4.1 数列的概念（第1课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念，能用函数的观点解释数列，发展数学抽象素养. 能类比函数的表示得到数列的表示方式，通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识． 能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 目录 CATALOG 01.数列及其有关概念 03.应用新知 02.数列的表示方法 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.1 数列的概念（第1课时） 01 数列及其有关概念 导入新知1： 生活情境——纸张对折：能叠到珠穆朗玛峰吗？ 情境描述：同学们都折过纸。一张普通 A4 纸厚约 0.1 mm。把它对折 1 次，厚度变成 0.2 mm；对折 2 次，0.4 mm；对折 3 次，0.8 mm……老师把“对折次数”和“厚度”依次记下来：第 1 次 0.1，第 2 次 0.2，第 3 次 0.4，第 4 次 0.8，第 5 次 1.6……（单位：mm）。 思考：按照这个规律，对折第 n 次后的厚度是多少？如果一直对折下去，大约对折多少次，这叠纸的厚度就能超过珠穆朗玛峰（约 8849000 mm）？ 追问：刚才我们是“一个数一个数往后数”得到的，能不能用一个数学式子，直接写出“第 n 次对折后的厚度”？这个能由序号直接算出项的式子，叫什么？ 导入新知2： 生活情境——我的零钱罐：每月 1 号存一笔 情境描述：很多同学有存零花钱的习惯。小刚的记账本上写着：1 月 1 号存 100 元，2 月 1 号存 100 元，3 月 1 号存 100 元，4 月 1 号存 100 元……他把每个月存的钱按“月份先后”排成一列：100，100，100，100，……。另一位同学小丽是“压岁钱理财”：1 月存 100，2 月存 200，3 月存 300，4 月存 400……排成：100，200，300，400，……。 思考：小刚这一列数里，第 3 个数表示什么？小丽的数列如果把前两项调换变成“200，100，300，400”，还是同一数列吗？ 追问：为什么数列“顺序一换就变味”？数列和我们在初中学过的“集合”最本质的区别到底是什么？ 引入新知 观察 观察图片，你发现了什么？ 思考 从上往下第3个数是多少？第14个数是多少? 一列数：0，1，1，2，3，5，8，13，......① 1 数 列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  233 追问 这列数有顺序吗？ 有 新课探究 同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界 数列在我们生活中，无处不在！ 我来举几个例子，稍后你来举例子 新课探究 例子1 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数 据(单位：)依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ② 此数列中第6个数是多少? 它的实际意义是什么? 163是第几个数? 它的实际意义是什么? 思 考 75和168能交换位置吗? 为什么? 追问 116，它表示王芳6岁时身高为116cm 15，它表示王芳15岁时身高为163cm 不能交换位置，位置不同的数表示含义不同 新课探究 那么，. 第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 思 考 记王芳第岁时的身高为 追问 表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 第14位的数 第14岁的身高为162cm 新课探究 例子2 在两河流域发掘的一块泥版(编号，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ③ 记第天月亮可见部分的数为，那么，. 要 求 ，. 例子3 新课探究 归 纳 上面四个例子的共同特征是什么? 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ② ③ ④ ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... 2，4，8，16， ...... 一列数 有确定顺序 新课探究 定义 数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项. 常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示 项数：数列中的项的个数叫做这个数列的项数， 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断或写出数列中的项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 观察法求数列通项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 观察法求数列通项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据规律填写数列中的某项 02 数列的表示方法 4.1 数列的概念（第1课时） 新课探究 思 考 追 问 能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 正整数集 （或它的有限子集 ） 实数集 新课探究 结论 数列是一个特殊的函数， 自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习 数列的表示方法——解析式法 新课探究 通项公式 练习 结论 一个数列的通项公式不唯一 新课探究 思 考 函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 数列的表示方法——列表法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的列表法： 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 新课探究 练习 结论 通项公式可以用来求数列指定项 是不是该数列的项？ , 所以37不是该数列的项 结论 通项公式可以用来判断某数是否为数列的项 练习 结论 不是所有数列能写出它的通项公式 新课探究 数列的表示方法——图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的图象是由离散的点构成 新课探究 数列的分类 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数列周期性的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断数列的增减性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断数列的增减性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断或写出数列中的项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数列的概念及辨析 03 应用新知 4.1 数列的概念（第1课时） 应用新知 应用新知 应用新知 分析 04 题型强化训练 4.1 数列的概念（第1课时） 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型二 判断某数是否为数列项 例题 解 析 重要题型专练 题型二 判断某数是否为数列项 例题 解 析 应用新知 规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 例题 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 解 析 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 例题 解 析 应用新知 规律方法 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用或处理. 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： 05 真题感知 4.1 数列的概念（第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.1 数列的概念（第1课时） 课堂小结 数列的 概念 （第1课时） 作业 教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题； 4.1 数列的概念（第1课时） 练习答案（教科书第5页练习第1题） 练习答案（教科书第5页练习第1题） 详解 练习答案（教科书第5页练习第2题） 详解 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 数列的一般形式是，，…，，…，简记为． 1.（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列 中，若 （ 为常数），且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则．故选：A 2.（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0， ， ， ，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 观察可得该数列的通项公式可以为， 故选：C. 3.（25-26高二下·四川巴中·期中）数列的 的一个通项公式 （    ） A． B． C． D． 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列，所以此数列的一个通项公式为，故选：C. 4.（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列1， ， ，-2， ， ，则该数列的第6项为（     ） A． B． C． D．6 【详解】观察数列可得，奇数项为正，偶数项为负，且绝对值是按自然数顺序依次开平方，所以第6项为偶数项，是负数，绝对值为，即.故选：A. 易知，那么， 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……③ 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……③ 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 写出下列三个数列的通项公式： （1） 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2） 所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3） 数列：-1，1，-1，1，-1，...... 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： 数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 5.（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列 满足 ， ，则 等于（     ） A． B．-1 C．2 D． 【详解】因为，，所以，，，所以数列为周期数列，周期为3，即，所以.故选：C. 6.（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【详解】 数列是单调递减数列， 都是单调递增数列． 故选：A. 7.（25-26高二下·全国·课堂例题）已知 ， ，则数列 是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【详解】，，即数列的各项相同， 故数列是常数列.故选：C. 8（24-25高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ）， ， ， ， ，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 9.（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列 的通项公式为 ，则 _________. 【详解】因为，所以. 10.（24-25高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列 的通项公式为 ，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【详解】因为， 所以. 故选：B. 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列 的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2） 当通项公式中的时，数列的 前项依次为． 图象如图4.1-2(2)所示． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． （2） 这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项 公式为: ． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正， 偶数项为负，所以它的一个通项公式为: ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． 例3: 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数 列的项？如果是，是第几项？ 解：令，解这个关于的方程，得（舍去）， 或．所以，120是数列的项，是第10项． 要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数， 使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． （1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 因为数列的通项公式，所以. 故选：B （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． 数列的通项公式是，则； 将代入计算，得到. （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 ．故选：D. （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． （2）已知数列的通项公式为， 那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 由数列的通项公式为，令， 即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. （1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． 对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (1)先将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2). （2）数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． 1.（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 故选：A. 2.（25-26高二下·全国·课后作业）的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 由题意可知，故第9项为． 故选：B 3.（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能.对于D，，，，故D不可能..故选：D. 4.（湖南邵阳市2027届高三上学期第一次联考数学试题）在数列中，，，则__________． 由题意得， ． 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量依次取时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为； (1)前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400；图象如图(1)； (2)前10项为：；图象如图(2)； (3)前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21；图象如图(3)； (4)前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图(4)． n 1 2 ... 5 ... ... ... n an ... ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 2．根据数列的通项公式填表： 当时，；当时，； 当时，；当时，，解得； 当时，，解得．所以列表如下： n 1 2 ... 5 ... 12 ... 22 ... n an 21 33 ... 69 ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （1） 由题意得，因为为正整数， 所以，所以； 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. $