2.3.3 点到直线的距离公式同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A. B. C. D.2 2.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A.0 B. C.3 D.0或 3.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　) A.2 B. C. D.2 5.（2025-2026·河南郑州高二上期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（） A. B.4 C.5 D.25 6.（2025-2026·福建厦门高二上期中）已知点到直线的距离为，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（）条 A.1 B.2 C.3 D.4 7.（2025-2026·北京海淀高二上期中）当点到直线的距离最大时，的值为（） A. B.0 C. D.1 8.唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（） A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D.“将军饮马”走过的总路程为5 二、多项选择题（共3小题） 9.已知点(－2,1)到直线ax＋(a－2)y＋5＝0的距离为，则实数a的值为(　　) A.3 B.1 C.－ D.－1 10.（2025-2026·山东临沂高二上期中）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（  ） A. B. C. D. 11.（2024-2025·陕西西安高二上期末）已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ） A. B. C.1 D.2 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·湖南衡阳高二上期末）过点且和原点距离是2的直线方程是                   . 13.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）已知，两点到直线的距离相等，则                   . 14.（2024-2025·陕西西安高二上期中）已知实数，则的取值范围是                   . 四、解答题（共2小题） 15.求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且与点A(－3，1)的距离为5的直线l的方程. 16.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d＝＝. 2.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　) A.0 B. C.3 D.0或 【答案】D 【解析】点M到直线l的距离d＝＝， 所以＝3，即4m2－3m＝0， 解得m＝0或m＝. 3.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】设AB边上的高为h， 则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5. 4.已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　) A.2 B. C. D.2 【答案】B 【解析】由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以直线l过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点，由解得得两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，得d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值为. 5.（2025-2026·河南郑州高二上期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（） A. B.4 C.5 D.25 【答案】C 【解析】整理直线方程得，由此可得直线恒过定点. 由两点间距离公式得，当直线与线段垂直时，点到直线的距离最大，最大值为. 计算得的斜率为，由垂直关系得直线的斜率，即存在满足条件的直线. 故选：C. 6.（2025-2026·福建厦门高二上期中）已知点到直线的距离为，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（）条 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】情况一：直线过原点，设方程，即. 点到直线距离， 即， 整理，，得，此情况条直线. 情况二：直线不过原点，截距相等设为，方程，即. 点到直线距离， ，得，此情况条直线. 共条. 7.（2025-2026·北京海淀高二上期中）当点到直线的距离最大时，的值为（） A. B.0 C. D.1 【答案】C 【解析】由直线方程得,故直线过定点.因为点到直线的距离最大值为,此时与直线垂直.由,得,直线斜率为,故,即. 故选:C. 8.唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（） A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D.“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解析】因为点和位于直线的同侧, 设点关于直线的对称点为, 由对称性质得且, 解得,,即. 对于A,直线的斜率为,其方程为, 即,故A错误. 对于B,联立方程, 解得,,即饮马地点坐标为,故B正确. 对于C,直线的斜率为,其方程为, 即,故C错误. 对于D,总路程为,故D错误. 二、多项选择题（共3小题） 9.已知点(－2,1)到直线ax＋(a－2)y＋5＝0的距离为，则实数a的值为(　　) A.3 B.1 C.－ D.－1 【答案】BC 【解析】根据题意，得＝，即3a2－2a－1＝0，解得a＝1或a＝－. 10.（2025-2026·山东临沂高二上期中）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】设直线的斜率为，由直线过原点得方程为，整理得. 由点，到直线的距离相等，得，约去公共分母得，解得或. 将代入直线方程，得的方程为或. 故选：AC. 11.（2024-2025·陕西西安高二上期末）已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（ ） A. B. C.1 D.2 【答案】AB 【解析】设点和点到直线的距离相等. 根据点到直线的距离公式，可得:， 所以， 当时,， 当时,， 综上所述，满足条件的实数的值为或 所以答案为AB. 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·湖南衡阳高二上期末）过点且和原点距离是2的直线方程是                   . 【答案】或 【解析】设所求直线过点,分两种情况讨论: 第一种情况，若直线垂直于轴，则直线方程为,此时原点到该直线的距离为,符合题意. 第二种情况，若直线斜率存在，设直线方程为， 整理为一般式:， 由点到直线距离公式，原点到该直线的距离为， 两边平方化简得， 展开整理得， 解得， 将代入点斜式方程得， 综上所述，所求直线方程为. 13.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）已知，两点到直线的距离相等，则                   . 【答案】0或 【解析】由点到直线的距离公式得， 由点到直线的距离公式得， 因为，所以 由，得 故或. 由得； 由得. 因此，或. 14.（2024-2025·陕西西安高二上期中）已知实数，则的取值范围是                   . 【答案】 【解析】令，因为，，所以. 则，设，可得， 整理得. 因为存在，则Δ， 化简得，因为恒成立，所以，解得. 当时，，又因为，当趋于负无穷时，趋于且. 所以. 四、解答题（共2小题） 15.求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且与点A(－3，1)的距离为5的直线l的方程. 【答案】解由 解得即直线l过点B(2，－). ①当l与x轴垂直时，方程为x＝2， 点A(－3，1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意. ②当l与x 轴不垂直时，设斜率为k， 则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0， 由点A(－3，1)到l的距离为5，得＝5， 解得k＝， ∴l的方程为x－y－－＝0， 即4x－3y－10＝0. 综上，所求直线l的方程为x＝2或4x－3y－10＝0. 16.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的面积． 【答案】解：(1)，，则. 则边垂直平分线的斜率为. 的中点坐标为. 由点斜式方程，垂直平分线为， 整理得. (2). 由点斜式得所在直线的方程， 整理得. 点到直线的距离. 所以的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $