4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 教学设计 教学内容 等差数列是一种具有特殊变化规律的数列，是定义在正整数集上的线性离散型函数，是反映运算规律的基本数学模型，在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导，是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列中，若且,则，以下特称“对称性”),这是从概念到性质再到应用的过程.实际上，公式推导过程中，方法的探寻要有根有据，这个根据就是数列的“等差性”和“对称性”,由此找到了前n项的“平均数”,从而实现了由加法到乘法的化归，也就是把不同数相加转化为相同数(即平均数)的自相加.一个数列如果没有“等差”这个特性，就不能直接用这种方法实现转化.可见，“把不同数的求和转化为相同数的求和”的运算方法，既是“倒序相加法”产生的基本线索，又是等差数列求和方法的认知基础，由“等差”所决定的运算中的规律性就是等差数列的本质特征. 内容解析 等差数列是正整数集上的线性离散型函数，作为反映运算规律的基本数学模型，在生活中应用广泛.其核心是“等差性”与“对称性”，后者即“若，则”，这是通项公式与前n项和公式探究的核心依据.公式推导的关键思路是“把不同数的求和转化为相同数的求和”，依托“等差”特性找到前n项“平均数”，实现加法到乘法的化归.“倒序相加法”便源于此线索，而无“等差”特性的数列无法直接采用该方法.可见，“等差”决定的运算规律性是等差数列的本质，公式推导过程正是从概念到性质再到应用的体现，凸显了依据数列特性选择运算方法的数学逻辑. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：等差数列性质及其应用. 教学目标 （1）掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； （2）能够根据等差数列的性质进行运算. 目标解析 （1）等差数列重要性质是基于"等差性""对称性"的延伸，掌握并应用是知识深化的关键。此过程需学生推理性质的逻辑（由通项公式出发完成证明），并在运算中践行方法，可有效落实逻辑推理与数学运算核心素养。 （2）根据等差数列性质运算，是性质应用的直接体现。需以"等差"特性为依据，将性质与通项公式、设项技巧结合，并通过设备折旧、座位排布等实际情境，提升学生运用数学模型解决问题的运算能力与建模素养。 达成上述目标的标志是： （1）能由通项公式推导等差数列的对称性：若m + n = p + q，则aₘ + aₙ = aₚ + a_q，并说明推导依据（等差性）。 （2）能说出特殊情形：若m + n = 2k，则aₘ + aₙ = 2aₖ（aₖ是aₘ与aₙ的等差中项）。 （3）能利用对称性快速求值（如由a₂ + a₈求a₅）并简化运算，注意m、n、p、q为正整数的前提。 （4）能说出通项公式的推广形式aₙ = aₘ + (n-m)d，会用对称设项法（三数a-d，a，a+d；四数a-3d，a-d，a+d，a+3d）表示等差数列。 （5）能将等差数列性质与模型用于实际问题（设备折旧、利润亏损、插项构造新数列等），正确列出不等式或方程求解。 学生已掌握等差数列定义、通项公式及前n项和公式，对“等差”特性有初步认知，但对性质的逻辑关联理解较浅.多数学生能套用公式计算，却缺乏性质推导的严谨思维，应用性质简化运算的意识不足. 教学中，学生易混淆性质适用条件，如忽略“m、n、p、q为正整数”这一前提；推导性质时，难以主动关联“等差性”与“对称性”.此外，综合运用性质与公式解决复杂问题时，学生易出现思路混乱、运算失误的情况. 解决方法：通过具体实例引导学生观察规律，再进行性质推导，强化逻辑推理；设计分层习题，从基础应用到综合拓展，逐步提升能力；采用小组讨论，让学生分享思路，纠正认知偏差. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解等差数列性质的逻辑内涵，能灵活运用性质与公式解决相关问题，规避易错点. 知识点一　等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． [说明]　公式d＝(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演变而来的．已知数列中的任意两项，只要弄清所在项的序号，就可以应用该公式来求得d. (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. [拓展]　项的运算性质可推广到三项的情形，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． (3)当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． (4)有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋an－1＝ak＋an－k＋1＝2a (其中n为奇数且n≥3)． 知识点二　等差数列的常用结论 1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． 2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 3．等差数列{an}中每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 课堂导入1：生活情境——钢管堆倒放规律 情境描述：同学们，在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林。同样，数学也可以给人以美的感受。我们来看下面这个例子：某仓库有一堆钢管，最上面有4根，下面每一层比它的上一层多1根，记最上层钢管数为a₁，往下每一层的钢管数依次记为a₂，a₃，…， 则a₁ = 4，a₂ = 5，a₃ = 6，a₄ = 7，…。 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，你能从中发现什么规律吗？ 预设：倒放后每一层的钢管数量与正放时对应层加起来一样多，即 a₁ + aₖ = a₂ + aₖ₋₁ = …（对称相等）。 师生：每一层上下两堆钢管的数量和一样多，用数学符号表示为 a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …。 追问：易知数列{aₙ}是等差数列，那么这种"对称项之和相等"的规律是否具有一般性呢？ 预设：具有一般性，这就是本节课要探究的等差数列的性质。 【设计意图】以生活中钢管堆为素材，激发兴趣，通过倒放发现"对称项之和相等"的规律，自然衔接旧知，引出本节课性质探究。 教学建议：引导学生实际动手比划钢管倒放过程，鼓励用不同方式表达规律，结合等差数列定义加深对"对称性"的初步认知。 课堂导入2：生活情境——阶梯教室座位排布（引出“下标和性质”） 情境描述：同学们，学校阶梯教室第1排有18个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位。用aₙ表示第n排的座位数，则a₁ = 18，a₂ = 20，a₃ = 22，…，a₇ = 30，…，a₁₁ = 38，…。 思考：第3排与第11排的座位数之和是多少？它与第7排座位数的2倍有什么关系？ 预设：a₃ + a₁₁ = 22 + 38 = 60，2a₇ = 2×30 = 60，所以 a₃ + a₁₁ = 2a₇。 追问：这里3 + 11 = 14 = 2×7。更一般地，若m + n = p + q，等差数列中aₘ + aₙ与aₚ + a_q有何关系？ 预设：由对称性可知 aₘ + aₙ = aₚ + a_q，这正是本节课要研究的等差数列的重要性质。 【设计意图】以学生熟悉的阶梯教室座位为情境，直观呈现"下标之和相等则对应两项之和相等"的对称结构，为性质的抽象概括提供具象支撑，激发探究兴趣。 教学建议：可让学生现场找一组"下标之和相等"的排数验证结论，增强代入感；引导对比钢管堆与座位两个情境中规律的一致性。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：每经过一年其价值就会减少万元，得出为等差数列；；利用的通项公式列求解 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 设计意图：通过用等差数列解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学建模核心素养. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生：（1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 设计意图：以例题形式归纳出等差数列的一条重要性 质，培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释 这一性质，培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问 题的思维品质. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 解析：由，得，∴. 由，解得或， ∴或. ∴公差为3或. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 解析：设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 1.（25-26高二下·广东深圳·期中）等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（    ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 【答案】D 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】 设等差数列，公差为，，， 又，解得，故等差数列1，46，91，…，2026，2071共有47项..故选：D． 2.（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用等差数列的性质计算 【详解】数列为等差数列，设等差数列的公差为.，，即；，得.故选：A． 3.（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列满足，（），则（   ） A． B．9 C．11 D．13 【答案】C 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，，数列是公差为的等差数列，，．故选：C． 4.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为，由于相邻两项之间插入2个数，故，则，根据等差数列通项公式，， 因此..故选：B． 5.（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【详解】由，，得等差数列的公差为，所以，所以，又数列的公差不为，所以数列为单调数列，所以结合，可得，故．.故选：C． 6.（2026·湖南益阳·模拟预测）已知、、、是曲线上的四个点，其中，且、、、、成等差数列，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意得出，由点在曲线上可求出的值，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求出的值. 【详解】因为、、、、成等差数列，设公差为， 则，，故，由点在曲线上，则，故， 故..故选：D． 7.（23-24高二下·重庆·阶段检测）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】等差数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则，若，则单调递减，显然不恒成立，所以，所以必要性成立，所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件.故选：B 8.（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以.因为数列为递减数列，即当时，有，即，即从第二项开始，各项均为负数，当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意，当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得，综上，.故选：C. 9.（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】等差数列的应用 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 10.（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【知识点】等差数列的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故.故选：C. 1.（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 2.（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、充要条件的证明 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列，则， 对应的二次函数为，故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以，故是充分必要条件． 3.（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】因为，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 4.（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】等差数列的单调性、判断数列的增减性、充要条件的证明 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 一、知识清单 1. 等差数列的性质：在等差数列{aₙ}中，若m + n = p + q（m，n，p，q∈N*），则aₘ + aₙ = aₚ + a_q；特别地，若m + n = 2k，则aₘ + aₙ = 2aₖ。 2. 通项公式的推广：aₙ = aₘ + (n-m)d；子列{aₖₙ}仍是等差数列，公差为kd。 3. 对称设项法：3项设a-d，a，a+d；4项设a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差2d）。 4. 实际应用：建模（等差数列）→列约束（不等式组）→求解。 二、方法归纳 （1）利用对称性求值：m + n = 2k时，aₘ + aₙ = 2aₖ，把"两项之和"转化为"一项的2倍"。 （2）对称设项：已知项数较少且给和、积条件时，用对称设项法转化为关于a、d的方程组。 （3）插项构造新数列：新公差d′ = d/(k+1)（每相邻两项间插k个数）。 （4）判断数是否为数列的项：令通项公式等于该数，看关于n的方程是否有正整数解。 三、易错误区 （1）忽略前提：应用对称性时，m、n、p、q必须是正整数，且m + n = p + q；不能把aₘ₊ₙ与aₘ + aₙ混淆。 （2）设项错误：4项对称设项时公差是2d，不是d；设完项后要回代验证。 （3）常数列特殊情况：d = 0时所有项相等，判断充分/必要条件时勿遗漏。 （4）实际应用漏检边界：求参数取值范围时，注意"10年之内（含10年）"等边界条件是否取等号。 作业1：教科书第25页习题4.2第5、6、8题。 作业2：预习4.2.2 等差数列的前n项和公式。 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 1. 性质：若m + n = p + q， 则aₘ + aₙ = aₚ + a_q 2. 特别：m + n = 2k 时， aₘ + aₙ = 2aₖ 3. 推广：aₙ = aₘ + (n-m)d 4. 对称设项：3项 a-d，a，a+d； 4项 a-3d，a-d，a+d，a+3d 例题区（学生板演区域） 例1：设备价值（列不等式组求a） 例2：插项构造新数列（bₙ = n + 1） 例3：对称性证明（aₘ + aₙ = aₚ + a_q） 题型一：性质的应用（求公差） 题型二：对称设项法（三数） 题型三：实际应用（座位/气温） 课堂小结：性质——推广——应用 1. 现存问题 （1）性质适用条件理解模糊：部分基础薄弱学生对"m、n、p、q为正整数"等前提条件理解模糊，应用对称性时易忽视取等与项数对应。 （2）逻辑关联不深：推导性质时，部分学生难以主动关联"等差性"与"对称性"，缺乏由通项公式出发的严谨推导思维。 （3）综合应用思路不清晰：综合运用性质与公式解决插项、设项、实际应用等复杂问题时，部分学生思路混乱、运算失误。 （4）习题点评针对性不足：习题分层设计虽覆盖不同层次需求，但对学生错误的针对性点评不足，互动反馈未完全覆盖。 2. 改进措施 （1）强化条件辨析：针对易错点设计专项辨析题（如m + n = p + q与aₘ₊ₙ的区分、常数列情形），明确性质适用前提。 （2）示范逻辑推导：在性质证明中分步示范"用通项公式表示各项→合并→代入条件"，引导学生建立从"等差性"到"对称性"的推导路径。 （3）加强变式训练：增加插项、对称设项、实际应用的变式训练，先示范再独立写，规范运算步骤，提升灵活解题能力。 （4）优化互动反馈：增加一对一答疑时间，针对学生错误即时点评，采用小组讨论分享思路，确保每位学生都能跟上教学节奏，让教学更贴合学生实际需求。 学科网（北京）股份有限公司 $