4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 教学设计 教学内容 本节课主要学习人教 A 版（2019）选择性必修第二册 4.2.1 等差数列的概念（第 1 课时）.通过生活中生肖纪年、北京天坛圜丘坛的地面铺的石板数、女装对应的尺码等实例，引导学生观察数列特点，归纳得出等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为 d.掌握等差数列的符号表示.学会根据定义判断一个数列是否为等差数列，能由首项 a₁和公差 d 写出等差数列的前几项，理解首项、公差对数列的影响，为后续学习等差数列的通项公式及性质奠定基础，培养学生观察、归纳、抽象概括的数学能力. 内容解析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第二册数列章节的核心内容，承接数列的基本概念，为后续等差数列通项公式、性质及应用奠基.教材以火车票价格、电影院座位号等生活化实例为切入点，符合学生从具体到抽象的认知规律.通过引导学生观察数列共同特征，归纳出等差数列定义，突出“从第二项起，每一项与前一项差为常数”这一本质属性，同时明确公差d的含义与符号表示.从学情看，学生已掌握数列基本概念，具备一定观察归纳能力，但对抽象数学定义的理解需具象支撑.教学中需强化定义的应用训练，如判断数列是否为等差数列、由首项与公差写前几项，既巩固概念又培养数学抽象、逻辑推理能力，体现数学源于生活、用于生活的价值. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解等差数列的定义及符号表示，能依据定义判断数列类型并写前几项. 教学目标 (1) 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2) 能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3) 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 目标解析 （1）该目标聚焦概念形成过程，通过生肖纪年、天坛石板、女装尺码、大气温度等生活化实例引导学生观察归纳，不仅要让学生能用语言描述定义，更要理解"差为同一个常数""从第2项起"的本质，此过程能有效提升学生的数学抽象与建模能力。 （2）此目标衔接定义与递推公式，要求学生将定义转化为符号语言aₙ₊₁ - aₙ = d，同时渗透函数视角（aₙ = dn + (a₁ - d)是一次函数），为后续用函数思想研究数列铺路，帮助学生建立数列研究的系统思维，并能独立推导通项公式。 （3）该目标是定义的核心应用，通过判断、证明与等差中项的运用，强化学生对定义本质的把握，培养学生严谨的逻辑推理能力，也是对前两个目标的巩固与深化。 达成上述目标的标志是： （1）能准确说出等差数列的定义，指出"从第2项起"与"差都等于同一个常数"两个要点，并能举出等差数列的例子。 （2）能判断一个数列是否为等差数列：验证从第2项起每一项与它前一项的差是否都是同一个常数。 （3）能用符号语言表示等差数列的递推公式aₙ₊₁ - aₙ = d，并能由首项a₁和公差d写出数列的前几项。 （4）能推导等差数列的通项公式aₙ = a₁ + (n-1)d（含累加法），并能由通项公式求任意项、由已知项求首项与公差。 （5）能说出等差中项的定义（2A = a + b），能用等差中项方法判定等差数列并解决相关问题。 学生已掌握数列的基本概念、项的表示方法及简单数列的观察方法，对“规律”的探究有一定经验，但抽象思维仍需深化.多数学生能从具体数列中发现“差相等”的特点，却难精准概括定义核心，对“从第二项起”这一前提易忽视. 教学中，学生可能在三方面遇困： 一是混淆“相邻两项差为常数”与“任意两项差为常数”； 二是用递推公式表示时符号书写不规范； 三是证明等差数列时逻辑不严谨，未紧扣定义展开. 解决方法：通过对比正误案例强化定义细节；结合具体数列分步示范递推公式书写；以填空式证明题引导学生规范表达逻辑链. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：精准把握等差数列定义的本质，规范运用定义进行证明并书写递推公式. 知识点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 知识点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 知识点三　等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表： 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 知识点四　等差数列与一次函数的关系 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． [拓展]　等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一群孤立的点，结合一次函数的单调性可知：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d＝0时，{an}为常数列． 课堂导入1：生活情境——服装尺码与温度序列（引出“判定”） 情境描述：女装尺码 S,M,L,XL,XXL,XXXL 对应 38,40,42,44,46,48；某地海拔 20m 起每升 100m 温度 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6。 思考：这两组数都是等差数列吗？怎样判断“一组数成不成等差”？ 预设：都是；判定方法——看相邻两项差是否都等于同一个常数 d。 追问：如果只知道通项是关于 n 的一次式，它一定成等差吗？公差与一次式系数有何关系？ 预设：一定成等差；通项 aₙ = pn+q 时，公差 d = p。 【设计意图】以服装尺码、气温两组生活数据，训练“由差值判断等差”的判定意识，并初步关联“通项是 n 的一次式”，为定义与通项的应用搭桥。 教学建议：引导学生分别计算两组差值，归纳判定通法。 课堂导入2：生活情境——校园长跑打卡（引出“通项公式”） 情境描述：同学们，为迎接学校秋季运动会，班级开展"长跑打卡"活动：第一周每天跑3圈，以后每周都比上一周多跑2圈。这样前几周每天跑的圈数依次为 3，5，7，9，11，… 思考：这个数列有什么共同特征？你能用"相邻两项的关系"描述它吗？ 预设：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2，即 aₙ₊₁ - aₙ = 2（n∈N*）。 追问：第10周每天要跑多少圈？如果要提前知道任意一周的圈数，需要怎样的公式？ 预设：a₁₀ = 3 + 9×2 = 21（圈）；需要一个能由序号n直接算出第n项圈数的公式（通项公式），这就是本节课要研究的问题。 【设计意图】以学生熟悉的校园体育活动为情境，直观呈现"相邻两项差为常数"的结构特征，既引出等差数列定义，又为通项公式的学习设下悬念，激发探究欲。 教学建议：可让学生现场算一算自己第几周能"破纪录"，增强代入感；引导对比两个情境（生肖纪年、长跑打卡）中数列的共性。 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 思考：把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 学生：思考，发现规律，并填空 总结：共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 思考：你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ① 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ② ①②都是等差数列的递推公式 定义：特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 于是 …… 归纳可得． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为不完全归纳法 思路二：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得. 也就是. 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 思考：何时想到用累加法？ 预设：已知条件中含相邻两项之差，比如 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公差、项数、第项.其中，首项、公差是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 设计意图：帮助学生记忆公式，初步了解公式中的量，建立基本量思想，为后续研究等差数列的几何意义作铺垫. 思考：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 师生：由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析： （1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差； （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项． 预设：（1）当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3 （2）由已知条件，得：，把，代入， 得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解． 预设：由，，得这个数列的通项公式为 令解这个关于 的方程，得． 所以，是这个数列的项，是第100项． 设计意图：让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 例题：在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 解析：（1）在等差数列中，由，得：， 解得，所以. （2）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. （3）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. 题型二：等差中项的应用 例题 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； 解析：∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 方法总结：等差数列等差中项的应用 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列.在设等差数列的项时，可利用上述性质. 题型三：等差数列的判定与证明 例题：（1）数列满足，．证明数列是等差数列 解析：由，可得， 又，所以 数列是以为首项，2为公差的等差数列 (2) （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 解析： ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1.（25-26高二上·湖南永州·期末）2与8的等差中项为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的性质计算即可. 【详解】2与8的等差中项为. 故选：C. 2.（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等差中项 【详解】是等差中项，，故选项A正确. 3.（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以.故选：B. 4.（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得.故选：C. 5.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在等差数列中，，，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以.故选：C. 6.．（25-26高二下·北京·期末）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】因为，， 所以，解得.故选：C. 7.（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据公差的计算公式即可求解． 【详解】．故选：A. 8.（25-26高二下·安徽宿州·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先利用等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入公式计算的值. 【详解】由题知 ，即，解得， 所以.故选：D. 9.（25-26高二下·江西景德镇·期末）在等差数列中，，，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由题意得：，解得：．故选：B. 10.（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由，得，两式相减得，解得.故选：A. 1.（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列满足首项，公差，则（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由题设.故选：B 2.（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得..故选：A 3.25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列为等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的等差中项性质，先由求得，再结合的值求出. 【详解】设等差数列的公差为，. 根据等差数列的性质得：，因此，解得. 又由，且，得，解得..故选：C 4.（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】利用两个等差数列的和仍为等差数列的性质，结合等差数列通项公式计算所求值. 【详解】因为、均为等差数列，根据等差数列的性质，可得数列也为等差数列， 设其公差为，， 由题意可知，该数列首项，第三项，根据等差数列通项公式有 ，即，解得，因此..故选：C. 一、知识清单 1. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。符号表示：aₙ₊₁ - aₙ = d（n∈N*）。 2. 等差中项：a，A，b成等差数列 ⟺ 2A = a + b ⟺ A = (a + b)/2；等差数列从第2项起每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3. 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d；推广形式 aₙ = aₘ + (n-m)d；函数观点 aₙ = dn + (a₁ - d)。 4. 基本量思想：首项a₁、公差d确定，等差数列唯一确定；通项公式"知三求一"。 二、方法归纳 （1）判定等差数列：定义法（aₙ₊₁ - aₙ = d 常数）与等差中项法（2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁，n≥2）。 （2）求基本量：将条件转化为关于a₁、d的方程（组）求解，注意整体代换。 （3）判断一个数是否为数列的项：令通项公式等于该数，看关于n的方程是否有正整数解。 （4）证明通项公式可用累加法：将n-1个等式相加。 三、易错误区 （1）忽视"从第2项起"：判定时须验证从第2项起每一项都满足，不能只看部分项。 （2）混淆"同一个常数"与"常数"：各相邻项之差必须都是同一个常数，不能各不相同。 （3）递推公式书写不规范：应写成 aₙ₊₁ - aₙ = d 或 aₙ - aₙ₋₁ = d，注意指明n的取值范围。 （4）证明时未紧扣定义：判定/证明等差数列必须从定义（差为常数）出发，不能用"看起来像"代替论证。 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题. 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 1. 定义：从第2项起，每一项与它前一项 的差都等于同一个常数（公差d） 2. 符号表示：aₙ₊₁ - aₙ = d（n∈N*） 3. 等差中项：2A = a + b 4. 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d 5. 函数观点：aₙ = dn + (a₁ - d) 6. 判定：定义法 / 等差中项法 例题区（学生板演区域） 例1：由通项公式求公差与首项； 求等差数列8，5，2，…的第20项 例2：判断-401是否为数列的项 练12：在7和21中插入3个数 题型一：通项公式基本量计算 题型二：等差中项的应用 题型三：等差数列的判定与证明 课堂小结：定义——通项——应用 1. 现存问题 （1）情境引入衔接有待深化：生肖纪年、长跑打卡等情境有效激发了学生兴趣，多数学生能通过观察实例归纳等差数列特征，但从生活实例到数学定义的抽象过程中，部分学生概括不到位。 （2）递推公式符号表示有困惑：部分基础薄弱学生对 aₙ₊₁ - aₙ = d 的符号书写与n的取值范围仍存困惑，书写不规范。 （3）证明题逻辑表达不规范：在等差数列的判定与证明中，部分学生未紧扣定义展开，逻辑链不完整、表达不严谨。 （4）课堂参与不均衡：小组讨论时少数学生参与度不高，提问反馈未能覆盖全体学生。 2. 改进措施 （1）优化抽象过渡：在情境后增加"把共同特征写成一列式子"的抽象活动，用正误案例对比强化"从第2项起""差为同一个常数"等核心要点。 （2）强化符号训练：结合具体数列分步示范递推公式书写，设计填空式符号表达练习，明确n的取值范围。 （3）规范证明步骤：对证明题采用"示范—模仿—独立写"的步骤，以填空式证明题引导学生规范表达逻辑链，紧扣定义论证。 （4）优化分层提问：设计阶梯式问题增加基础题训练，关注学生参与状态，确保每位学生都能跟上教学节奏，提升课堂实效性。 学科网（北京）股份有限公司 $