第12章 全等三角形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

第12章 全等三角形 教学目标 1. 理解全等三角形的概念与性质，会用符号表示两个三角形全等，能正确找出对应边、对应角。 2. 掌握三角形全等的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件选择合适的方法判定两个三角形全等，并规范书写证明过程。 3. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，能综合运用解决求角、求边与证明问题。 4. 理解线段垂直平分线、角的平分线的性质与判定，理解互逆命题、互逆定理并能进行简单推理。 5. 通过全等三角形的综合应用，体会转化、分类讨论、方程等数学思想，提升几何直观与推理能力。 教学重难点 1. 重点： （1）全等三角形的五种判定方法及灵活选用； （2）全等三角形性质与判定的综合应用（证明线段相等、角相等）； （3）等腰（边）三角形的性质与判定。 2. 难点： （1）根据已知条件选择合适的判定方法，并规范书写证明过程； （2）添加辅助线（截长补短、倍长中线、作垂线）构造全等三角形； （3）动点、分类讨论、最值等综合问题的分析与求解。 知识点01 全等三角形的概念与性质 　　1. 全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 　　2. 全等三角形的表示：用符号“≌”表示，读作“全等于”。表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，例如若△ABC与△DEF全等，记作。 　　3. 全等三角形的性质： 　　（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； 　　（2）全等三角形的周长相等，面积相等； 　　（3）全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线、对应边上的高分别相等。 　　4. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都不变，即变换前后的图形全等。 知识点02 全等三角形的判定 　　两个三角形全等的五种判定方法如下表： 判定方法 条件（语言表述） 简写 图例 边边边 三边分别相等 SSS 边角边 两边及其夹角分别相等 SAS 角边角 两角及其夹边分别相等 ASA 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 AAS 斜边直角边 斜边和一条直角边分别相等 HL 　　注意：两边及其中一边的对角相等（SSA）、三个角分别相等（AAA）都不能判定两个三角形全等；HL只适用于直角三角形。 知识点03 全等三角形判定的常用思路 　　已知条件不同，寻找判定方法的常用思路如下表： 已知条件 可寻找的条件 判定的方法 已知两边 找第三边；找夹角；找直角 SSS；SAS；HL 已知一边一角（角为邻边） 找这边的另一个邻角；找这个角的另一个邻边；找这边的对角 ASA；SAS；AAS 已知一角与对边 找一角；若是直角找一边 AAS；HL 已知两角 找夹边；找夹边外任意一边 ASA；AAS 知识点04 等腰三角形的性质与判定 　　1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。 　　2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 　　3. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 　　4. 判定： 　　（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 　　（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即时，。 　　5. 拓展：等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等；底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 知识点05 等边三角形的性质与判定 　　1. 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 　　2. 判定： 　　（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； 　　（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 知识点06 命题、定理与互逆命题（定理） 　　1. 命题：判断一件事情的语句叫作命题，由题设和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。 　　2. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题互为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。 　　3. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个叫作另一个的逆定理。 知识点07 线段垂直平分线的性质与判定 　　1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 　　2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，如图中。 　　3. 判定（性质定理的逆定理）：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点08 角的平分线的性质与判定 　　1. 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等（这里的距离指点到角两边的垂线段的长）。 　　2. 判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 　　3. 注意：角的平分线的判定中，到角两边距离相等的点必须位于角的内部，角外部的点不在角的平分线上。 知识点09 全等三角形中的常用辅助线与数学思想 　　1. 截长补短：在较长的线段上截取一段等于某较短线段，或将较短线段延长补成等长，从而构造全等三角形。 　　2. 倍长中线：将中线延长一倍，构造全等三角形（倍长中线法），把分散的线段、角集中起来。 　　3. 作垂线：由角平分线上的点向角的两边作垂线段，利用角平分线性质得到两条垂线段相等，进而构造全等（常用HL）。 　　4. 数学思想：转化思想（把证线段相等、角相等转化为证三角形全等）、分类讨论思想、方程思想（设未知数列方程求边、求角）。 题型01 判定两个三角形全等的依据识别 1. 抓关键词：根据“三边”“两边及其夹角”“两角及其夹边”“两角及其中一角的对边”“斜边、直角边”识别对应的判定方法。 2. 记反例：SSA（两边及其中一边对角）、AAA 不能判定两个三角形全等。 3. HL仅用于直角三角形，其余四种判定适用于一般三角形。 【典例1】. （26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为． 图中和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 题型02 添加条件使两个三角形全等 方法技巧： 1. 先列出已给条件，再判断缺少的是边还是角。 2. 善用隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直产生直角、平行产生相等角。 3. 从五种判定方法中选择合适条件补全，注意图形的对应关系，避免重复或遗漏。 【典例2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，连接、交于点O，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是____________．（写出一个即可） 【变式1】. （25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 题型03 互逆命题与真假命题判断 1. 命题改写：把命题写成“如果……那么……”的形式，分清题设与结论。 2. 写逆命题：交换原命题的题设与结论。 3. 判真假：真命题需证明或依据公理、定理；假命题举一个反例即可。 【典例3】. （26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对顶角 D．等边三角形的面积相等 【变式1】. （25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【变式2】. （25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【变式3】. （25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 题型04 利用全等三角形的性质求边、角 1. 先判定全等，再由对应边、对应角相等建立等量关系。 2. 结合三角形内角和、外角性质求角；结合周长、线段和差求边。 3. 遇到未知量可用方程思想，设未知数列方程求解。 【典例4】. （26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，，是的高线，与相交于点F，若，且的面积为12， 则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式1】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在与中，点B、E在线段上，且，，．若．则的长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，为，边上一点，且，连接，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 题型05 利用全等三角形的判定与性质进行证明 1. 理清已知条件与要证的结论，寻找（或构造）两个三角形。 2. 找全等条件：已知条件＋隐含条件（公共边、公共角、对顶角、垂直或平行产生的相等角）。 3. 规范书写：按 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 的步骤完整书写，标明对应关系。 【典例5】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，于点D，于点E，相交于点O． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【变式1】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，，且点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上．若，求证：． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，在中，，，点，，分别在边，，上．求证：． 【变式3】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 题型06 利用全等确定线段间的数量关系 1. 倍长中线法：延长中线至2倍，构造全等三角形，把分散线段集中到同一三角形。 2. 截长补短法：在较长线段上截取一段等于较短线段，或延长较短线段补成等长，构造全等。 3. 通过全等把要比较的线段集中，利用线段和差、三角形三边关系判断数量关系。 .【典例6】. （25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 【变式2】. （26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 题型07 等腰（边）三角形的性质与判定应用 1. “等边对等角”与“等角对等边”互逆使用：由边相等推角相等（性质），由角相等推边相等（判定）。 2. 三线合一：作底边上的高、中线或顶角平分线，构造直角三角形或全等三角形。 3. 等边三角形可构造旋转全等，求角、求线段常用到。 【典例7】. （26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，证明下面结论： (1)； (2)； 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)直接写出：当___________时，是直角三角形； (3)直接写出：当___________时，是等腰三角形． 【变式2】. （26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，和均为等腰直角三角形． 求证： (1) (2)判断和的关系，并说明理由 【变式3】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)设与交于点，，求的度数． 题型08 角平分线、垂直平分线的性质与判定应用 1. 角平分线性质：由角平分线上的点向两边作垂线段，得两垂线段相等，构造两个直角三角形（常用HL证全等）。 2. 垂直平分线性质：线上的点到线段两端点距离相等，常用来转化线段。 3. 逆定理用于判定：到角两边距离相等的点在角平分线上；到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上。 【典例8】. （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． (1)若，，求的周长； (2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式1】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【变式2】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，中，，和的平分线相交于点． (1)直接写出的度数：________； (2)如图2，过点作，，垂足分别为点，，试判断与的数量关系； (3)若的面积是20，周长是20，求的长； (4)如图3，延长交于点，延长交于点，与相等吗？请说明理由． 【变式3】. （26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）已知，平分，平分， (1)如图（1），作，若，求点E到与的距离之和． (2)如图（2），过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：． (3)如图（3），过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，，求的面积． 题型09 尺规作图与全等三角形的综合 1. 掌握基本作图：作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线等，作图依据都是全等三角形的判定（如SSS）。 2. 根据作图痕迹识别所作图形（角平分线、垂直平分线、中线等）。 3. 结合作图结果进行证明或计算，常与全等、等腰三角形的性质结合。 【典例9】. （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 【变式1】. （25-26七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使． (1)如图1，与的数量关系为________； (2)如图2，当点D在延长线上，时． ①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接． ②求的度数； (3)如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式2】. （25-26七年级下·上海金山·期末）在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【变式3】. （25-26八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在格点上，画出一条过点A的直线将分成面积相等的两部分； (2)在图②中，的顶点均在格点上，是的角平分线，画出的平分线； (3)在图③中，的顶点均在格点上，画出， 使点F为格点，且与全等． 题型10 全等三角形中的动点问题 1. 用代数式表示动点走过的线段长（速度×时间），并用时间t表示相关线段。 2. 由全等条件（对应边相等）建立方程求解。 3. 注意分类讨论：动点在不同位置、对应关系可能不唯一时需逐一讨论。 【典例10】. （25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【变式1】. （25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）如图，已知中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． (1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【变式3】. （25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点E是直线上一点，连接．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在的___________的交点处． 5．下列各组所述几何图形：①两个底边相等的等腰三角形；②斜边相等的两个直角三角形；③有两边相等的两个直角三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角是且腰长相等的两个等腰三角形，其中每组的两个图形一定全等的有___________（直接填序号） 6．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 三、解答题 7．如图，中，分别是边上的点，，求证：． 8．如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）． 9．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： (1)如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，求的面积． 1．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到________位置时，才能使与全等． 3．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④；⑤连接平分，其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 5．已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 全等三角形 教学目标 1. 理解全等三角形的概念与性质，会用符号表示两个三角形全等，能正确找出对应边、对应角。 2. 掌握三角形全等的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件选择合适的方法判定两个三角形全等，并规范书写证明过程。 3. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，能综合运用解决求角、求边与证明问题。 4. 理解线段垂直平分线、角的平分线的性质与判定，理解互逆命题、互逆定理并能进行简单推理。 5. 通过全等三角形的综合应用，体会转化、分类讨论、方程等数学思想，提升几何直观与推理能力。 教学重难点 1. 重点： （1）全等三角形的五种判定方法及灵活选用； （2）全等三角形性质与判定的综合应用（证明线段相等、角相等）； （3）等腰（边）三角形的性质与判定。 2. 难点： （1）根据已知条件选择合适的判定方法，并规范书写证明过程； （2）添加辅助线（截长补短、倍长中线、作垂线）构造全等三角形； （3）动点、分类讨论、最值等综合问题的分析与求解。 知识点01 全等三角形的概念与性质 　　1. 全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 　　2. 全等三角形的表示：用符号“≌”表示，读作“全等于”。表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，例如若△ABC与△DEF全等，记作。 　　3. 全等三角形的性质： 　　（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； 　　（2）全等三角形的周长相等，面积相等； 　　（3）全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线、对应边上的高分别相等。 　　4. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都不变，即变换前后的图形全等。 知识点02 全等三角形的判定 　　两个三角形全等的五种判定方法如下表： 判定方法 条件（语言表述） 简写 图例 边边边 三边分别相等 SSS 边角边 两边及其夹角分别相等 SAS 角边角 两角及其夹边分别相等 ASA 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 AAS 斜边直角边 斜边和一条直角边分别相等 HL 　　注意：两边及其中一边的对角相等（SSA）、三个角分别相等（AAA）都不能判定两个三角形全等；HL只适用于直角三角形。 知识点03 全等三角形判定的常用思路 　　已知条件不同，寻找判定方法的常用思路如下表： 已知条件 可寻找的条件 判定的方法 已知两边 找第三边；找夹角；找直角 SSS；SAS；HL 已知一边一角（角为邻边） 找这边的另一个邻角；找这个角的另一个邻边；找这边的对角 ASA；SAS；AAS 已知一角与对边 找一角；若是直角找一边 AAS；HL 已知两角 找夹边；找夹边外任意一边 ASA；AAS 知识点04 等腰三角形的性质与判定 　　1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。 　　2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 　　3. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 　　4. 判定： 　　（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 　　（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即时，。 　　5. 拓展：等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等；底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 知识点05 等边三角形的性质与判定 　　1. 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 　　2. 判定： 　　（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； 　　（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 知识点06 命题、定理与互逆命题（定理） 　　1. 命题：判断一件事情的语句叫作命题，由题设和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。 　　2. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题互为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。 　　3. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个叫作另一个的逆定理。 知识点07 线段垂直平分线的性质与判定 　　1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 　　2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，如图中。 　　3. 判定（性质定理的逆定理）：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点08 角的平分线的性质与判定 　　1. 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等（这里的距离指点到角两边的垂线段的长）。 　　2. 判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 　　3. 注意：角的平分线的判定中，到角两边距离相等的点必须位于角的内部，角外部的点不在角的平分线上。 知识点09 全等三角形中的常用辅助线与数学思想 　　1. 截长补短：在较长的线段上截取一段等于某较短线段，或将较短线段延长补成等长，从而构造全等三角形。 　　2. 倍长中线：将中线延长一倍，构造全等三角形（倍长中线法），把分散的线段、角集中起来。 　　3. 作垂线：由角平分线上的点向角的两边作垂线段，利用角平分线性质得到两条垂线段相等，进而构造全等（常用HL）。 　　4. 数学思想：转化思想（把证线段相等、角相等转化为证三角形全等）、分类讨论思想、方程思想（设未知数列方程求边、求角）。 题型01 判定两个三角形全等的依据识别 1. 抓关键词：根据“三边”“两边及其夹角”“两角及其夹边”“两角及其中一角的对边”“斜边、直角边”识别对应的判定方法。 2. 记反例：SSA（两边及其中一边对角）、AAA 不能判定两个三角形全等。 3. HL仅用于直角三角形，其余四种判定适用于一般三角形。 【典例1】. （26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画图的步骤判断每一步得到的结果，最终确定答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴ ． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图可得，，再结合即可推出． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴判定的依据是． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直走有一树，继续前行到达处； ③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； ④测得的长为，利用全等三角形的性质，可得河宽也为． 图中和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直条件得到一组直角相等，再由已知线段长度得到一组边相等，最后利用对顶角相等得到另一组角相等，满足两角及其夹边对应相等，用判定三角形全等． 【详解】解：由①③知：，，点、、共线， ∴， 由②知：，， ∴， 由④知：， ∵与是对顶角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴图中和全等的依据是． 【变式3】. （25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 题型02 添加条件使两个三角形全等 方法技巧： 1. 先列出已给条件，再判断缺少的是边还是角。 2. 善用隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直产生直角、平行产生相等角。 3. 从五种判定方法中选择合适条件补全，注意图形的对应关系，避免重复或遗漏。 【典例2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，连接、交于点O，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知及隐含条件对顶角，根据全等三角形判定定理，只需再添加一组对应角相等即可． 【详解】解：∵，且， 若添加条件， 在和中， ∵， ∴． 【变式1】. （25-26八年级上·福建福州·期末）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 【变式2】. （25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 【变式3】. （25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加，则， ∴． 题型03 互逆命题与真假命题判断 1. 命题改写：把命题写成“如果……那么……”的形式，分清题设与结论。 2. 写逆命题：交换原命题的题设与结论。 3. 判真假：真命题需证明或依据公理、定理；假命题举一个反例即可。 【典例3】. （26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形 C．相等的角是对顶角 D．等边三角形的面积相等 【答案】C 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】解：A、其逆命题是“若，则”，错误，故是假命题； B、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，错误，故是假命题； C、其逆命题是“对顶角相等”，正确，是真命题； D、其逆命题是“面积相等的三角形是等边三角形”，错误，故是假命题． 【变式1】. （25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 【变式2】. （25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 【变式3】. （25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 题型04 利用全等三角形的性质求边、角 1. 先判定全等，再由对应边、对应角相等建立等量关系。 2. 结合三角形内角和、外角性质求角；结合周长、线段和差求边。 3. 遇到未知量可用方程思想，设未知数列方程求解。 【典例4】. （26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，，是的高线，与相交于点F，若，且的面积为12， 则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先证明，再证明，得到，根据三角形面积公式求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在与中，点B、E在线段上，且，，．若．则的长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据证明即可得出结论； （2）根据证明，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，，为，边上一点，且，连接，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)因为， 所以， 因为， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质以及全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，再由三角形内角和定理以及全等三角形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 由，得． 题型05 利用全等三角形的判定与性质进行证明 1. 理清已知条件与要证的结论，寻找（或构造）两个三角形。 2. 找全等条件：已知条件＋隐含条件（公共边、公共角、对顶角、垂直或平行产生的相等角）。 3. 规范书写：按 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 的步骤完整书写，标明对应关系。 【典例5】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，于点D，于点E，相交于点O． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）先证明，可得，可证明，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，，且点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上．若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据三角形全等得到对应边相等，利用即可证明． 【详解】略 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，在中，，，点，，分别在边，，上．求证：． 【答案】证明：∵，， 且，， ，． ， ． ， ． ∵在和中， ， ． 【分析】先由三角形的内角和定理得到，，再根据，，得到，即可证明，从而证得结论． 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，是边上一点，连接，若是的平分线，且． (1)若，求的面积； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)证明：过作交于点，如图， 由（1）知， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）过作交于点，利用角平分线的性质定理以及三角形面积公式求解即可； （2）过作交于点，先证明，然后证明，再由全等三角形的性质以及线段和差证明即可． 【详解】（1）解：过作交于点，如图， 因为平分， 所以， 所以； （2）略 题型06 利用全等确定线段间的数量关系 1. 倍长中线法：延长中线至2倍，构造全等三角形，把分散线段集中到同一三角形。 2. 截长补短法：在较长线段上截取一段等于较短线段，或延长较短线段补成等长，构造全等。 3. 通过全等把要比较的线段集中，利用线段和差、三角形三边关系判断数量关系。 .【典例6】. （25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【答案】(1) (2)数量关系：；位置关系： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）证明，得到，再由邻补角互补求解； （2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，结合直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：数量关系：；位置关系： 延长交于点， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 【答案】(1) (2) (3)不成立，新的结论是： 【分析】（1）根据平分得，根据于点，于点得，由此依据“”判定，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点C作于点E，于点F，证明得，，证明，进而依据“”判定得，继而得，，据此即可得出答案； （3）过点C作于点K，于点T，依题意得，证明和全等得，，再证明和全等得，进而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作于点E，于点F，如图2所示： ∴， 依题意得：， ∵平分， ∴, 在和中， ， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：不成立，新的结论是：，理由如下： 过点C作于点K，于点T，如图3所示： ∴， 依题意得：， 同理可证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 又， ， ． (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【答案】证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】延长到点，使得，连接，易证，然后根据全等三角形的性质，结合已知条件和角度的和差得到，从而证得，进而即可得到结论． 【详解】略 题型07 等腰（边）三角形的性质与判定应用 1. “等边对等角”与“等角对等边”互逆使用：由边相等推角相等（性质），由角相等推边相等（判定）。 2. 三线合一：作底边上的高、中线或顶角平分线，构造直角三角形或全等三角形。 3. 等边三角形可构造旋转全等，求角、求线段常用到。 【典例7】. （26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，证明下面结论： (1)； (2)； 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“手拉手”模型求证两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等得到答案； （2）由（1）得，知，再利用等腰三角形的性质求出的角度，根据角平分线的定义得到的角度，利用“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外一点，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)直接写出：当___________时，是直角三角形； (3)直接写出：当___________时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2)或100 (3)或或 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，然后分两种情况：和进行求解即可； （3）由（2）分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时， ； 由题意得：，， ∴， 可知不存在； 综上，当或时，是直角三角形； （3）解：由（2）得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 【变式2】. （26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，和均为等腰直角三角形． 求证： (1) (2)判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴； (2)解：且，理由如下： 如图，延长交于点H，交于点F， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 即和的关系为且． 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)设与交于点，，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴， 即， ∵，． ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再根据已知条件利用证明即可； （2）连接，求出，由全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质和角的和差关系即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ 题型08 角平分线、垂直平分线的性质与判定应用 1. 角平分线性质：由角平分线上的点向两边作垂线段，得两垂线段相等，构造两个直角三角形（常用HL证全等）。 2. 垂直平分线性质：线上的点到线段两端点距离相等，常用来转化线段。 3. 逆定理用于判定：到角两边距离相等的点在角平分线上；到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上。 【典例8】. （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． (1)若，，求的周长； (2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F在边的垂直平分线上，理由如下： 连接，    点F在边的垂直平分线上， ， 点F在线段上，垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知，则的周长可转化为，即可解答； （2）连接，根据垂直平分线的性质和判定即可证明． 【详解】（1）解：直线垂直平分，交于点D， ， ， ， 即的周长为． （2）略． 【变式1】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，最后求出结果即可； （2）根据，结合的周长为，，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ． （2）解：∵， 的周长．   ∴， ∴． 【变式2】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，中，，和的平分线相交于点． (1)直接写出的度数：________； (2)如图2，过点作，，垂足分别为点，，试判断与的数量关系； (3)若的面积是20，周长是20，求的长； (4)如图3，延长交于点，延长交于点，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)解：，理由如下： 如图，∵，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ． 【分析】（1）先求出，再根据求出结论； （2）作于点M，根据角平分线的性质得出结论即可； （3）连接，根据，求出结论即可； （4）先证明即可得出结论； 【详解】（1）解：∵中，， ， ∵和的平分线相交于点， ， ； （2）解：作于点M， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵的面积是20，周长是20， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）略 【变式3】. （26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）已知，平分，平分， (1)如图（1），作，若，求点E到与的距离之和． (2)如图（2），过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：． (3)如图（3），过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）过点作于点，延长交于点，则，由角平分线的性质定理可得，从而即可得出结果； （2）在上截取，连接，先证明，得出，再证明，得出，即可得证； （3）延长交于点，证明，得出，设，，结合，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分，，， ∴， ∴点E到与的距离之和为； （2）略； （3）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型09 尺规作图与全等三角形的综合 1. 掌握基本作图：作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线等，作图依据都是全等三角形的判定（如SSS）。 2. 根据作图痕迹识别所作图形（角平分线、垂直平分线、中线等）。 3. 结合作图结果进行证明或计算，常与全等、等腰三角形的性质结合。 【典例9】. （25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 【答案】(1)如图，线段即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)方法一：已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∴； 方法二：已知：如图，，，； 求证：且． 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ (3)如图，线段即为所求作， 延长，截取，交的延长线于点，截取，交的延长线于点， 点为上一点，连接， 以点为圆心，以为半径作弧，以点为圆心，以为半径作弧，两弧相交于点， 连接并延长交与点， 截取，连接，即为所求作， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 【分析】（1）在，上分别截取，，连接，即为所求作； （2）通过证明三角形全等，找到对应边和对应角相等，进一步得到两直线平行； （3）延长，截取，作，得到，与交点为点，在上截取，连接，可证得，则得到，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】. （25-26七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使． (1)如图1，与的数量关系为________； (2)如图2，当点D在延长线上，时． ①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接． ②求的度数； (3)如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①如图， ② (3)或 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①按要求作图即可； ②先证得，得出，，则，进而得出，再根据角的和差即可求解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在的延长线上时；在射线上取一点F，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， ∵，， 又∵，， ∴； （2）解：①略 ②由（1）得，由①得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点D在线段上时，如图，在射线上取一点F，使，连接， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 当点D在的延长线上时，在射线上取一点F，使，连接，如图， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【变式2】. （25-26七年级下·上海金山·期末）在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【答案】(1)①如图： 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等．如图： ，，，则与不全等． 【分析】（1）①在和中，分别作和的角平分线、； 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 先证明，根据证明，得，再根据即可证明； （2）结论不正确，可以举反例说明． 【详解】（1）解：①在和中，分别作和的角平分线、； ②略 （2）略 【变式3】. （25-26八年级上·吉林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在格点上，画出一条过点A的直线将分成面积相等的两部分； (2)在图②中，的顶点均在格点上，是的角平分线，画出的平分线； (3)在图③中，的顶点均在格点上，画出， 使点F为格点，且与全等． 【答案】(1) 即为所求． (2) 即为所求，作图如下： (3) 即为所求，作图如下： 【分析】本题考查格点作图，三线合一和全等三角形； （1）找到的中点，连接，即为所求； （2）连接点与的中点，与交于点，连接，即为所求； （3）找点，使且，即为所求； 【详解】（1）解：利用格点性质找到的中点，连接，即为所求，作图如下： ∵为中点， ∴的面积与的面积相等， ∴即为所求． （2）解：连接点与的中点，与交于点，连接，即为所求， ∵由格点性质可知， ∴连接点与的中点，根据三线合一，这条线也是的角平分线， ∵三角形的角平分线交于一点， ∴交点为角平分线的交点， ∴为的角平分线． （3）解：找点，使且，即为所求 ∵， ∴， ∵， ∴． 题型10 全等三角形中的动点问题 1. 用代数式表示动点走过的线段长（速度×时间），并用时间t表示相关线段。 2. 由全等条件（对应边相等）建立方程求解。 3. 注意分类讨论：动点在不同位置、对应关系可能不唯一时需逐一讨论。 【典例10】. （25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式1】. （25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)证明：； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（）的条件下，点是直线上的一点，且．当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； (2)的值为或； (3)的值为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （）由题意可得，所以，然后通过“”证明即可； （）由（）可知，，所以，从而有，，所以，，且，然后分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况求解即可； （）分当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，两种情况求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动， ∴，，且， 当点在线段上时，则，此时， ∴，解得：， 当点Q在的延长线上时，则，此时， ∴，解得：， 综上可得：的值为或； （3）解：如图，当点在线段的延长线上时， 由（）可知，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴，此时，， ∴， 解得； 如图，当点在线段上时， 同可得，，此时，， ∴， 解得， 综上所述，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，的值为或． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）如图，已知中，厘米，厘米，点D为 的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． (1)当点P运动t秒时的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2) 全等， 理由：当时，， ∵，点D为的中点， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； (3)厘米/秒． 【分析】本题考查线段的和差，等边对等角，三角形全等的判定和性质，三角形中的动点问题； （1）根据线段的和差求解即可； （2）由证即可； （3）由，，结合，得，，即可解答． 【详解】（1）解：，则； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴当，时，， ∴点P，点Q运动的时间秒， ∴厘米/秒． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2)①秒；②6． (3)2或 【分析】本题主要考查了行程问题、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据时间、速度、路程的关系列式计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当时，两个三角形全等，求出运动实际t和a的值即可． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点M的运动时间（秒）， 故答案为：4． （2）解：①∵点M、N的移动速度相同， ， ∵ ， 当时，与全等， ∴，解得：秒 ②∵点M、N的移动速度不同， ， ∴时，两个三角形全等， ∴，解得：， ∴a的值为6． （3）解：若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等， ∴，解得： 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或，解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为2或． 一、单选题 1．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查假命题的反例，解题思路是找出满足“正数的平方不大于这个数本身”的数，计算后比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 2．已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是、两边的夹角，再根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是、两边的夹角， ∴度数是． 3．如图，，点E是直线上一点，连接．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 4．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在的___________的交点处． 【答案】 三条角平分线 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知满足条件的点应在三角形的角平分线上． 【详解】解：由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 若要使凉亭到、的距离相等，则凉亭应在的平分线上， 凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 5．下列各组所述几何图形：①两个底边相等的等腰三角形；②斜边相等的两个直角三角形；③有两边相等的两个直角三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角是且腰长相等的两个等腰三角形，其中每组的两个图形一定全等的有___________（直接填序号） 【答案】⑤ 【详解】解：①两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，对应边不全部相等，因此不一定全等； ②斜边相等的两个直角三角形，直角边长度不一定相等，因此不一定全等； ③有两边相等的两个直角三角形，若相等的边不是对应边，例如一个直角三角形的两条直角边为和，另一个直角三角形的直角边为，斜边为，两个三角形不全等，因此不一定全等； ④两个等边三角形，边长不一定相等，因此不一定全等； ⑤∵三角形内角和为，等腰三角形的底角一定小于， ∴的角只能是等腰三角形的顶角， ∵两个等腰三角形的腰长相等，顶角都是， ∴根据可判定两个三角形一定全等． 综上，一定全等的有⑤． 6．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 【答案】 【分析】延长，交延长线于点，先证出，得出，，进而可得，再得出，据此得出即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，中，分别是边上的点，，求证：． 【答案】证明：由三角形的外角的性质可得：， ∵，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】结合三角形外角的性质可得，可证明，即可． 【详解】略 8．如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）． 【答案】作法：取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，如图所示： 点即为所求， 【分析】取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】解：作图见答案， 理由： 是正方形的对角线，是矩形的对角线，是矩形的对角线， 平分，， 则， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 9．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： (1)如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，求的面积． 【答案】(1)解：，证明如下： ∵、和都是直角三角形，且直角顶点都在直线上， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． (2)30 【分析】（1）先证出，再得出即可； （2）先证出，则，，再得出的长即可； 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 1．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 2．如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到________位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】由题意可得，分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 当时，此时P点运动到中点， 在和中， ， ∴， 当时，此时点运动到点C位置， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等. 3．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④；⑤连接平分，其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】先由等腰直角三角形的判定即可得证①正确；由角平分线定义、结合等腰三角形性质得到，再由外角性质得证②正确；由题中条件，结合全等三角形的判定得证、，再由全等性质即可得证③正确；由的性质，结合即可得证④正确；连接，如图所示，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，再由三角形外角性质判定，即可得证⑤正确；综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵，， 在中，， 则，故①正确； ∵，平分， ∴， ∵， 由等腰三角形三线合一性质可知，是的角平分线， 则， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴，，， 则， ∴， 在和中，，， ∴由三角形内角和定理可得， 在和中，， ∴ ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 连接，如图所示： 在中，点是中点，则是斜边的中线， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴平分，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤，共5个． 4．根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过O作，分别交、于D、E，根据角平分线的性质定理得到，将的面积分成三个小三角形的面积计算即可； （2）先求出，过点分别作、、的垂线，可知是的角平分线，根据三角形外角的性质列等式解方程即可； （3）作，分别交于H，交的延长线于G，连接，证明，得到，，根据角平分线的定义及求出，进而证明，得到，根据角平分线的性质得到，可知，根据角平分线的判定定理得到平分，进而根据三角形内角和以及等边对等角得到，可知，证明，得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，过O作，分别交、于D、E， ∵的三条内角平分线交于点， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分，， ∴， 因此． 过点分别作、、的垂线，分别交、的延长线于Q、P交于O， 根据角平分线性质，三条垂线段长度相等，说明到两边的距离相等，因此是的角平分线， ∵是的外角， ∴； 又平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 代入得： 解得：； （3）解：如图，作，分别交于H，交的延长线于G，连接， 可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $