内蒙古自治区赤峰第三中学2026-2027学年上学期九年级数学 第一次学情自测

赤峰三中 2026—2027学年度第一次月考 数学试卷 一、选择题(共8小题.每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是( ) 2.某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P (单位：W)与做功的时间t (单位：s)存在反比例函数关系.如表是他们实验的几组数据： t (单位: s) 10 20 30 40 50 P (单位: W) 120 60 40 30 24 则功率P(W)与做功的时间t(s)之间的函数模型是( ) B. P=1200t 3.在平面直角坐标系中，将函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( ) 4.对于反比例函数 下列说法正确的是( ) A.图象经过点(2, - 3) B.图象位于第一、三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>0时，y随x的增大而增大 5.如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形.为便于管理，现要在中间开辟一横 1 学科网（北京）股份有限公司 两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米.若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是 ( ) A. (32-x)(20-x)=600 B. (32-x)(20-2x)=600 C. (32-2x)(20-x)=600 D. (32-2x)(20-2x)=600 6.二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ). 7. 如图, 在等腰三角形AOB中, OA=AB, ∠OAB=120°, OA边在x轴上, 将△AOB绕原点O逆时针旋转120°, 得到△A'OB', 若则点A的对应点A'的坐标为 ( ) A.(-1,-1) B. (-1, C. (-1,2) D. (-1, ) 8.抛物线 的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点在 (-3，0)和 ( -2, 0) 之间, 其部分图象如图, 则下列结论: ①abc>0;③a+b+c>0; ④3a<-c; (m为任意实数).正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 9.在平面直角坐标系中，点P(-1，-2)关于原点对称的点的坐标是 10.已知关于x的 有两个实数根，则 k的取值范围是 . 11.如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上任意一点，B，C分别为反比例函数y₁= 的图象上的点，且BC∥x轴，已知△ABC的面积为3，则k的值为 . 12.已知,矩形ABCD中, AB=8, BC=6,点E是边 AB上的一个动点,将线段DE绕点 D逆时针旋转90°得到 DF,过F作FG⊥CD于点 G,连接EF,取 EF 中点 H,连接DH, AH.点E在运动过程中,下列结论: ①△ADE≌△GDF; ②∠GFH=∠ADE; ③当点H和点 G 互相重合时,AE=6;④AH的最小值为3 ；⑤AH的最大值为 正确的序号有 三、解答题(共64分) 13. (每小题3分,共12分)解方程: (3)(x-3)(x+2)=x-3 3 学科网（北京）股份有限公司 14 (8分).如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=kx+b的图像与反比例函数 的图像交于A(1,4)和.B(-4,n)两点. (1)(5分)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)(3分)根据图像，直接写出当x为何值时， 15 (10分).今年某超市以每件30元的进价购进一批商品.当商品的售价为每件40元时，九月份销售500件.十月份和十一月份该商品十分畅销，销售量持续上涨，十一月份的销售量达到720件. (1)(5分)求十月份和十一月份销售量的月平均增长百分率； (2)(5分)经市场预测，如果售价不变，该商品十二月份的销售量将与十一月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式。若该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品每件降价多少元时，该超市十二月份的利润达到最大?最大利润是多少元? 学科网（北京）股份有限公司 16. (10分)阅读材料: 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m，n满足 且m≠n，则可将m，n看作方程 的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a，b满足a+b=3， ab=2，则可以将a，b看作方程 的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (1)(2分)已知一元二次方程 的两根x₁, x₂,则 ; (2)(5分)已知实数m, n满足 求 的值； (3)(3分)若a,b是关于 x 的方程 的两个实数根，且 b+2m=1,则m= . 17. (11分)综合实践 (1)(3分)【初步感知】如图1,在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系.两名同学不同的 5 学科网（北京）股份有限公司 解题方法如下： ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF，AE，FC之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，延长BC到点 M，使CM=AE，连接DM，得到△CDM，根据全等的性质也得到了线段EF，AE，FC之间的数量关系. 任选一位同学的分析，可以得到线段EF，AE，FC之间的数量关系是 . (2) (5分)【类比探究】 如图2,正方形ABCD中, E、F分别在边BC、CD的延长线上,且∠EAF=45°,连接EF，试问线段EF，BE，DF之间具有怎样的数量关系?判断并说明理由. (3) (3分)【拓展应用】 如图3,在四边形ABCD中, AB=AD, ∠BAD=∠BCD=90°, ∠EAF=45°,且BC=8, DC=10, CF=6直接写出BE的长. 学科网（北京）股份有限公司 18.(13分)洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行.如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带)，为绿化带浇水.如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH=1.5m，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m.那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示. (1)(5分)把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y₁，y₂，上边缘抛物线y₁的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，求上边缘抛物线y₁的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC. (2)(5分)下边缘抛物线y₂可以看作由上边缘抛物线y₁向左平移得到，其开口方向与大小不变.请求出下边缘抛物线y₂与x轴的正半轴交点B的坐标. (3)(3分)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息直接写出OD的取值范围. 7 学科网（北京）股份有限公司 $赤峰三中2026一2027学年度第一次月考 数学试卷 一、选择题（共8小题.每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求) 1.在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是() 2.某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P(单位：W) 与做功的时间t(单位：s)存在反比例函数关系.如表是他们实验的几组数据： (单位：s) 10 20 30 50 P (单位： 120 60 40 30 24 W) 则功率P(W)与做功的时间t(s)之间的函数模型是() A.P=1200 D.P=120 t B.P=1200t C.P= 1200 t 3.在平面直角坐标系中，将函数y=x-1+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下 平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( A.y=x+12+5 B.y=x+1}2+3 C.y=x-3+3 D.y=x-32+5 4对于反比例侧函数y=-是下列说法正确的是( ) A.图象经过点(2，-3) B.图象位于第一、三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小D.当x>0时，y随x的增大而增大 5.如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形.为便于管理，现要在中间开辟一横 两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米.若设小道的宽为x米，则下 面所列方程正确的是() A.(32-x)(20-x)=600 B.(32-x)(20-2x)=600 C.（32-2x)(20-x)=600 D.(32-2x)(20-2x)=600 6.二次函数y=aX-a与反比例函数y=ga0在同一平面直角坐标系中的图象 X 可能是(). 7.如图，在等腰三角形AOB中，OA=AB,∠0AB=120°，OA边在x轴上，将 △AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB,若OB=23,则点A的对应 点A'的坐标为() A.(-1,-1) B.(-1,V3 C.(-1,2) D.(-1,5) 8.抛物线y=ax+bx+ca0的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点在(-3,0) 和(-2,0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①abc>0:②4ac-b2<0; ③a+b+c>0;④3a<-c;⑤am2+bm≤a-b(m为任意实数).正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 0 (第7题) (第8题) 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9.在平面直角坐标系中，点P(-1,-2)关于原点对称的点的坐标是 10.已知关于x的x2-6x+k=0有两个实数根，则的取值范围是 11.如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上任意一点，B,C分别为反比 例函数y1=是（x20,y=(x<0)的图象上的点，且BC∥x轴，已知△ABC的 面积为3，则k的值为 12.已知，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是边AB上的一个动点，将线段DE绕 点D逆时针旋转90°得到DF,过F作FG⊥CD于点G,连接EF,取EF中点H, 连接DH,AH.点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF; ②∠GFH=∠ADE;③当点H和点G互相重合时，AE=6;④AH的最小值为3V2 ;⑤AH的最大值为6V2.正确的序号有 (第11题) (第12题) 三、解答题（共64分） 13.(每小题3分，共12分)解方程： 13x2-27=0 2x2-4x+3=0 (3)(x-3)(x+2)=x-3 42x2+3x=1 3 14(8分).如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=kx+b的图像与反比例函 m 数y=X的图像交于A(1,4和.B(-4,)两点. (1)(5分)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)(3分)根据图像，直接写出当x为何值时， kx+b>m X y X(1,4) (-4,)B 15(10分).今年某超市以每件30元的进价购进一批商品.当商品的售价为每件40元 时，九月份销售500件.十月份和十一月份该商品十分畅销，销售量持续上涨，十 一月份的销售量达到720件. (1)(5分)求十月份和十一月份销售量的月平均增长百分率； (2)(5分)经市场预测，如果售价不变，该商品十二月份的销售量将与十一月份持平， 现超市为了减少库存，采用降价促销方式。若该商品每降价1元，月销售量增加 180件，当商品每件降价多少元时，该超市十二月份的利润达到最大？最大利润是 多少元？ 16.(10分)阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二 次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造 方法： 方法1：利用根的定义构造·例如，如果实数m,n满足 m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可将m,n看作方程x2-x-1=0的两个不 相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a,b满足a+b=3,ab=2, 则可以将a,b看作方程x2-3x+2=0的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (1)(2分)已知一元二次方程x2-3x-3=0的两根x1,x2,则x+=,x1x2= (25分)已知实数m,n满足m㎡-3m-2=0,㎡-3n-2=0求品+只的值； (3)(3分)若a,b是关于x的方程x2+x+m2+2m-1=0的两个实数根，且a2- b+2m=1,则m= 17.(11分)综合实践 B 图1 图2 图3 (1)(3分)【初步感知】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的 点，且∠EDF=45°，求出图中线段F,AE,FC之间的数量关系.两名同学不 同的 解题方法如下： ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置 根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质 得到线段EF,AE,FC之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，延长BC到点M,使CM=AE,连接DM,得到 △CDM,根据全等的性质也得到了线段EF,AE,FC之间的数量关系. 任选一位同学的分析，可以得到线段EF,AE,FC之间的数量关系是 (2)(5分)【类比探究】 如图2，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且∠EAF=45°， 连接EF,试问线段EF,BE,DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由. (3)(3分)【拓展应用】 如图3，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=∠BCD=90°， ∠EAF=45°，且BC=8,DC=10,CF=6直接写出BE的长. 18.(13分)洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便 出行.如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.如 图2，选取合适的原点O,建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上， 根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH=1.5m,把绿化带横截面抽象 为矩形DEFG,其中D,E点在x轴上，测得其水平宽度DE=3m,竖直高度 EF=0.5m.那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段oD的长来表示. BD 图1 图2 (1)(5分)把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的 部分图象，分别为y1,y2,上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为 2m,高出喷水口0.5m,求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求洒水车喷出水 的最大射程oC. (2)(5分)下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方 向与大小不变.请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标. (3)(3分)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息直接写 出OD的取值范围. 7赤峰三中九年级2026一2027学年度第一次月考数学答案 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 2 0 4 5 6 7 8 D 0 B A 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.(1,2) 10.k≤9 11.-2 12.①③④ 三、解答题(6小题，共64分) 13(12分).(1)x1=3,X2=-3(2)x1=1,x23 3)x=-1,3④X-3+厘，x3-四 4 A 14(8分).(1)解：反比例函数过 (1,4), 4 y=- .∴.m=1×4=4, 解析式为x 、4 .B(-4,n) 在x上， 4 ∴.n==-1 -4，即 (-4,-1). k+b=4 将A1,4、 B(4,-D代人y=kx+b: 4k+b=-1 [k=1 解得(b=3 .一次函数解析式为y=x+3. (2)由图像可知，当 4x0或x1时.+b>受 15(10分).解：(1)设十月份和十一月份销售量的月平均增长率为x. 根据题意，500(1+x)2=720, 化简，1+x)2=1.44, 解得x=0.2=20%,X2=-2.2(舍去). 答：十月份和十一月份销售量的月平均增长率为20%. (2)设该商品每件降价m元，超市十二月份的利润为w元. 由题意得，w(40-30-m(720+180m), 即w=-180(m-3)2+8820, ∴.当m3时，w取最大值，w*=8820. 16.(10分)1)3，-3 (2)解：当m卡n时， .实数m、n满足m2-3m-2=0,n2-3n-2=0, .∴.m,n可看作方程x2-3x-2=0的两根， m+n=3,mn=-2, ∴.原式=m2+n2-m+m2-2mm=32-2x-22.3 mn mn -2 2 当m=n时，则原式=1+1=2； 综上所述，原式的值3或2 (3)-1 17（11分).(1)EF=AE+CF (2)BE DF EF, 理由如下： 在BC上截取BG=DF,连接AG,如图所示： 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=BC=AB,∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90。, .∴.∠ADF=180。-90°=90。， .∴∠B=∠ADF, .∴△ABG2△ADF(SAS), .∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF .'EAF=∠DAE+∠FAD=∠DAE+∠BAG=45°， ·.'BAG+∠DAG=∠BAD=90°， .①AF+∠DAG=∠FAG=90。, ∴∠EAG=90。-45°=45。， .∴∠EAG=∠EAF, ∴.‘AE=AE, .☐EAG≌☐EAF(SAS), .∴.EG=EF, ,∴.BE=BG+EG=DF+EF, 即 BE=DF+EF; F A D B G 3 (3) 4 18(13分.()1=日(x-2+2;酒水车喷出水的最大射程0c为6m (2)点B的坐标为(2,0) (3)2m≤0D≤(2√3-1)m(不加单位不扣分) 【分析】(1)由顶点A(2,2)得，设y=a(x-2)2+2,再根据抛物线过点(0,1)5 可得a的值，从而解决问题； (2)由对称轴知点(0,1)的对称点为(4,15则下边缘抛物线是由上边缘抛物 线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； (3)求出0D的最小值为2，OE的最大值为2+2√5，得到0D的最大值为 25-1,从而得出答案， 【详解】(1)解：由题意得：A(2,2),H(0,1.5), A(2,是上边缘抛物线的顶点， 设y=a(x-2)2+2, 又抛物线过点H(0,1.5), 1.5=4a+2 as-1 8' 上边缘抛物线的函数解析式为八=x-2+2: 令%=0，则0=x-2+2, 解得x=6或x=2（舍去)， ∴.洒水车喷出水的最大射程0C为6m; (2)解：y1的对称轴为直线x=2, ∴.点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)， .平移后y2仍过点(0,1.5)， .'y2是由y1向左平移4m得到的， ·.C(6,0),点B是由点c向左平移4m得到的 ∴.点B的坐标为(2,0)： (3)解：由题意可得，当点D与点B重合时，OD最小， .‘点B的坐标为(2,0)， 0B=2, ∴.0D的最小值为2， .'OD=OE-DE,DE=3m, 当点F在抛物线y1上时，OE最大， .EF=0.5m, ∴.点F的纵坐标为0.5， 当-x-2+2=05时，解得x=2+25或x=2-25(舍去). x=2+2W5, ∴.0E的最大值为2+25， .0D的最大值为2+2√5-3=25-1， ∴.oD的取值范围为2m≤0D≤(23-1)m.