专题12.3 等腰三角形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

专题12.3 等腰三角形 教学目标 1.了解等腰三角形和等边三角形的概念。 2.经历等腰三角形和等边三角形性质及判定的探究过程，体会轴对称在研究几何中的作用。 3.掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）。 4.掌握等边三角形的性质与判定方法。 5.能利用等腰（边）三角形的性质和判定进行计算和证明，发展推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形的性质与判定及其应用 （2）等边三角形的性质与判定 （3）等腰三角形三线合一性质的运用 2.难点 （1）等腰三角形判定与性质的区别，灵活选择 （2）未指明顶角底角、腰底边时的分类讨论 （3）等腰三角形与等边三角形的综合证明 知识点01：等腰三角形的相关概念 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.如图，在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角。 3.等腰三角形是特殊的三角形，具备三角形的一切性质（内角和定理、三边关系等）。 4.注意：描述等腰三角形的角或边时，若未指明是顶角还是底角、是腰还是底边，要考虑所有可能的情况并分类讨论。 【即学即练】 1．在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 【答案】 或 【分析】设中线分割的腰长一半为，分两种情况讨论周长的分配，最后用三角形三边关系验证结果． 【详解】解：设， ∵是的中线，， ∴，， 分两种情况讨论： ①如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； ②如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； 综上，线段的长为或． 知识点02：等腰三角形的性质 1.轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（顶角平分线所在直线）。 2.性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。 3.性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合。几何语言： （1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC且BD＝CD； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD＝CD； （3）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD平分∠BAC且AD⊥BC。 4.拓展性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； （2）等腰三角形两底角的平分线相等； （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； （4）顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，两锐角均为45°。 【即学即练】 1．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 【答案】正好处于水平位置，理由如下： ∵在三角测平架中，，D是的中点， ∴（三线合一）， 又∵自然下垂，即与水平线垂直， ∴处于水平位置． 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：略 知识点03：等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC。 3.拓展判定：三角形一边上的高、中线和这边所对角的平分线中，若有任意两条互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。 4.辨析：性质"等边对等角"由两边相等推角相等，用于证明角相等；判定"等角对等边"由两角相等推边相等，用于证明线段相等。 5.注意："等角对等边"不能说成"两个底角相等则两腰相等"，因为未判定为等腰三角形之前不能用"底角""腰"这些名词。 【即学即练】 1．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 知识点04：等边三角形的概念与性质 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC＝BC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°。 3.其他性质： （1）等边三角形是等腰三角形的特殊情形，具备等腰三角形的一切性质； （2）等边三角形每个内角的平分线与该角对边的中线、高线重合； （3）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。 【即学即练】 1．如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知是的中线、边上的高、的角平分线，根据三角形的高、角平分线的性质、旋转的性质即可求出角的度数． 【详解】解：是一个等边三角形， ，， 点为边的中点， ，平分， ，， 由旋转可知， ， ， 又， 是等边三角形， ， ． 题型01 等腰三角形的相关概念 明确腰、底边、顶角、底角；求周长或边长时，未指明腰与底边要分类讨论。 【典例1】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 【变式1】. （26-27八年级上·甘肃·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 【答案】A 【分析】题目中没有明确腰和底边，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可． 【详解】解：当腰为4时，另外两边为4和8，但，不能构成三角形； 当腰为8时，另外两边为4和8，此时能构成三角形，周长为． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大，求这个等腰三角形的底角度数． 【答案】或 【分析】设底角的度数为，然后分两种情况讨论，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：设底角的度数为 ①当底角大于顶角时，则顶角为 则， 解得； ②当顶角大于底角时，则顶角为 则， 解得 答：等腰三角形的底角为或． 【变式3】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 【详解】解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 题型02 等边对等角求角度 由等腰得两底角相等，结合三角形内角和为180°建立方程求解。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 【变式1】. （26-27九年级上·宁夏·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 【变式2】. （26-27九年级上·贵州·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知得，根据旋转的性质得，，， ，最后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，， ， ， ∴， ∴． 【变式3】. （26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/72度 【分析】设，由等边对等角和三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 三线合一的应用 抓住"等腰＋中线（高、角平分线）"推得另两条线重合，用于求角度、证垂直或求线段。 【典例3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 【答案】7.5 【分析】由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 【变式1】. （26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【答案】3 【分析】根据已知条件，D是中点，结合等腰三角形三线合一的性质，推导与的位置关系，以及图中相等的线段、相等的角．按照从大到小或从局部到整体的顺序，有序枚举所有可能的三角形组合，用等全等三角形判定定理逐一验证是否全等．统计符合全等条件的三角形对数，避免重复计数． 【详解】解：第一对： 已知，D是的中点， 故， 又公共边， ∴． 第二对：． 由，第一对全等可得，加上公共边， ∴． 第三对：． 由、第一对全等可得，即，加上公共边，． 综上，共有3对全等三角形． 【变式2】. （26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 【变式3】. （25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 题型04 确定图形中的等腰三角形个数 逐点、逐边有序列举，注意等边三角形也是等腰三角形，避免遗漏或重复。 【典例4】. （25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】 解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】略 题型05 等边三角形的性质（求长度、角度） 利用三边相等、三角均为60°，结合全等三角形或等量代换求边长与角度。 【典例5】. （25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判定为等边三角形，再利用三线合一的性质求解即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 是的角平分线， 是边上的中线， ． 【变式1】. （25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形两底角相等求出的顶角，再根据旋转的性质得到且，判定为等边三角形，得到，接着由推出为等腰三角形，计算出的度数，最后通过与的差得到的度数． 【详解】解：，， ， ； 绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ，； 又， ， 是等腰三角形， ∵， ， ． 【变式2】. （25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，从而判定为等边三角形，进而得出的长． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到 ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】利用旋转的性质结合平行线的性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型06 格点中画等腰三角形 以某边为腰或底，在格点上构造，利用勾股定理保证边相等，有序计数。 【典例6】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 【变式1】. （25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 【变式2】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，； (2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 【答案】(1)如图，即为所求作等腰： (2)如图，即为所求中线： 【分析】（1）要使，，就是把绕点旋转 ．把网格上“横a竖b”的线段转变成“横b竖a”，即 应为“横3竖1” ． （2）① 取格点 （ 正上方 1 格）和格点 (正下方 1 格 的点)； ② 用直尺连，设 交于； ∵且 ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵平行四边形对角线 与 互相平分， ∴点 就是中点．　 ③ 连接，即为所求中线． 【详解】（1）略 （2）略 题型07 直线上确定点构成等腰三角形 分别以给定两点为圆心、两点距离为半径画圆交直线，结合分类讨论求点的个数与位置。 【典例7】. （25-26七年级下·河北保定·期末）点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有______个． 【答案】 【分析】分三种情况讨论等腰三角形的顶点位置，分别确定符合条件的点的个数，即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当为等腰三角形的腰，且为顶点时，以为圆心，长为半径作弧，与直线最多有个交点，这个交点均符合条件； ② 当为等腰三角形的腰，且为顶点时，以为圆心，长为半径作弧，与直线最多有个交点，这个交点均符合条件； ③当为等腰三角形的底边时，作的垂直平分线，与直线最多有个交点，该交点符合条件； 综上，符合条件的点最多有个． 【变式1】. （2026·安徽芜湖·二模）如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与y轴有2个交点，点，故有2个等腰三角形； 当时，作出的垂直平分线，与y轴有1个交点，故有1个等腰三角形； 综上所述，满足条件的点的个数是3个． 【变式2】. （25-26七年级下·山东济南·期中）如图，点是直线上一点，线段与直线的夹角为，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．2个或4个 B．3个或4个 C．4个 D．2个或3个或4个 【答案】A 【分析】分、、三种情况，根据等腰三角形的判定讨论即可解答． 【详解】解：如图所示，当满足条件的点有4个 当，满足条件的点有2个 当，满足条件的点有2个 【变式3】. （25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 题型08 等腰（边）三角形综合证明与探究 综合运用等边对等角、等角对等边、三线合一及全等三角形，规范写出已知、求证与证明过程。 【典例8】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交的延长线于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； (2) (3)证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据，推出，根据即可证明； （2）先证明，再求出，，即可解答； （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）【阅读材料】 在中，，，如何求边上的中线的取值范围呢？某数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，先延长到点，使得，再连接．这样，就把、、全部集中在中，利用三角形的三边关系，就能得到中线的取值范围． (1)上述材料中，的取值范围是____________； (2)【初步运用】 如图，在四边形中，点是的中点，点在上，若，，，求证：平分； (3)【实际应用】 如图，是一条笔直的公路，点是公路两端的两个快递站点，点是中点处的一个住宅区，在的下方有一个仓库，现计划在下方建设两个中转站点、，连接、、、并铺设运输线路，使得，，且，求的度数．（与均为锐角，且公路、运输线路的宽度，住宅区、快递站点、中转站点的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2)证明： 延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，三点共线， ， ， ， ，即， ， ， ，即平分； (3) 【分析】（1）通过证明，得到，进而在中由三角形的三边关系得到的取值范围． （2）延长到点，使，连接，通过证明，得到，通过证明三点共线，得证，进而根据等腰三角形等边对等角得到，进而得证结论． （3）延长到点，使得，连接，，，通过证明，得到，进而证明，得到，再证明，进而得到． 【详解】（1）解： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系可得：， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，延长到点，使得，连接，，， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ． 【变式3】. （25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 一、单选题 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两底角的和为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为． 2．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为，由旋转可得，，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质计算出与，作差即可得到． 【详解】解：如图，设与的交点为， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质可得：，， ， ∴． 二、填空题 4．在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【答案】或 【分析】利用中线得，利用周长得，，分、两种情况列方程组求解，得到底边长． 【详解】如图，∵，是边上的中线， 即， ∴，， 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形； 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形， 综上，三角形底边长为或． 5．如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则旋转角为______． 【答案】 【分析】先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即旋转角为， 6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】由旋转性质，，再由等边对等角得到，根据求出最后结果． 【详解】解：由旋转可得，， ， ． 三、解答题 7．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为20，其中一边长为8，求它的“优美比”的值． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，①长为8的边为腰时，求出底边长，根据“优美比”的定义求解；②长为8的边为底时，求出腰长，根据“优美比”的定义求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当长为8的边为腰时， 等腰三角形的周长为20， 的底边长为， “优美比”为． ②当长为8的边为底边时，的腰长为， “优美比”为． 综上所述，它的“优美比”的值为或． 8．如图，小明打算用一根长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若围成的等腰三角形的底边长是腰长的一半，求腰长； (2)这根细绳能否围成一个底边长比腰长多的等腰三角形？若能，请求出这个等腰三角形的底边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 设等腰三角形的腰长为，则底边长为，根据题意得： ， 解得：， 则底边长为， ∵， ∴长分别为、、的三条线段，不能组成三角形， ∴这根细绳不能围成一个底边长比腰长多的等腰三角形． 【分析】（1）设等腰三角形的腰长为，则底边长为，根据周长为列出方程，解方程即可； （2）设等腰三角形的腰长为，则底边长为，根据周长为列出方程，解方程得出等腰三角形的三条边长，然后根据三角形三边关系说明即可． 【详解】（1）解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为，根据题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴长分别为、、的三条线段能够组成一个三角形， 答：腰长为； （2）略 9．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，理由略 1．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 2．如图，在等腰中，，，当点E在的延长线上时，作且．连接与的延长线交于D点，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，结合设未知数计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点 ∵，， ∴ ∵且 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 不妨设 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，，，平分．所以可证；；．即证得．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积，然后求出四边形的面积等于的面积的一半． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵直角的顶点P是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形；故②④正确； ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积是面积的一半，故⑤正确； ∵，的长度随E、F的位置变化，只有E、F为中点时才相等， ∴一般情况下，故③错误； 故正确的有①②④⑤，共4个． 4．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，，小 (2)的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，，根据角的和差关系得出，利用三角形外角的性质可求出，根据三角形内角和定理，结合点D从B向C运动时，逐渐变大，即可得出逐渐变小； （2）分、及三种情况，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴逐渐变小． （2）解：当时， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴点、分别与、重合，不符合题意，此种情况不存在， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：的形状是等腰三角形，的度数为或． 5．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)①用含的代数式表示______； ②当点落在边上时，若，则______°； (2)当时，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置； (3)如图3，当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； (4)当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】(1)①，②； (2)点的位置如下图所示， (3)或； (4) 【分析】（1）①根据等腰三角形两底角相等即可求解。 ②由题意可得，，从而得出，进而求出． （2）当时，交于点，利用平行线和折叠可得，再由等腰三角形的判定，可得，从而得出在的中点，按照垂直平分线的画法作出中点即可． （3）当 为等腰三角形时，可分三种情况：，，，从而根据等腰三角形的性质分情况讨论即可． （4）当存在点落在边上时，根据，可得，所以，再根据，点可与点重合，不与点重合，可得，代数可得，即，综上可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ①当点落在边上时，，如图： ， 由折叠可知：， ∴， ∴． （2）解：当时，如图所示，    ∴，， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， 故是的中点． 作图略； （3）解：当 为等腰三角形时，可分三种情况： 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∴， 解得（不符题意舍去）． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得，或． （4）解：当存在点落在边上时，， 即，， ∴， 由上可得，点可与点重合，不与点重合， ∴， ∴， 解得， 综上可得． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 等腰三角形 教学目标 1.了解等腰三角形和等边三角形的概念。 2.经历等腰三角形和等边三角形性质及判定的探究过程，体会轴对称在研究几何中的作用。 3.掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）。 4.掌握等边三角形的性质与判定方法。 5.能利用等腰（边）三角形的性质和判定进行计算和证明，发展推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形的性质与判定及其应用 （2）等边三角形的性质与判定 （3）等腰三角形三线合一性质的运用 2.难点 （1）等腰三角形判定与性质的区别，灵活选择 （2）未指明顶角底角、腰底边时的分类讨论 （3）等腰三角形与等边三角形的综合证明 知识点01：等腰三角形的相关概念 1.定义： 的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作 ，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作 ，腰和底边的夹角叫作 。 2.如图，在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角。 3.等腰三角形是特殊的三角形，具备三角形的一切性质（内角和定理、三边关系等）。 4.注意：描述等腰三角形的角或边时，若未指明是顶角还是底角、是腰还是底边，要考虑所有可能的情况并分类讨论。 【即学即练】 1．在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 知识点02：等腰三角形的性质 1.轴对称性：等腰三角形是 ，对称轴是 （顶角平分线所在直线）。 2.性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。 3.性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合。几何语言： （1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC且BD＝CD； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD＝CD； （3）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD平分∠BAC且AD⊥BC。 4.拓展性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； （2）等腰三角形两底角的平分线相等； （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； （4）顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，两锐角均为45°。 【即学即练】 1．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 知识点03：等腰三角形的判定 1.定义法： 的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC。 3.拓展判定：三角形一边上的 ，若有任意两条互相重合，那么这个三角形是等腰三角形。 4.辨析：性质"等边对等角"由两边相等推角相等，用于证明角相等；判定"等角对等边"由两角相等推边相等，用于证明线段相等。 5.注意："等角对等边"不能说成"两个底角相等则两腰相等"，因为未判定为等腰三角形之前不能用"底角""腰"这些名词。 【即学即练】 1．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 知识点04：等边三角形的概念与性质 1.定义： 的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。 2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。几何语言：在△ABC中，∵AB＝AC＝BC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°。 3.其他性质： （1）等边三角形是等腰三角形的特殊情形，具备等腰三角形的一切性质； （2）等边三角形每个内角的平分线与该角对边的中线、高线重合； （3）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。 【即学即练】 1．如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 题型01 等腰三角形的相关概念 明确腰、底边、顶角、底角；求周长或边长时，未指明腰与底边要分类讨论。 【典例1】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】. （26-27八年级上·甘肃·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 【变式2】. （25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大，求这个等腰三角形的底角度数． 【变式3】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 题型02 等边对等角求角度 由等腰得两底角相等，结合三角形内角和为180°建立方程求解。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·宁夏·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·贵州·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，，，，则的度数为______． 题型03 三线合一的应用 抓住"等腰＋中线（高、角平分线）"推得另两条线重合，用于求角度、证垂直或求线段。 【典例3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的中线，，，则的面积为________． 【变式1】. （26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【变式2】. （26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【变式3】. （25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 题型04 确定图形中的等腰三角形个数 逐点、逐边有序列举，注意等边三角形也是等腰三角形，避免遗漏或重复。 【典例4】. （25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】. （25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 题型05 等边三角形的性质（求长度、角度） 利用三边相等、三角均为60°，结合全等三角形或等量代换求边长与角度。 【典例5】. （25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】. （25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 题型06 格点中画等腰三角形 以某边为腰或底，在格点上构造，利用勾股定理保证边相等，有序计数。 【典例6】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【变式1】. （25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】. （26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【变式3】. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，； (2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 题型07 直线上确定点构成等腰三角形 分别以给定两点为圆心、两点距离为半径画圆交直线，结合分类讨论求点的个数与位置。 【典例7】. （25-26七年级下·河北保定·期末）点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有______个． 【变式1】. （2026·安徽芜湖·二模）如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】. （25-26七年级下·山东济南·期中）如图，点是直线上一点，线段与直线的夹角为，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．2个或4个 B．3个或4个 C．4个 D．2个或3个或4个 【变式3】. （25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08 等腰（边）三角形综合证明与探究 综合运用等边对等角、等角对等边、三线合一及全等三角形，规范写出已知、求证与证明过程。 【典例8】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交的延长线于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）【阅读材料】 在中，，，如何求边上的中线的取值范围呢？某数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，先延长到点，使得，再连接．这样，就把、、全部集中在中，利用三角形的三边关系，就能得到中线的取值范围． (1)上述材料中，的取值范围是____________； (2)【初步运用】 如图，在四边形中，点是的中点，点在上，若，，，求证：平分； (3)【实际应用】 如图，是一条笔直的公路，点是公路两端的两个快递站点，点是中点处的一个住宅区，在的下方有一个仓库，现计划在下方建设两个中转站点、，连接、、、并铺设运输线路，使得，，且，求的度数．（与均为锐角，且公路、运输线路的宽度，住宅区、快递站点、中转站点的大小均忽略不计） 【变式3】. （25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 一、单选题 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 5．如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则旋转角为______． 6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 三、解答题 7．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为20，其中一边长为8，求它的“优美比”的值． 8．如图，小明打算用一根长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若围成的等腰三角形的底边长是腰长的一半，求腰长； (2)这根细绳能否围成一个底边长比腰长多的等腰三角形？若能，请求出这个等腰三角形的底边长；若不能，请说明理由． 9．如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 1．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，在等腰中，，，当点E在的延长线上时，作且．连接与的延长线交于D点，若，则______． 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 4．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 5．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)①用含的代数式表示______； ②当点落在边上时，若，则______°； (2)当时，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置； (3)如图3，当点落在边上，且为等腰三角形时，求的值； (4)当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $