精品解析：福建厦门市信成火炬高级中学2026-2027学年第一学期高二年段第一次月考数学学科试卷

厦门市信成火炬高级中学2026-2027学年第一学期高二年段 数学学科 第一次月考试卷 出题人：汪海洋 审题人：黄银旺 完成时间：120min 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 2. 过两点，的直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用斜率与倾斜角的关系，列方程可求出的值 【详解】解：因为两点，的直线的倾斜角为， 所以，解得， 故答案为：B 3. 已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故答案为：D. 4. 如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为, 所以 . 故选：B. 5. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由于与垂直，所以，所以， 故， 故选：D 6. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 7. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 8. 直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 二、多选题 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 10. 已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的一个法向量为，向量，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】利用可得出；利用且不在平面内，可得出 平面；利用且，，可得平面平面. 【详解】对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以， 从而平面. 又因为不在平面内，所以 平面，故B正确； 对于C和D，，， 所以且，，故而平面. 又因为是平面的法向量，且平面与平面ABC不重合， 从而平面平面，故C 错误；故D正确. 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与平面平行 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用中位线定理与平行线的传递性证得，从而得以判断；对B，利用线面平行的性质即可判断；对C，由向量法求线线角即可判断；对D，过点M作，证所求截面为矩形，即可求得面积，从而得以判断. 【详解】对A，连接，如图， 因为侧面是正方形，分别是的中点，所以是的中点， 又点分别是的中点，所以， 又，所以，所以四点共面， 又面，所以四点共面，故A正确； 对B，连接，如图， 易得，，所以四边形是平行四边形，则， 假设直线与平面平行，又平面平面，平面， 所以，则，显然矛盾，假设不成立，故B错误； 对C，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设异面直线与面所成角为，则， 所以异面直线与面所成角的余弦值为，C正确； 对D，过点M作，因为，所以且， 所以四边形为平行四边形，则五点共面，即过三点的平面截正方体所得图形为平行四边形， 由题意可知， 因为为正方体，所以平面， 又平面，所以， 所以平行四边形为矩形，则，故D错误. 故选：AC. . 三、填空题 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，然后利用空间向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为，所以，故，解得，则． 故答案为： 13. 已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据斜率公式求出，，再结合图形求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：设，，， 可得，， 要使得直线与以点，为端点的线段相交， 则直线的斜率或， 所以直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 四、解答题 15. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【小问1详解】 由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． 【小问2详解】 由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 16. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量平行的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由得, 所以，解得； 【小问2详解】 因为，且， 所以，化简得， 解之得. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为正方形的对角线与的交点，则， 又因为棱的中点，则， 由 平面，平面，可得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）建系，写出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，，底面，所以，， 易得，于是可建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，所以， ，易知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线的方程为： （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. 【小问2详解】 当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 19. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）求证：； （2）当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； （3）当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 【答案】（1） 证明： 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，，， 即，， 因为， 所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，把，转化为计算即可. （2）利用空间向量方法求点到面的距离. （3）设出，利用空间向量表示面D1EC与平面AECD所成角，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，当E为棱AB的中点时，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 所以， 设点B1到平面ECD1的距离，， 所以， 所以点B1到平面ECD1的距离为. 【小问3详解】 设时，平面D1EC与平面AECD所成角为，则， 由图知，平面AECD法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，， 所以， 因为平面D1EC与平面AECD所成角为， 所以， 解得或（舍）. 所以当AE为时，平面D1EC与平面AECD所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市信成火炬高级中学2026-2027学年第一学期高二年段 数学学科 第一次月考试卷 出题人：汪海洋 审题人：黄银旺 完成时间：120min 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 过两点，的直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 8. 直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题 9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为 C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为 10. 已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的一个法向量为，向量，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与平面平行 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 三、填空题 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则______． 13. 已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 14. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 四、解答题 15. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 16. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线的方程为： （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 19. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）求证：； （2）当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； （3）当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $