4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦等比数列的概念、等比中项、通项公式及与指数函数的关系，通过生活实例导入，联系等差数列对比辨析，结合“说明”“想一想”等提示搭建学习支架，引导学生理解概念本质。 该资料通过定义辨析、公式推导等环节培养数学抽象和逻辑推理素养，分角度题型示例与分层习题设计，帮助学生逐步掌握运算技能，提升数学运算能力，同时“感悟提升”总结方法，助力学生形成学科思维。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 (教师独具内容) 课程标准：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系． 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习等比数列的概念及判断方法，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养． 知识点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． [说明]　(1)定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)等比数列的公比q可正可负，但不能为0；等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0，0，0，…外)都是公比为1的等比数列． 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． [想一想]　我们知道任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数都有等比中项吗？若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：任意两个实数不一定都有等比中项，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项．若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如02＝0×3，但0，0，3不成等比数列． 知识点三　等比数列的通项公式 1．公式：an＝a1qn－1，其中a1为首项，q为公比． 2．推导：由等比数列的定义，得＝q，＝q，…，＝q，把这(n－1)个等式相乘，得an＝a1qn－1． 知识点四　等比数列与指数型函数的关系 等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．反之，任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． 1．(等比数列的首项、公比)设等比数列{an}的公比为q，已知an＝4n－3，则(　　) A．a1＝，q＝ B．a1＝16，q＝4 C．a1＝，q＝4 D．a1＝16，q＝ 答案：C 2．(等比中项)已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝(　　) A．－3 B．－4 C．±3 D．±4 答案：C 3．(等比数列的判定)已知数列{an}为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是(　　) A．{2an} B．{lg an} C．{a} D. 答案：A 4．(等比数列的通项公式)等比数列1，5，25，125，…的通项公式为________． 答案：an＝5n－1 题型一　等比数列的概念　 　判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…； (6)a，a，a，a，a，…. [解]　(1)不是等比数列． (2)是等比数列，公比为1. (3)是等比数列，公比为. (4)不是等比数列． (5)是等比数列，公比为－4. (6)当a＝0时，不是等比数列；当a≠0时，是等比数列，公比为1. 【感悟提升】判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 【跟踪训练】 1．(多选)下列四个数列中是等比数列的是(　　) A．数列1，1，2，4，8，16，32，64 B．在数列{an}中，已知＝2，＝2 C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n D．在数列{an}中，＝q，其中q为常数，且不为零，n∈N* 答案：CD 解析：对于A，＝1，＝2≠1，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列；对于B，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，只知道前3项的每一项与前一项的比值相等，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”；对于C，因为当n≥2时，＝＝2(常数)，所以数列{an}为等比数列，且公比q＝2；对于D，在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q(q为常数，且不为零)恒成立，那么数列{an}是等比数列． 题型二　等比中项　 　在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________． [解析]　由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，设此数为G，则G2＝ab，∴G＝±.若a，b为正数，则G＝，即正中间的一个数是；若a，b为负数，则G＝－，即正中间的一个数是－.综上，G＝或G＝－. [答案]　或－ 【感悟提升】等比中项的应用策略 (1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以a，b同号时，a，b的等比中项有两个，它们互为相反数，a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 【跟踪训练】 2．已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　) A．1或 B．1或－ C．1或 D．1或－ 答案：D 解析：由题意，得a2b2＝(ab)2＝12，＋＝2，从而有或又＝，因此的值为1或－. 题型三　等比数列的通项公式　 角度　等比数列的基本计算 　在等比数列{an}中， (1)已知an＝128，a1＝4，公比q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，公比q＝5，求a1； (3)已知a3＝2，a5＝8，求公比q和an. [解]　(1)∵an＝a1qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4×2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5， ∴n＝6. (2)∵an＝a1qn－1＝625，n＝4，q＝5， ∴a1＝＝＝5. (3)由得 解得q2＝4，a1＝，即a1＝，q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2； 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝×(－2)n－1＝(－1)n－12n－2. 【感悟提升】等比数列通项公式的求法与应用技巧 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an. (2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【跟踪训练】 3．在等比数列{an}中， (1)a2＝2，a1＋a3＝5，求公比q； (2)a4＝2，a7＝8，求an； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：(1)由题意可得 由①，得a1＝，代入②，得＋·q2＝5， 整理，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2. (2)设等比数列{an}的公比为q. 因为所以 由④÷③，得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. (3)设等比数列{an}的公比为q. 由题意，知 由⑥÷⑤，得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 角度　等比数列的单调性 　已知{an}是公比为q的等比数列，则“q>0”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　当q>0时，数列{an}不一定为递增数列，如数列－1，－2，－4，－8，…，公比q＝2>0，而此数列为递减数列．当{an}为递增数列时，an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1·(q－1)>0，则或则q>0成立．所以“q>0”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. [答案]　B 【感悟提升】判断等比数列单调性的方法 等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q>0且q≠1时存在单调性． (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列． 【跟踪训练】 4．在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 答案：A 解析：设等比数列{an}的公比为q.由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1>0，所以数列{an}为递增数列． 题型四　等比数列的判定与证明　 　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1.证明：数列{an}为等比数列． [证明]　∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列． 【感悟提升】 1．等比数列的判定或证明 (1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔数列{an}为等比数列． (2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔数列{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔数列{an}为等比数列． 2．要证明数列不是等比数列，可以通过选择三个连续项不成等比数列来证明． 【跟踪训练】 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝其中p，q为常数，数列{an}能否为等比数列？如果能，求出实数p，q满足的条件；如果不能，请说明理由． 解：∵a1＝1，an＋1＝ ∴a2＝p，a3＝pq. 若数列{an}为等比数列， 则a＝a1a3，即p2＝pq，∴p＝0或p＝q. 若p＝0，则a2＝0，此时数列{an}不是等比数列． ∴p＝q≠0，则an＋1＝ ∴对任意n∈N*，＝p≠0，a1＝1≠0，即数列{an}为等比数列． 综上，当p＝q≠0时，数列{an}为等比数列． 1．下列各组数成等比数列的是(　　) ①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 答案：C 解析：由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当x＝0时，不是等比数列． 2．等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝3(a1＋a3)，则公比为(　　) A．1 B．－2 C．2 D．2或－2 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a2＋a3＋a4＝3(a1＋a3)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a3)＋q(a1＋a3)＝(1＋q)(a1＋a3)＝3(a1＋a3)，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝a1(1＋q2)≠0，所以1＋q＝3，解得q＝2.故选C. 3．(多选)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列条件能判断{an}为递增数列的是(　　) A．a1＝3，q＝ B．a1＝2，q＝3 C．a1＝，q＝ D．a1＝－，q＝ 答案：BD 解析：对于A，若a1＝3，q＝，可得an＋1＝anq<an，所以{an}为递减数列，所以A不符合题意；对于B，若a1＝2，q＝3，可得an＋1＝anq>an，所以{an}为递增数列，所以B符合题意；对于C，若a1＝，q＝，可得an＋1＝anq<an，所以{an}为递减数列，所以C不符合题意；对于D，若a1＝－，q＝，可得an＋1＝anq>an，所以{an}为递增数列，所以D符合题意．故选BD. 4．已知等比数列{an}的前3项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a＝________，an＝________． 答案：5　4× 解析：由题意，知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×. 5．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝，则an＝________，－是数列{an}的第________项． 答案：－　6 解析：∵2an＝3an＋1，∴＝，∴数列{an}是公比为的等比数列．又a2a5＝，∴a1q·a1q4＝，即a×＝，又数列{an}各项均为负数，∴a1＝－，∴an＝－×＝－.设an＝－，则－＝－，即＝，∴4＝n－2，即n＝6，∴－是数列{an}的第6项． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求公比及等比数列中的项 由公比及等比数列中的项求项数 利用等比中项公式求数列中的项 由等比数列中的项求公比及数列中的项 等比数列的判断及求通项公式 等比中项公式的应用 等比数列与指数型函数的关系 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 写出符合条件的等比数列的通项公式 等差、等比数列基本量的计算；求等比数列的通项公式 由an，Sn之间的关系求数列中的项；证明等比数列 等比数列的判断；等差数列的判断 由递推关系求数列中的项；证明等比数列；借助等比数列求数列的通项公式 等差中项公式的应用；求等比数列的通项公式；数列增减性的判断 数列的新定义问题；由递推关系求数列的通项公式 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1，则a5＝(　　) A. B. C．16 D．32 答案：D 解析：由an＝an＋1，得＝2，又a1＝2，则{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a5＝2×24＝32.故选D. 2．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：C 解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝1，q＝2，an＝128，所以an＝a1qn－1＝2n－1＝128，解得n＝8.故选C. 3．已知m，2m＋2，3m＋3是等比数列的前3项，则第4项是(　　) A．－27 B．－ C. D．12 答案：B 解析：由题意，知(2m＋2)2＝m(3m＋3)，解得m＝－1(舍去)或m＝－4，∴公比q＝＝＝，∴第4项是－4×＝－. 4．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意，得即解得所以a6＝a1q5＝3.故选D. 5．(多选)已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．a4＝4 B．{a2n}是等比数列 C．a2n－a2n－1＝2n－1 D．a2n＋a2n－1＝2n＋1 答案：ABC 解析：因为数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*，所以a1a2＝2，解得a2＝2，又an＋1an＋2＝2n＋1，所以＝，即＝2，所以数列{an}的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，所以a2n＝2×2n－1＝2n，a2n－1＝1×2n－1＝2n－1，a4＝22＝4，a2n－a2n－1＝2n－1，a2n＋a2n－1＝2n＋2n－1＝3×2n－1.故选ABC. 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a1＝2，公差为d，且a2，a3，a4＋1成等比数列，则d＝________． 答案：2 解析：由题意，可得a＝a2(a4＋1)，即(2＋2d)2＝(2＋d)(2＋3d＋1)，化简得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1.若d＝2，即有4，6，9成等比数列；若d＝－1，即有1，0，0不成等比数列．综上，d＝2. 7．已知数列{an}满足a1＝1024，点(n，an)在函数y＝a(a∈R)的图象上，则a10＝________． 答案：2 解析：由题意，得an＝a(a∈R)，则a1＝a＝1024，解得a＝2048，∴an＝2048＝，∴a10＝＝2. 8．已知等比数列{an}满足a2<|an|<a1(n＝3，4，5，…)，写出符合上述条件的一个等比数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝(答案不唯一，a1>0，－1<q<0即可) 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2<|an|<a1(n＝3，4，5，…)，得a1>0，a2<|a3|<a1，即a1q<|a1q2|<a1，于是q<q2<1，解得－1<q<0，取a1＝1，q＝－，得an＝. 三、解答题 9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn. 解：∵{an}是等差数列，设公差为d(d≠0)， ∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d. 又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项， ∴a＝a5a13， 即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，解得d＝2a1， ∴a5＝9a1，a8＝15a1. 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， 则q＝＝， 又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3， ∴bn＝3×. 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．求a1，a2，并证明数列{an}是等比数列． 解：由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 故a1＝－. 又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. 当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－， 又a1＝－， 所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 11．(多选)已知数列{an}满足an＋1＋an＝f(n)，则下列说法中正确的是(　　) A．若a1＝2，f(n)＝2n，则数列{an}是等差数列 B．若a1＝1，f(n)＝2n＋1，则数列{an}是等差数列 C．若a1＝2，f(n)＝4，则数列{an}是等比数列 D．若a1＝1，f(n)＝3×2n－1，则数列{an}是等比数列 答案：BCD 解析：对于A，当an＋1＋an＝f(n)＝2n时，若a1＝2，则a2＝0，a3＝4，a4＝2，a5＝6，…，所以数列{an}不是等差数列，故A错误；对于B，当an＋1＋an＝f(n)＝2n＋1时，an＋1－(n＋1)＝－(an－n)，若a1＝1，则数列{an－n}为常数列，即an＝n，所以数列{an}是等差数列，故B正确；对于C，当an＋1＋an＝f(n)＝4时，an＋1－2＝－(an－2)，若a1＝2，则a1－2＝0，即数列{an－2}为常数列，所以an＝2，即数列{an}是首项为2，公比为1的等比数列，故C正确；对于D，当an＋1＋an＝f(n)＝3×2n－1时，an＋1－2n＝－(an－2n－1)，若a1＝1，则a1－21－1＝0，则数列{an－2n－1}为常数列，即an＝2n－1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，故D正确．故选BCD. 12．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(an＋1)2－1，则{an}的通项公式为________． 答案：an＝32n-1－1 解析：由题意，得an＋1＋1＝(an＋1)2，两边取对数，得lg (an＋1＋1)＝lg (an＋1)2，又由an＋1＋1＝(an＋1)2，a1＝2，得an＋1＋1>0恒成立，所以lg (an＋1＋1)＝2lg (an＋1)，又lg (a1＋1)＝lg 3≠0，所以{lg (an＋1)}是以lg 3为首项，2为公比的等比数列，即lg (an＋1)＝2n－1lg 3＝lg 32n-1，即an＋1＝32n-1，所以an＝32n-1－1. 13．已知正项数列{an}是等比数列，a1，a2＋6，a3成等差数列，a3＝a2＋6a1. (1)求{an}的通项公式； (2)若λan≥4n＋5恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0， 因为a3＝a2＋6a1，所以可化为q2＝q＋6， 解得q＝3或q＝－2(舍去)， 又因为a1，a2＋6，a3成等差数列， 所以2(a2＋6)＝a1＋a3， 即2(3a1＋6)＝a1＋9a1， 所以a1＝3，故an＝3n. (2)不等式λan≥4n＋5可化为λ≥， 设bn＝， 则bn＋1－bn＝－＝<0， 所以数列{bn}为递减数列， 故当n＝1时，bn最大，且最大值为b1＝3， 又不等式λ≥恒成立，所以λ≥3， 故实数λ的取值范围为[3，＋∞)． 14．对于给定的数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn＋1＝pcn＋q对任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“优美数列”． (1)若an＝2n，bn＝3×2n，n∈N*，数列{an}，{bn}是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数p，q；若不是，请说明理由； (2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝3×2n(n∈N*)，若数列{an}是“优美数列”，求数列{an}的通项公式． 解：(1)∵an＝2n，∴an＋1＝an＋2，n∈N*， ∴数列{an}是“优美数列”，对应的实常数p，q分别为1，2. ∵bn＝3×2n，∴bn＋1＝2bn，n∈N*， ∴数列{bn}是“优美数列”，对应的实常数p，q分别为2，0. (2)∵数列{an}是“优美数列”， ∴存在实常数p，q，使得an＋1＝pan＋q对任意n∈N*都成立， 则an＋2＝pan＋1＋q对任意n∈N*都成立， ∴an＋1＋an＋2＝p(an＋an＋1)＋2q对任意n∈N*都成立， 又an＋an＋1＝3×2n(n∈N*)， ∴an＋1＋an＋2＝3×2n＋1(n∈N*)， 则有3×2n＋1＝3p×2n＋2q对任意n∈N*都成立， 即3×2n(2－p)＝2q对任意n∈N*都成立， ∴2－p＝0，2q＝0，即p＝2，q＝0， ∴an＋1＝pan＋q＝2an， 又a1＝2≠0， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＝2n，n∈N*. 12 学科网（北京）股份有限公司 $