4.3.1 等比数列的概念（第1课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 教学设计 教学内容 本节课作为等比数列的起始课，核心任务是建立等比数列的概念体系。课程从“古印度棋盘麦粒”、“庄子·天下”等经典实例出发，引导学生通过观察、运算发现这些数列“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数”的共性规律，从而抽象出等比数列的符号化定义，并明确公比的取值范围。在此基础上，学生类比等差数列通项公式的推导方法，分别运用归纳法和累乘法自主探究并证明了等比数列的通项公式 。最后，通过将通项公式变形为 ，引导学生从函数观点认识等比数列，发现其与指数函数的内在联系，初步体会公比 时数列的单调性特征，为后续应用奠定基础。 内容解析 核心本质：本节课内容严格遵循"事实—概念—性质—应用"的研究路径，是继等差数列后对另一类基本数列的系统学习。课程首先通过多个具有现实背景和数学史意义的实例，引导学生通过除法运算发现数列的等比规律，进而抽象出等比数列的精确数学定义及公比概念，并自然引出等比中项。核心知识之二是通项公式的推导，教材并重地呈现了归纳迭代法和累乘法两种证明思路，强调数学逻辑的严谨性，并引导学生理解首项和公比作为基本量的核心地位。核心知识之三是将等比数列置于函数观点下审视，通过解析式变形揭示其与指数函数的本质关联，从而利用函数性质理解数列的单调性等特征，深化对数列作为一种特殊函数的理解。 知识关联：学生刚刚系统学完等差数列的全部内容，对"按照研究路径（事实—概念—性质—应用）研究一种特殊数列"的模式有清晰的体验，熟悉从实例中抽象定义、由定义推导通项公式（累加法）、从函数观点（一次函数）理解数列，这为通过类比学习等比数列提供了坚实的认知基础和方法论指导；同时，学生对指数函数的图像和性质也有较好的掌握。等比数列与等差数列具有高度的类比性和对偶关系（累加与累乘、一次函数与指数函数），这种编排有助于学生构建完整的特殊数列认知框架。 学习意义：本节课充分体现了从特殊到一般、类比、转化与化归等基本数学思想。学生通过类比等差数列的研究思路和方法自主探究等比数列，实现了学习方法和思维模式的迁移；公式推导中的累乘法是将多项之"积"转化为一项的关键技巧，体现了化归思想；从离散的数列到连续的函数实现了数与形的结合，提升了学生的数学抽象和直观想象素养。丰富的实例使学生体会到数学源于生活又服务于生活，数学史内容的融入则增强了人文底蕴和民族自豪感。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：等比数列的概念，其通项公式的推导过程及其函数特征的理解。 教学目标 （1）能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式. （2）能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养． （3）会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养. 目标解析 （1）此目标是本节课的知识与技能核心，要求学生完成从具体实例中抽象数学概念，并基于定义进行逻辑推导的关键过程。重点在于引导学生观察实例的共性，通过精确的数学语言（符号化定义）固化"等比数列"与"公比"的概念，并类比等差数列的研究路径，运用归纳与演绎推理自主得出通项公式。对公式含义和限制条件（如q ≠ 0、各项不为零）的解释，是深化概念理解、确保知识严谨性的重要环节。 （2）此目标旨在提升学生的数学思维层次，实现从"数列"到"函数"的认知飞跃。它要求学生超越具体的项与项的关系，从变量和对应关系的宏观视角审视等比数列，通过解析式对比和图象分析，发现其与指数函数的内在联系（共性）及离散与连续的本质差异。这一过程深刻体现了数学抽象和数形结合思想，是培养学生用联系和变化的函数观点分析问题的关键步骤。 （3）此目标聚焦于知识的应用与数学运算素养的提升。它要求学生将前两个目标所获得的概念、公式和性质转化为解决具体问题的工具。通过构造和解方程（组）来求基本量，是解决等比数列问题的基本技能，而在此过程中对性质的灵活运用（如等比中项），则能加深对知识内在联系的理解，训练学生运算求解的逻辑性和准确性。 达成上述目标的标志是： （1）能举例说明"从第2项起、每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数"的含义，能写出aₙ₊₁/aₙ = q（n ∈ N*，q ≠ 0）或aₙ₊₁ = qaₙ（n ∈ N*，q ≠ 0）等符号表达式，并据此判断一个数列是否为等比数列；能从定义出发，用迭代法和累乘法推导出aₙ = a₁qⁿ⁻¹，能说出q ≠ 0、各项不为零等限制条件；能说出等比中项的定义并写出G² = ab（a、b同号）。 （2）能说出通项公式aₙ = (a₁/q)·qⁿ与指数函数y = (a₁/q)·qˣ的共性与差异（离散与连续、孤立点与连续曲线），能根据公比q的取值范围（q > 1、0 < q < 1、q = 1、q < 0）并结合a₁的符号说明等比数列的单调性。 （3）能根据两个独立条件列方程组求出首项与公比，进而求数列的任意一项或等比中项；能利用通项公式与等比中项解决简单实际与综合问题，运算准确、步骤规范、分类讨论完整。 学生在学习本节课之前，已经具备了相关的知识基础，但也存在明显的认知困难点。 已有知识及掌握程度： 学生刚刚系统学完等差数列的全部内容，对“按照研究路径（事实-概念-性质-应用）研究一种特殊数列”的模式有清晰的体验。他们熟悉了如何从实例中抽象定义、如何由定义推导通项公式（累加法）、以及如何从函数观点（一次函数）理解数列，这为通过类比学习等比数列提供了坚实的认知基础和方法论指导。此外，学生对指数函数的图像和性质也有较好的掌握。 预估的教学困难： 概念抽象与符号化表达的困难： 从“比值相等”的具体实例到“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”的抽象定义，再到精确的符号表达，学生可能难以精准理解定义中的“从第2项起”、“同一个常数”等关键词的内涵，以及在符号化过程中对项数范围的界定。 通项公式推导方法的迁移与理解困难： 虽然学生熟悉等差数列的“累加法”，但将其迁移到等比数列的“累乘法”存在思维转换的挑战。从加法到乘法的跃迁并非直接类比，学生可能难以自发想到将多个比值相乘以达到“消项”的目的，从而觉得“累乘法”的构思不自然，理解其合理性存在障碍。 与指数函数关系的深度理解困难： 学生容易形式化地记住 与指数函数 的相似性，但难以透彻理解为何公比 q 的取值（特别是 0<q<1 和 q>1）会决定数列的单调性，以及离散的点如何与连续的函数图象建立有意义的联系。将数列的单调性讨论完全转化为对指数函数性质的讨论，并进行分类，对学生而言是一个难点。 公式应用中隐含条件的忽视： 在利用通项公式解决问题时，学生容易忽略公比 q≠0、各项不为零（当 q<0 时）等隐含条件，以及在解方程（组）求基本量时，可能因代数变形不熟练而出错。 解决策略： 针对上述困难，教学中应注重搭建认知桥梁。通过设置问题串，引导学生回顾等差数列的研究路径，主动进行类比猜想。在公式推导环节，不直接给出方法，而是启发学生思考“如何消去中间项”，让其经历从“加法”到“乘法”的思路转换过程。对于函数关系，应借助信息技术动态演示图象，直观对比，并引导学生进行详尽的分类讨论。同时，通过典型例题的示范和辨析，强调易错点，规范解题步骤。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：等比数列通项公式的推导方法（累乘法）的理解，及其与指数函数关系的本质认识。 知识点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． [说明]　(1)定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)等比数列的公比q可正可负，但不能为0；等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0，0，0，…外)都是公比为1的等比数列． 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． [想一想]　我们知道任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数都有等比中项吗？若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：任意两个实数不一定都有等比中项，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项．若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如02＝0×3，但0，0，3不成等比数列． 知识点三　等比数列的通项公式 1．公式：an＝a1qn－1，其中a1为首项，q为公比． 2．推导：由等比数列的定义，得＝q，＝q，…，＝q，把这(n－1)个等式相乘，得an＝a1qn－1． 知识点四　等比数列与指数型函数的关系 等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．反之，任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． 课堂导入1：生活情境——棋盘麦粒的惊人数字 情境描述：古印度国王为了奖励发明国际象棋的宰相，问他想要什么赏赐。宰相微微一笑，说："陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，每个格子的麦子数量是前一个格子的2倍，直到填满64个格子。"国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时却发现……整个国家的麦子都不够用！ 思考：写出每个格子的麦粒数构成的数列前6项？这个数列的相邻两项之间的关系是什么？ 预设：1，2，4，8，16，32；从第2项起，后一项与前一项的比都为2。 追问1：这个规律让你联想到了我们之前学习的什么数列？ 学生：等差数列。 追问2：类比等差数列，你会给这个数列起一个什么名称？第64个格子到底需要多少粒麦子？ 学生：等比数列；第64个格子需要2⁶³粒麦子（约9.22×10¹⁸粒），所以整个国家的麦子都不够用。 【设计意图】利用经典的数学故事创设情境，以其巨大的数量反差制造认知冲突，激发学生好奇心和探究欲，自然引出等比数列的学习主题，并让学生直观感受等比数列"指数式增长"的惊人力量。 教学建议：建议教师讲述时突出故事的情节转折，引导学生写出前几项并观察规律，可适时提问："这个数列有何特点？"为定义引出做铺垫；可让学生用计算器估算2⁶³的大小，加深对增长速度的感受。 课堂导入2：生活情境——折纸游戏中的"翻倍" 情境描述：小丽发现，一张普通的A4纸对折1次后是2层，对折2次后是4层，对折3次后是8层……她把每次对折后纸的层数依次记录下来。 思考：对折次数与纸的层数之间有什么关系？写出前5次对折后纸的层数构成的数列，并观察相邻两项的比。 预设：层数依次为2，4，8，16，32；从第2次起，后一次层数与前一次层数的比都为2。 追问：理论上若小丽坚持对折30次，层数将达到2³⁰层（超过10亿层），这说明了什么？像"翻倍""裂变"这样不断成倍增长的现象在生活中还有哪些例子？ 学生：细菌分裂、银行复利、病毒传播、消息转发裂变等。 【设计意图】以学生熟悉的折纸活动为素材，从动手操作中观察"等比"现象，让学生感受到等比数列就在身边，为抽象等比数列的定义积累直观经验，同时渗透指数式增长的直觉。 教学建议：可让学生现场折纸体验（实际最多只能折7~8次），用"理论上可对折30次"引发对增长速度的惊叹；鼓励学生主动举例，体会"成倍增长"在生活中的原型，为探究一提供素材。 回顾：回顾前面的整个学习等差数列的历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？ 师生：师生一起回顾等差数列的学习历程，形成等差数列的研究路径和研究方的共识。 即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”. [设计意图]本节的内容可以为学生提供了很好的自主学习的机会，教学时可以让学生在与等差数列类比的基础上，自己发现研究对象，并针对研究对象提出研究内容、探索研究方法、获得研究结论.教学中，可侧重提醒学生注意新的研究对象的独特性. 研究路径1：实例中数列的共同取值规律 情境1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 情境2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 情境3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 情境4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ． ⑥ 师生：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 如果用表示数列①，那么有 ，，……，． 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律． 发现数列②满足； 数列③满足； 数列④满足 数列⑤满足 数列⑥满足 这表明数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数. [设计意图]学生可以通过除法运算发现例子中数列的不变性，体会以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.学生除了会用文字语言表达规律外，还应学习用数学符号去表示规律，这也是用数学的语言表达世界的具体体现. 研究路径2：抽象等比数列的定义 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（geometric progression），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，． 练习：求出情景1~情景4中等比数列①~⑥的公比分别是多少？ 学生： 思考：你能结合等比数列的定义写出其符号表达式吗? 师生：学生回顾等差数列的符号表示：或，进而结合等比数列的概念类比等差数列的符号表示即可得到等比数列概念的符号表示：或 思考：你能根据等比数列的定义及符号表示，给出等比数列定义的内涵么？ 理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面： 1 “从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较； 2 “从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； 3 确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. 4 每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 5 强调作比比较的两项必须相邻.同时，等比数列的符号描述为判定一个数列是否为等比数列提供了基本依据和方法，也是推导等比数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键。 等比中项的概念 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项（geometric mean）．此时，，． 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 学生：a,b必须同号 研究路径3：根据定义研究通项公式 思考：类比等差数列通项公式的推到过程（归纳迭代法和累加法），你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 师生活动：设一个等比数列的首项为，公比为．根据等比数列的定义，可得 ， 即就是等比数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 所以 以上方法为逐步迭代法 令一方面：（累乘法） 由定义得，，，……，， 将这些等式的两边分别相乘得 ， 整理得： . 当时，上式为，这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公比为的等差数列的通项公式为： 等比数列通项公式： 追问：等比数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等比数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公比、项数、第项.其中，首项、公比是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等比数列.因此，在解决等比数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. [设计意图]在利用不完全归纳法得出通项公式的基础上，引导学生探究另外一种推导方法——“累乘法”。这样既能从逻辑上消除学生对归纳推理所得结论的疑问，又可以让他们在今后遇到递推求通项等问题时多一种思维方向，在探究过程中还可以让学生进一步体会“以简驭繁”的转化思想。 研究路径4：利用通项公式，探究数列与相关函数的关系 思考：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？ 师生：类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图4.3-1所示）. 反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为 追问1：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性． 师生:教学中可以引导学生思考，除了要像指数函数那样，分为和两种情况讨论外，还要考虑时的情况，以及将整个数列分为和两种情况进行讨论.具体地，可以引导学生列出下表中的几种情况. 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 追问2：公比且的等比数列的图象有什么特点? 师生：师生一起通过具体的等比数列的图象的作图，探究得到结论：公比且的等比数列的图象特点是：等比数列的图象是函图像上一群孤立的点。 [设计意图]基于等比数列与指数函数的关系，通过具体数列图象的画法，直观得出图象特点.不仅从代数角度论证了数列与对应函数的关系，还通过图象加以“印证”,学生既能体会代数与几何的统一性，又能进一步加深对数列是特殊的函数的理解. 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项． 分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程（组），进行求解． 解法1：由，，得 ②的两边分别除以①的两边，得 ． 解得 或． 把代入①，得 此时 ． 把代入①，得 此时 ． 因此，的第5项是24或． 解法2：因为是与的等比中项，所以 ． 所以 ． 因此，的第5项是24或． [设计意图]例1与4.2节的例7类似，也给定了两个独立的条件.与等差数列的问题类似，只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等.但与等差数列不同的是，根据两个给定条件得到的关于首项和公比的方程组的解往往不唯一，有时会得到两个的值，也就是得到两个不同的等比数列.此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了. 例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 解：由题意，得 ， ① ． ② ②的两边分别除以①的两边，得 ． 所以 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． [设计意图]部分学生不能顺利将文字阅读转化为“数学阅读”,教师要逐字逐句分析题目，引导学生明白问题的实质是要用已知量和表示.对两种思路算法的分析十分必要，不能心中只有具体方法没有数学思想，消元、降次是解方程(组)重要的数学思想。 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，． 师生：学生独立思考，教师给出解答示范． [设计意图]例3安排了一道综合应用等差数列和等比数列的通项公式解决问题的题目．根据条件包含的等量关系，列出关于数列相关量的方程组是解决这类问题的常用策略．本题利用中间量去表示其他各项，可以减少所设未知数的个数．通过此题提高学生分析问题、解决问题的能力． 方法总结：等比数列通项公式的求法 1. 在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项，因此根据已知条件，建立关于的方程组，求出，后再求出，这是常规方法. 2. 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用也可求出等比数列中的任意一项.故只需充分利用各项之间的关系，直接求出后，再根据公式求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 题型一：等比中项的应用 例题：（1）已知等比数列的前3项依次为，求实数的值； 预设：因为等比数列的前3项依次为，所以，解得或. 又因为当时，不合题意， 所以实数x的值为. （2）已知数列为等比数列，若数列的前三项和为168，， 求，的等比中项. 预设：设等比数列的公比为，因为，所以. 由已知得，即，解得， 若G是，的等比中项，则有， 所以，所以，的等比中项为. 方法总结：等比中项的应用 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 题型二：等比数列的判定或证明 例题：（1）对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 预设：由题意知:,因为，，，为定值常数，且 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 2．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式； 预设：因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 规律方法总结：判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式为，则数列是等比数列. (3)等比中项法：若 (且)，则数列为等比数列. 题型三：累乘法求数列通项公式 例题：已知数列中，，，求数列的通项公式． 预设：因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 规律方法总结：累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ，，，……， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 再检验即可. 题型四：构造等比求通项公式 之 型 例题：（1）已知数列中，，证明：数列是等比数列. 预设：因为，所以， 因为，所以，又， 所以，所以数列是以5为首项，2为公比的等比数列； 2．正项数列满足，，求数列的通项公式. 分析：依题意可得，即可得结合等比数列的定义证明即可. 预设：因为，所以， 又因，所以， 所以根据等比数列定义可知是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即 规律方法总结：形如(为常数，)的通项公式求解方法 形如(为常数)的通项公式求解方法为构造数列为等比数列求解，具体的步骤如下： 1 设，并整理得 2 将与对比得， 3 当时，解得 4 证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式 5 根据的通项公式得的通项公式. ， 1.（25-26高二下·上海·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【详解】A选项，，所以不是等差数列，A错误； B选项，，故不是等比数列，B错误； C选项，，不是等差数列，，也不是等比数列，C错误； D选项，为公差为0的等差数列，也是公比是1的等比数列，D正确.故选D. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等比数列的定义、等比数列的其他性质、由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列；③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列；④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列；⑤中，（常数），所以数列是等比数列．故①②⑤是等比数列． 3.（26-27高三上·浙江·开学考试）在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设该等比数列为，，由题意得，,根据等比数列通项公式代入 可得：，将、代入上式：， 整理得，所以．故选A. 4.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或.故选D. 5.（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】等比中项的应用 【详解】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即.故选C. 6.（25-26高二下·北京昌平·期末）在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】设公比为，因为，所以. .故选C. 7.（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知等比数列中，，，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】依题意，,解得.故选A. 8.（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】，可得，解得，又因为，所以.故选B. 9.（25-26高二下·北京·期末）若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】等比数列的单调性、既不充分也不必要条件 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列.综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 10.（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列的通项公式的指数函数特征、等比数列的单调性 【分析】通过分别验证充分性成立、必要性不成立，即可判断两者的条件关系. 【详解】充分性：若无穷等比数列有最大项，设该最大项为，取, 则对任意，都满足，因此充分性成立. 必要性：取无穷等比数列的首项，公比,则通项为, 该数列为递增数列，所有项均满足，因此存在常数，使得对任意，都有; 但该数列各项随增大趋近于，始终无法取到，不存在最大项，因此必要性不成立.故选A. 1.（25-26高二下·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的通项公式逆向分解条件即可求解. 【详解】由题意得，即，即.故选C. 2.（25-26高二下·安徽宣城·期末）等比数列的前项和，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，分与讨论，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，， 因为， 则，解得.故选D. 3.（25-26高二下·江西南昌·期末）在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】根据等比数列的性质， 因为， 而又因为该等比数列各项均大于零，所以.故选B. 4.（25-26高二下·广西崇左·期末）若等比数列满足，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的通项公式即可. 【详解】因为是等比数列，所以，即.所以.故选A 一、知识清单 1. 等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数q（公比），即aₙ₊₁/aₙ = q（n ∈ N*，q ≠ 0）。 2. 等比中项：G² = ab（a、b同号），G = ±√(ab)。 3. 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹；推广：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ。 4. 函数观点：aₙ = (a₁/q)·qⁿ与指数函数联系，图象是函数图象上的孤立点。 二、方法归纳 （1）研究路径类比：事实→概念→性质→应用； （2）通项公式推导：迭代法与累乘法双路径； （3）基本量思想：首项与公比唯一确定等比数列； （4）单调性讨论：按q与a₁的符号分类。 三、易错误区 （1）忽视公比q ≠ 0与各项不为零的隐含条件； （2）判断等比数列只验证相邻两项比值相等，未验证"从第2项起"与"同一个常数"； （3）求等比中项易漏负号，G = ±√(ab)； （4）解方程组求基本量出现两解时，未结合题意取舍。 作业1：教科书第35页练习第1、3、5题。 作业2：预习4.3.1等比数列的概念（第2课时）——等比数列的性质。 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 1. 定义：aₙ₊₁/aₙ = q（n ∈ N*，q ≠ 0） 2. 等比中项：G² = ab（a、b同号） 3. 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹ 推导：迭代法 / 累乘法 4. 推广：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ 5. 函数观点：aₙ = (a₁/q)·qⁿ（孤立点） 单调性：q、a₁符号分类 例题区（学生板演区域） 例1：求a₅（等比中项法） 例2：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ 例3：等差等比综合（方程组） 题型：判定证明 / 累乘 / 构造等比 课堂小结：定义—通项—函数 1. 现存问题 （1）从"累加"到"累乘"的思维转换存在障碍，部分学生对"累乘法"的巧妙之处体验不够深刻，反映出在引导学生进行方法论的自主探究方面尚有提升空间。 （2）部分学生对等比数列通项公式与指数函数关系的理解停留在形式对比，未能真正内化其"离散函数"的本质。 （3）在利用通项公式解决基本量问题的练习中，学生容易忽略公比q ≠ 0及各项不为零等隐含条件。 （4）含参数数列（如练1）与多解情形（如例1的±4√6）的分类讨论与取舍意识不足。 2. 改进措施 （1）在公式推导环节不直接给出方法，启发学生思考"如何消去中间项"，让其经历从"加法"到"乘法"的思路转换过程，先示范再独立推导。 （2）借助信息技术动态绘制散点图，直观对比离散点与连续曲线，促进数形结合的深度思考。 （3）通过典型例题的示范和辨析，强调公比q ≠ 0等隐含条件，规范解题步骤，加强针对性训练。 （4）设计分类讨论与多解取舍的专项训练，强化学生的严谨思维习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $