第十四章 全等三角形 单元复习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十四章《全等三角形》五星版单元复习讲义 人教版（2025）八年级数学上册 · 第十四章 全等三角形（约11课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 14.1 全等三角形及其性质；14.2 三角形全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL，含尺规作图）；14.3 角的平分线（性质与判定）；数学活动 核心素养 几何直观、推理能力、模型观念、应用意识（由直观感知走向演绎证明） 本单元不涉及 轴对称与等腰三角形（第15章）；相似三角形（九年级） 课标对接 “图形与几何”领域基础内容；经历“观察—猜想—证明”过程，学会用全等证明线段与角相等；综合与实践按项目式学习设计 单元知识导航 本单元的知识主线：认识全等形与全等三角形 → 掌握全等三角形的性质（对应边、对应角相等）→ 学习五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）→ 研究角的平分线（性质与判定）→ 用全等解决测量与证明问题。全单元是初中几何证明的起点。 图1　第十四章《全等三角形》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 全等形/全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形；完全重合的两个三角形叫全等三角形 “完全重合”要求形状、大小都相同 对应元素 对应顶点、对应边、对应角；记法△ABC≌△DEF要求按对应顺序书写 找对应元素：由重合过程或已知条件确定 全等性质 对应边相等，对应角相等；周长、面积相等 性质用于“已知全等→推相等” 判定（一般三角形） SSS、SAS、ASA、AAS（“边”“角”的三种组合） SSA与AAA不能判定全等 判定（直角三角形） HL：斜边与一条直角边对应相等 HL仅适用于直角三角形，不能用于一般三角形 角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 “距离”必须是到边的垂线段长 图2　全等三角形的对应元素与性质 图3　三角形全等的五种判定条件 一、基础巩固（概念过关，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列说法正确的是（　） A．面积相等的两个图形是全等形　B．形状相同的两个图形是全等形 C．能够完全重合的两个图形是全等形　D．周长相等的两个图形是全等形 A2（选择·★）若△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（　） A．∠A＝∠D　B．∠A＝∠E　C．∠A＝∠F　D．AB＝DE且∠A＝∠E A3（选择·★）在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则判定△ABC≌△DEF的依据是（　） A．SSS　B．SAS　C．ASA　D．AAS A4（选择·★）在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，则判定△ABC≌△DEF的依据是（　） A．SSS　B．SAS　C．ASA　D．AAS A5（填空·★）若△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠D＝（　）°，∠F＝（　）°。 A6（填空·★）若△ABC≌△DEF，AB＝5，BC＝6，则DE＝（　），EF＝（　）。 A7（填空·★）在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，则判定△ABC≌△DEF的依据是（　）。 A8（填空·★）如图4，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD与PE的大小关系是PD（　）PE（填“＞”“＜”或“＝”）。 图4　角平分线上的点到角两边距离相等（A8） A9（填空·★）判定两个直角三角形全等，除一般方法外，还可以用（　）定理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 A10（填空·★）若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　）。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（选择·★★）下列说法正确的是（　） A．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．三角对应相等的两个三角形全等 C．三边对应相等的两个三角形全等（SSS） D．一边及该边上的高对应相等的两个三角形全等 B2（选择·★★）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　） A．斜边和一条直角边对应相等　B．两条直角边对应相等 C．斜边和一个锐角对应相等　D．两个锐角对应相等 B3（填空·★★）若△ABC≌△DEF，AB＝2x＋1，DE＝7，则x＝（　）。 B4（填空·★★）如图5，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD＝6cm，则PE＝（　）cm。 图5　角平分线性质应用（B4） B5（证明·★★）如图6，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE。求证：△ABC≌△ADE。 图6　全等证明（B5） B6（应用·★★）如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝4cm，AB＝6cm，AC＝8cm。 (1) 求DF的长； (2) 求△ABD与△ACD的面积，并求△ABC的面积。 图7　角平分线性质与面积（B6） 三、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·工程·★★★）要测量池塘两端A、B的距离：如图8，在平地上取点O，使AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD。若CD＝50米，求AB的长，并说明理由。（本题6分） 图8　全等测距方案（C1） C2（跨学科·生活·★★★）某小区要在∠AOB区域内建一个儿童乐园，要求它到道路OA、OB的距离相等，且到A点的距离为20米。（本题6分） (1) 乐园应建在哪条线上？说明理由； (2) 若OC平分∠AOB，点P在OC上且PD⊥OA，PD＝20米，求PE（E为P到OB的垂足）。 C3（证明·★★★）如图9，已知AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC。求证：△ABD≌△ACE。（本题4分） 图9　全等证明（C3） C4（证明·★★★）如图10，Rt△ABC中∠C＝90°，Rt△DEF中∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF。求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。（本题4分） 图10　直角三角形全等（HL）（C4） 综合与实践 · 项目式学习 【项目名称】用全等三角形测量不可到达的距离（工程·信息科技） 任务1　建模：设计一个“构造全等三角形测距”的方案，画出测量示意图，说明选点方法与全等依据。 任务2　操作：在操场用卷尺与标杆模拟测量一段“不能直接测量”的距离（如两棵树间的距离），记录数据。 任务3　检验：用直接测量结果与全等测距结果对比，分析误差来源（视线偏差、标杆歪斜、读数误差）。 任务4　AI辅助：可借助AI工具（如豆包）核对全等判定条件与测量方案的合理性；AI答案仅供参考。 任务5　分享：小组汇报测量方案、数据与结论，交流改进办法。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主。本项目融合工程（测量方案）、物理（光沿直线传播）、信息科技（AI辅助）与数学（全等三角形判定），体会几何知识的应用价值。 评价维度 分值 评价标准 方案设计 20 测量方案可行，全等依据正确 操作与数据 30 操作规范，数据记录完整，单位正确 误差分析 20 能指出主要误差来源并提出改进 展示交流 20 汇报清楚，结论合理 AI使用与反思 10 规范使用AI工具、有反思 延伸思考：全等变换是研究图形关系的基本工具；九年级学习二次函数时，抛物线的轴对称性与全等思想一脉相承——先“重合”，再“相等”。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 能说出全等三角形的定义与性质（对应边、对应角相等） 2 会正确书写对应顶点顺序（△ABC≌△DEF） 3 会用SSS、SAS、ASA、AAS判定一般三角形全等，会用HL判定直角三角形全等 4 会用角平分线的性质与判定解决问题（距离＝垂线段长） 5 会写规范的全等证明（找条件→判定→结论），并用于测量问题 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分40分，每题5分） M1（填空·★）能够完全重合的两个图形叫做（　）；△ABC≌△DEF中，AB的对应边是（　）。 M2（选择·★）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D　B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE C．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F　D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝BC M3（选择·★）OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD＝5，则PE＝（　） A．3　B．4　C．5　D．6 M4（填空·★★）△ABC≌△DEF，AB＝3x－2，DE＝10，则x＝（　）。 M5（填空·★★）两个直角三角形全等的特殊判定方法叫（　）（填字母），它只适用于（　）三角形。 M6（选择·★★）如图11，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则判定Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　） A．SSS　B．SAS　C．AAS　D．HL 图11　直角三角形全等（M6） M7（证明·★★）如图12，已知AD平分∠BAC，AB＝AC。求证：△ABD≌△ACD。 图12　全等证明（M7） M8（填空·★★）△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24，DE＝8，EF＝7，则AC＝（　）。 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．背口诀：“边边边、边角边、角边角、角角边；斜边直角边，只对直角三角。” 2．写证明三步走：①由条件找判定所需的“三要素”；②按顺序书写全等；③用性质得结论。 3．找对应元素：先标出相等的边、角，再按“对顶角、公共边、已知”逐步配对。 4．角平分线问题先画垂线段：看到“角平分线＋垂直”，立即想到距离相等。 5．限时自评：基础＋提升部分建议40分钟内完成，对照答案解析记录丢分类型。 衔接展望（教师参考）：全等证明是初中推理的起点——第十五章等腰三角形的性质要用全等证明；九年级二次函数图象的轴对称性、圆中弦与弦心距的相等关系，也都以全等为工具。学生题目中不涉及上述超纲内容。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它判断错在“判定方法”还是“对应元素” 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（如换一组判定条件），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用课本判定条件逐条检验AI解析（如SSA为何不能判定） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 SSA不能判定 “两边及其中一边的对角相等”当作SAS SAS要求的是“两边及夹角”；SSA是反例（锐角、钝角两种三角形） AAA不能判定 三角相等就判定全等 三角相等只说明形状相同（相似），大小不一定相同 对应元素找错 △ABC≌△DEF 中误认为∠A＝∠E 书写顺序即对应顺序：A↔D，B↔E，C↔F HL适用范围 把HL用在一般三角形 HL仅适用于直角三角形 距离非垂线段 把到角的“边”的斜线当距离 角平分线上的“距离”是到边所在直线的垂线段长 证明缺步骤 直接写全等不说明依据 先写判定所需条件，再注明判定方法（SSS等） 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（每题5分，共50分） A1　C。解析：全等形要求“能够完全重合”，即形状、大小都相同；面积、形状、周长相等都不足以保证全等。 A2　A。解析：△ABC≌△DEF，对应顶点A↔D，故∠A＝∠D；B、C对应顶点写错，D中∠A与∠E不是对应角。 A3　A。解析：三边对应相等，依据SSS。 A4　B。解析：AB与DE是∠A、∠D的夹边，符合“两边及夹角”，依据SAS。 A5　50；70。解析：∠D＝∠A＝50°，∠C＝180°－50°－60°＝70°，∠F＝∠C＝70°。 A6　5；6。解析：对应边相等：DE＝AB＝5，EF＝BC＝6。 A7　ASA。解析：∠B＝∠E、BC＝EF（夹边）、∠C＝∠F，两角及其夹边对应相等。 A8　＝。解析：角平分线上的点到角两边的距离相等，PD＝PE。 A9　HL（斜边、直角边）。解析：HL是直角三角形独有的判定方法。 A10　20。解析：全等三角形周长相等。 （二）能力提升（每题5分，共30分） B1　C。解析：SSS是正确的判定；A是SSA不能判定，B是AAA不能判定，D中只有一边和这边上的高对应相等，不能确定三角形形状，不能判定全等。 B2　D。解析：两个锐角对应相等只确定三角形形状（相似），无边长条件，不能判定全等；A是HL，B是SAS，C是AAS，都能判定。 B3　3。解析：2x＋1＝7，x＝3。 B4　6。解析：角平分线性质：PE＝PD＝6cm。 B5　证明：∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE（两边及其夹角对应相等），∴△ABC≌△ADE（SAS）。评分要点：三个条件各1分，结论2分。 B6　(1) DF＝4cm；(2) S△ABD＝12cm²，S△ACD＝16cm²，S△ABC＝28cm²。解析：AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，由角平分线性质DF＝DE＝4cm；S△ABD＝×AB×DE＝×6×4＝12，S△ACD＝×AC×DF＝×8×4＝16，S△ABC＝12＋16＝28。评分要点：第(1)问2分，第(2)问3分。 （三）综合应用（共20分） C1　AB＝50米。解析：在△AOB与△COD中，AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（SAS），AB＝CD＝50米（全等三角形对应边相等）。评分要点：判定3分、结论3分。 C2　(1) 建在∠AOB的角平分线上，理由：角平分线上的点到角两边的距离相等；(2) PE＝20米，理由同上。评分要点：第(1)问3分，第(2)问3分。 C3　证明：在△ABD与△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE（两边及其夹角对应相等），∴△ABD≌△ACE（SAS）。评分要点：三条件各1分、结论1分。 C4　证明：∠C＝∠F＝90°，AB＝DE（斜边），AC＝DF（直角边），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。评分要点：条件2分、结论2分。 （四）月考仿真小测（每题5分，共40分） M1　全等形；DE。解析：对应顶点A↔D、B↔E，AB的对应边是DE。 M2　B。解析：∠A＝∠D、∠B＝∠E、AB＝DE（两角及其夹边），ASA判定；A是SSA（∠A与DE不对应），C是SSA，D条件矛盾。 M3　C。解析：角平分线性质：PE＝PD＝5。 M4　4。解析：3x－2＝10，x＝4。 M5　HL；直角。解析：HL是直角三角形特有的判定方法。 M6　D。解析：斜边、直角边对应相等，HL。 M7　证明：在△ABD与△ACD中，AB＝AC，AD＝AD（公共边），∠BAD＝∠CAD（AD平分∠BAC），∴△ABD≌△ACD（SAS）。评分要点：三个条件各1分、结论1分。 M8　9。解析：△DEF周长＝△ABC周长＝24，DE＝8，EF＝7，DF＝24－8－7＝9，AC＝DF＝9。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（池塘宽度等）为教学示例数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $