a的值． 18.（8 分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长； 19.（8 分）已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(-3,4)和(1,-4)． （1）求b，c的值； （2）若点A(-1,m)在函数y=-2x2+bx+c的图象上，求m的值． 20.（8分）如图，抛物线y=(x-h)2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点M的坐标为(1,-4)． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）若点P在抛物线上，△ABP的面积是 24，求点P的坐标． 21.（10 分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(-2,-1)、B(-1,-3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1；并写出点A的对应点A2的坐标 （3）求△OA2B2的面积 22.（10 分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1) 求BC的长． (2) 求灯泡到地面的高度AG． 23.（10 分）综合与实践矩形种植园最大面积探究 矩形种植园最大面积探究 情景 实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x，矩形种植园的面积为S. 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另-边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值. 探 究 思考一:将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分) 思考二:将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN 为边AB的一部分) 解决问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值:比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少. 24.（12 分）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 25.（12 分）【基础巩固】 （1）如图 1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B．求证：AC2=AD·AB． 【尝试应用】 （2）如图 2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A．若BF=4，BE=3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长． 答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.（4分）下列各组线段中，不成比例的是（ A ） A．4cm、6cm、8cm、10cm B．4cm、6cm，8cm、12cm C．11cm、22cm、33cm、66cm D．2cm、4cm、4cm、8cm 2.（4 分）如图，已知AB∥CD∥EF，AC=36，=，则AE的长为（ A ） A．96 B．60 C．48 D．120 3.（4 分）抛物线y=-x2+2026的对称轴是（ B ） A．直线y=0 B．y轴 C．直线x=2026 D．直线x=-2026 4.（4 分）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列图形中，△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ D ） 5.（4 分）如图，∠1=∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ D ） A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．= D．= 6.（4 分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ C ） A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm 7.（4 分）已知二次函数y=x2-2x-3，下列说法错误的是（ D ） A．开口向上 B．对称轴为直线x=1 C．顶点坐标为(1,-4) D．当x>1时，y随x的增大而减小 8.（4 分）设A(-2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m（m为常数）上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（ A ） A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1 9.（4 分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2米，AC=3.2米，AE=0.8米，那么CD为（ D ） A．3 米 B．4 米 C．5 米 D．6 米 10.（4 分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论 ①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH·PB．其中正确的序号是（ C ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共 6 个小题．每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的横线上．） 11.（4 分）如果=，则= ． 12.（4 分）抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 （0，3） ． 13.（4 分）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2(AC>BC），则AC等于 ﹣1 。 14.（4 分）已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到mn=pq的是 ③ ． 15.（4 分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=AD，则图中阴影部分的面积为 30 ． 16.（4 分）如图，△ABC是边长为 1 的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律，则S2024= （）2023× ． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（8 分）（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长； （2）已知==，且a+b-2c=3，求a的值． (1) 解：∵四条线段a,b,c,d成比例 ∴a:b=c:d 由比例的基本性质得ad=bc 将b=3cm，c=2cm，d=6cm代入得： 6a=3×2 6a=6 a=1 答：线段a的长为1cm。 (2) 解：设===k 则a=6k,b=5k,c=4k 将a=6k,b=5k,c=4k代入a+b-2c=3得： 6k+5k-8k=3 3k=3 k=1 a=6×1=6 答：a的值为6。 18.（8 分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长； (1) 证明：∵AB⊥BC,DC⊥BC ∴∠B=∠C=90° ∴∠AEB+∠BAE=90° ∵AE⊥DE ∴∠AED=90° ∴∠AEB+∠CED=180°﹣∠AED=90° ∴∠BAE=∠CED ∴△ABE∽△ECD (2) 解：在Rt△ABE中，AB=4,AE=5 ∴BE=3 ∵BC=5 ∴EC=BC-BE=5-3=2 ∵△ABE∽△ECD ∴= 代入数值得= 解得CD= 19.（8 分）已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(-3,4)和(1,-4)． （1）求b，c的值； （2）若点A(-1,m)在函数y=-2x2+bx+c的图象上，求m的值． (1) 将点(-3,4)和(1,-4)代入y=-2x2+bx+c， 得 解得 (2) 由 (1) 知抛物线的解析式为y=-2x2-6x+4， ∵点A(-1,m)在函数y=-2x2-6x+4的图象上， ∴m=-2+6+4=8 20.（8分）如图，抛物线y=(x-h)2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点M的坐标为(1,-4)． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）若点P在抛物线上，△ABP的面积是 24，求点P的坐标． (1) ∵抛物线顶点M(1,-4)， ∴抛物线解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3 在y=(x-1)2-4中，令y=0，得0=(x-1)2-4，解得：x1=-1,x2=3， ∴A(-1,0), B(3,0)， 令x=0，得y=-3， ∴C(0,-3)； (2) 设P(t,t2-2t-3)， ∵S△PAB=24， ∴|t2-2t-3|=24，即\(|t2-2t-3|=12， 当t2-2t-3=12时，解得：t1=-3,t2=5， 当t2-2t-3=-12时， ∵△<0， ∴方程无实数根．（舍去） 综上所述：点P坐标为(-3,12)或(5,12)。 21.（10 分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(-2,-1)、B(-1,-3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1；并写出点A的对应点A2的坐标 （3）求△OA2B2的面积 （1） （2）A2（﹣4，﹣2） （3）10 22.（10 分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1) 求BC的长． (2) 求灯泡到地面的高度AG． 解：(1) 根据题意，得FC∥DE\)，则△BFC ∽△BED， ∴=，即=，解得BC=3， 故BC的长为3 m。 （2）∵AC=5.4m， ∴AB=AC-BC=5.4-3=2.4。 ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠ABG=∠CBF。 又∠BAG=∠BCF， ∴△BGA∽△BFC， ∴=， 即=，解得AG=1.2m。 故灯泡到地面的高度AG为1.2m。 23.（10 分）综合与实践矩形种植园最大面积探究 矩形种植园最大面积探究 情景 实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x，矩形种植园的面积为S. 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另-边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值. 探 究 思考一:将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分) 思考二:将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN 为边AB的一部分) 解决问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值:比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少. 解：思考一：设CD=x，篱笆共40米，MN=12米， ∴BC=[(40-x)]米， ∴S=(40-x)x=-(x-20)2+200， 由题意得，0<x≤12， ∴当x=12时，S取最大值为168平方米， 思考二：如图，AN=(x-12)米， ∴BC=(26-x)米，(12≤x<26)， ∴S=(26-x)x=-(x-13)2+169， ∴当x=13时，S取最大值为169平方米， ∵168<169， ∴矩形种植园的面积最大值为169平方米。 24.（12 分）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ (1) 设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的， 根据题意得，×2x(4-x)=×5×4×， 解得：x1=x2=2， 答：经过2秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的； （2）秒或秒 25.（12 分）【基础巩固】 （1）如图 1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B．求证：AC2=AD·AB． 【尝试应用】 （2）如图 2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A．若BF=4，BE=3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长． 解：(1) 证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB, ∴=, ∴AC2=AD·AB. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠A=∠C 又∵∠BFE=∠A,∠BFE=∠C. 又∵∠FBE=∠CBF, ∴△BFE∽△BCF, ∴= ∴AD= （3）5+2 1 学科网（北京）股份有限公司 $