4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）教学设计 教学内容 本节课围绕人教 A 版（2019）选择性必修第二册 4.2.2 等差数列前 n 项和公式（第 1 课时）展开，以高斯求和问题引入，引导学生通过倒序相加法推导等差数列前 n 项和的两个核心公式：和 ，明确公式中，，，，， 的含义及适用场景.通过例题解析与课堂练习，帮助学生掌握公式的直接运用，学会根据已知条件选择合适公式求解前 n 项和，理解倒序相加法的数学思想，培养逻辑推理与运算求解能力，为后续公式的灵活应用及数列实际问题解决奠定基础. 内容解析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第二册数列章节的核心内容，承接等差数列的定义与通项公式，是数列求和的基础.教材以高斯求和故事为切入点，既激发兴趣又渗透数学史，通过倒序相加法推导公式，体现“从特殊到一般”的思维方法.教学中，需让学生理解倒序相加法的本质——利用等差数列“首尾配对和相等”的性质简化运算，掌握和 两个公式的内在联系，明确（首项）、（第n项）、（公差）、（项数）、（前n项和）的对应关系.从学情看，学生已掌握等差数列基本性质，具备一定推理能力，但对抽象数学方法的理解需引导.教学目标聚焦逻辑推理（推导公式）与运算求解（运用公式）能力，为后续等比数列求和及数列实际应用筑牢根基. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握等差数列前n项和公式的推导方法，能根据条件灵活运用公式计算. 教学目标 （1）通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 目标解析 （1）此目标聚焦公式推导过程，通过从高斯求和特殊案例到一般公式的推导，再回归具体问题验证，让学生领悟思维规律，在逻辑推演中提升逻辑推理核心素养，形成科学的问题解决思路。 （2）该目标侧重公式应用，通过将求和问题转化为函数或方程求解，促使学生在解题中观察、反思规律，不仅提高运算准确性，还能深化对数学本质的抽象认知，落实数学运算与抽象素养。 （3）此目标强调数学与生活的联结，通过将实际问题转化为等差数列求和模型，让学生感受数学的实用价值，在建模过程中培养善于观察的品格，扎实提升数学建模核心素养。 达成上述目标的标志是： （1）能说出高斯算法"首尾配对"的巧妙之处，理解将加法运算转化为乘法运算的思想。 （2）能由倒序相加法推导出，并说明推导依据（首尾配对和相等）。 （3）能由通项公式推出，能说出两个公式的适用条件并正确选用。 （4）能根据已知条件（知三求二）正确列出方程（组）求解，运算结果正确。 （5）能说出Sₙ是常数项为零的关于n的二次函数（d≠0时），能完成课堂小结填空。 学生此前已扎实掌握等差数列的定义、通项公式及等差中项性质，能熟练运用通项公式求解首项、公差或指定项，具备基础的观察归纳与简单逻辑推理能力，这是本节课的知识基石.但多数学生对“倒序相加法”这一特殊数学方法较为陌生，难以自主关联等差数列“首尾配对和相等”的性质构建推导思路.在公式应用中，学生易混淆a₁、aₙ、d、n等参数，面对含参问题或需灵活选择公式的场景时，常出现思路混乱.教学中可借高斯求和故事启发思考，用“座位排列求和”等具象实例拆解倒序相加法逻辑，通过分层例题强化参数辨析，结合小组讨论梳理公式选择依据，助力学生突破障碍. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解倒序相加法的本质，在含参或复杂情境中精准选择并运用等差数列前n项和公式. 知识点一　等差数列的前n项和公式及其推导 1．等差数列前n项和公式的推导思路：它来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现．推导方法是倒序相加法． 2．等差数列的前n项和公式 因为等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1成立，所以可得到等差数列前n项和公式为Sn＝．① 如果代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d表示，即Sn＝na1＋d．② [说明]　当已知首项、末项和项数时，用公式①较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为方便． 3．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d还可以由如下方法推导： Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－3)d]＋…＋a1， ∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d] ＝n[2a1＋(n－1)d]． ∴Sn＝na1＋d. 知识点二　等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 若数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，那么数列{an}为等差数列时应满足条件C＝0． [说明]　(1)一般地，对于等差数列{an}，如果首项a1，公差d是确定的，前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，设A＝，B＝a1－，上式可写成Sn＝An2＋Bn.当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上． (2)以等差数列前n项的项数为横坐标，前n项和为纵坐标的图象为抛物线上的一系列的孤立的点． 课堂导入1：生活情境——高斯求和故事 情境描述：教师：说到等差数列求和，一定要认识一个人——高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的美誉。200多年前，高斯10岁的时候，他的算术老师提出问题：求1 + 2 + 3 + … + 100的值。 高斯同学的算法：逐项相加，1 + 2 = 3，3 + 3 = 6，6 + 4 = 10，……（计算较慢）； 高斯的算法：1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 × 50 = 5050。 思考：高斯算法有何巧妙？ 预设：巧妙地将首尾配对，每对和相等，将加法运算转化为了乘法运算，提高了运算效率。 追问：能否推广？变式题1：求1 + 2 + 3 + … + n的值；变式题2：求4 + 5 + 6 + … + 10的值。高斯算法能否优化？如何优化？ 预设：令S = 1 + 2 + 3 + … + n ①，则S = n + (n-1) + … + 1 ②； ① + ②得：2S = n(n + 1)，所以S = n(n + 1)/2。 【设计意图】以高斯故事激发兴趣，借问题链引导思考，让学生体会算法巧妙，为倒序相加法推导及公式学习铺垫。 教学建议：通过追问引导学生自主提炼算法核心，结合变式题逐步渗透推广思路，让学生先独立尝试再对比"逐项相加"与"首尾配对"的效率。 课堂导入2：生活情境——存钱罐储蓄计划 情境描述：小明计划养成储蓄的好习惯，第1个月往存钱罐里存10元，以后每个月都比上个月多存2元，即第2个月存12元，第3个月存14元，……，第12个月存32元。 思考：小明一年（12个月）一共能存多少钱？你能用简单的方法算出来吗？ 预设：逐月相加：10 + 12 + 14 + … + 32，共12个数； 或首尾配对：(10 + 32) + (12 + 30) + … + (20 + 22) = 42 × 6 = 252（元）。 追问：为什么首尾配对每对和都相等？这对一般等差数列求前n项和有什么启发？ 预设：因为每个月都比上个月多存2元（相邻两项差相同），由对称性a₁ + a₁₂ = a₂ + a₁₁ = …，首尾配对每对和都等于首项加末项；这启发我们把一般等差数列前n项和转化为"首末项平均数 × 项数"。 【设计意图】以学生熟悉的储蓄场景引出"首尾配对"思想，与高斯故事呼应，为倒序相加法的抽象概括提供具象支撑，激发探究兴趣。 教学建议：让学生先独立计算，再对比"逐项相加"与"首尾配对"的效率差异，感受转化思想；可现场补充"班级图书角每周新增图书"等类似情境。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：每经过一年其价值就会减少万元，得出为等差数列；；利用的通项公式列求解 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 【设计意图】通过用等差数列解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学建模核心素养. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生：（1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 【设计意图】以例题形式归纳出等差数列的一条重要性 质，培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释 这一性质，培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问 题的思维品质. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 解析：由，得，∴. 由，解得或， ∴或. ∴公差为3或. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 解析：设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 1.（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得.故选：A. 2.（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】因为，解得，又，所以.故选：C. 3.（25-26高二上·湖北·期末）等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质求出，再由等差数列通项公式列出方程求解即可. 【详解】等差数列中， 由，可得， 由得，两边用首项和公差表示，得，化简可得，因为，所以，故选：C 4.（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【详解】设公差为，则，解得，所以.故选：A. 5.（26-27高三上·山西太原·阶段检测）记为等差数列的前项和，，，则（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 且，则， 可得公差，所以. 6.（25-26高三上·湖南湘西·期末）若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】利用等差数列的性质与前n项和性质计算即可. 【详解】记数列为，前项和为，则，得，公差， 所以.故选：A. 7.（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：.故选：D. 8.（25-26高二下·广东江门·期中）在公差不为0的等差数列中，若，则（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和公式、等差中项性质及通项公式，化简已知等式求解的值. 【详解】设等差数列的公差为，，由及，得，又，所以，化简得（1）， 又， ， 所以（1）式化简得，由于，故，解得.故选：C. 9.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以.故选：A. 10.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由，所以当时，，当时，，所以， 当时，满足，所以，故选：A. 1.（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以，即，所以，故选：A 2.（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3.（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 4.（25-26高二下·广东潮州·期末）已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以. 一、知识清单 1. 等差数列的前n项和公式：。 2. 倒序相加法：利用"首尾配对和相等"的性质，化加法为乘法。 3. 函数观点：Sₙ = dn²/2 + (a₁ - d/2)n，是常数项为零的关于n的二次函数（d≠0时）。 4. 若{aₙ}是公差为d的等差数列，则数列{Sₙ/n}也是等差数列，且公差为d/2。 二、方法归纳 （1）知三求二：五个量a₁，aₙ，d，n，Sₙ已知三个，利用公式列出方程（组）求解； （2）整体代换：利用性质a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …整体代入公式； （3）公式选择：已知首项、末项与项数选公式（1）；已知首项、公差与项数选公式（2）； （4）由Sₙ求aₙ：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2），并验证n = 1时是否适合。 三、易错误区 （1）由Sₙ求aₙ时漏掉n = 1的验证； （2）公式（2）中d的系数是n(n-1)/2，误写为n(n+1)/2； （3）"知三求二"设方程（组）时混淆a₁与aₙ； （4）误认为Sₙ一定是二次函数（d = 0时Sₙ = na₁是一次函数，常数项仍为零）。 作业1：教科书第24页习题4.2第1、3题。 作业2：预习4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）。 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 1. 前n项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2； Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 2. 倒序相加法（首尾配对） 3. 函数观点：Sₙ = dn²/2 + (a₁ - d/2)n 4. 知三求二（五个基本量） 例题区（学生板演区域） 例1：知三求二（S₉ / S₁₀ / Sₙ） 例2：由前n项和判断等差数列 例3：公式法求和（S₁₀ / S₁₂ / Sₙ） 例4：和比求项比（a₆/b₆） 例5：倒序求和法（f(-4)+…+f(5)） 课堂小结：公式——方法——应用 1. 现存问题 （1）参数关联理解不足：部分基础薄弱学生对公式中a₁、aₙ、d、n、Sₙ五个参数的关联理解不足，含参问题解题速度较慢。 （2）小组讨论参与不均：小组讨论时个别小组存在分工模糊、参与度不均的情况，导致思维碰撞不够充分。 （3）公式选择能力欠缺：面对"已知首末项"与"已知首项公差"两种条件时，部分学生不能快速选择合适公式。 （4）方法本质理解不深：少数学生只记公式、不理解倒序相加法"首尾配对"的原理，遇到函数求和等变式情境时无从下手。 2. 改进措施 （1）提供参数对应表辅助理解，优化分层任务设计，为基础薄弱学生设计专项辨析训练，提升解题速度。 （2）明确小组讨论分工规则，增加一对一答疑环节，提升教学针对性与全员参与度。 （3）设计公式选择专项训练，对比两个公式的适用条件，通过变式练习强化"知三求二"的运算路径。 （4）用"存钱罐储蓄""座位排列求和"等具象实例拆解倒序相加法逻辑，引导学生从"首尾配对"本质出发理解方法，提升灵活迁移能力。 学科网（北京）股份有限公司 $